Rappresentazione binaria dei numeri interi senza segno 00110111

Rappresentazione binaria dei numeri interi senza segno

00110111 37 Conversione Decimale-Binario: Conversione Binario-Esadecimale: 55 mod 2 =1 = a 0 (55 div 2) mod 2 = 27 mod 2 = 1 = a 1 ((55 div 2) mod 2= (27 div 2) mod 2=13 mod 2=1= a 2 (13 div 2) mod 2= 6 mod 2 = 0 =a 3 (6 div 2) mod 2 = 3 mod 2 = 1 =a 4 (3 div 2) mod 2 = 1 = a 5 Dunque: 5510=1101112 1) Raggruppo i bit a blocchi di 4: 11 0111 2) Converto ciascun blocco in base 16 112=316 01112=716 Dunque: 1101112 = 3716

00110111 82 Conversione Binario-Decimale: 01010010 =0*20+1*21+0*22+0*23+1*24+0*25+1*26+0*27= =2+16+64=8210 37 52 Conversione Binario-Esadecimale: 1) Raggruppo i bit a blocchi di 4: 0101 0010 2) Converto ciascun blocco in base 16 01012=516 00102=216 =>5216

00110111 52 82 167 62 Conversione Esadecimale-Decimale: A 7 3 E =10*161+7*160=10*16+7=167 = 3*161+E*161=48+14=62 37 10100111 Conversione Esadecimale-Binario: 1) Traduco ciascuna cifra esadecimale in un blocco di 4 bits : A 16 = 1010= 23+21=10102 716 = 710= 22+21+20=01112 2) Il binario corrispondente si ottiene sostituendo ciascuna cifra esadecimale con il relativo blocco di 4 bit: A 716=101001112

Somma tra Numeri Binari Interi Positivi Regole base: • 0+0=0 • 0+1=1+0=1 • 1+1=0 con riporto di 1 • 1+1+(1)=1 con rip. 1, dove (1) e’ il riporto proveniente dallo step precedente Un trabocco indica un overflow Esempio: 00001110 riporti 00101110+ 01000111= ---------01110101 10001110 riporti 10101110+ 11000111= ---------11110101

Sottrazione tra Numeri Binari Interi Positivi Regole base: • 0 -0=0 • 0 -1=1 con prestito di 1 • 1 -0=1 • 1 -1=0 Esempio: 01000111 prestiti 1010111001000111= ---------01100111 Un trabocco indica un underflow. 11011111 prestiti 1010011011000111= ---------11011111

Moltiplicazione tra Numeri Binari Interi Positivi • La moltiplicazione puo’ essere realizzata banalmente sommando al moltiplicando se stesso, un numero di volte pari al valore del moltiplicatore. 5*3=5+5+5=15. • Assumendo che la somma abbia costo costante operando su addendi rappresentabili con un numero di bits noto a priori, tale algoritmo ha complessità computazionale pari a O(N), dove N è il valore del moltiplicatore. • Se moltiplicando e moltiplicatore sono rappresentati con k bits, il prodotto può richiedere fino a un max di 2 k bits per la sua rappresentazione. 00110 x 00101 = 00110 00000 00110 somme 00000 parziali 0000011110

Moltiplicazione tra Numeri Binari Interi Positivi: Potenze di 2 • Nel caso di moltiplicazione per potenza k-esima di 2 il risultato è uno shift a sinistra di k posizioni: 00110 x 10 = 00000 001100 00110 x 100 = 00000 0011000

Divisione tra Numeri Binari Interi Positivi 10011011 1001 00001011 1001 0010 resto 1001 10001 quoziente Verifichiamo la correttezza del calcolo: 1001* 10001= 1001 0000 10011001+ 0010= 10011011 (resto)

Divisione tra Numeri Binari Interi Positivi: Potenze di 2 • Nel caso di divisione per potenza k-esima di 2 il risultato è uno shift a destra di k posizioni: 10011011 1000 0001101 1000 1011 1000 10011

Rappresentazione binaria dei numeri interi con segno

101011012 = 1+4+32+128 =16510 (senza segno) 101011012=-1*(1+4+8+32)=-4510 (segno e modulo) 101011012=-1*27+1+4+32=-9110 (complemento a 2) per verificare: a) invertiamo 1 con 0 e viceversa: 0101000102, b) sommiamo 1: 0101000112=91 Proprietà della rappresentazione in complemento a 2: 1) L’operazione di cambiamento di segno è eseguibile complementando alla base 2) La sottrazione si può ricondurre ad una somma (vedi prox slide) 3) E’ possibile rappresentare lo stesso numero con un numero maggiore di bit semplicemente copiando il bit + significativo: es: -710=10012 (con 4 bit)=111110012 (con 8 bit)= 11111110012

Somma tra Numeri Binari in Complemento a 2 • Siano a e b due numeri e sia R(a) e R(b) la rappresentazione di a e b in complemento alla base (ad es. base 2) • Sommando R(a) ed R(b), e ignorando l’eventuale riporto dalla posizione più significativa, otteniamo R(a+b). • A meno che non vi sia discordanza tra il segno del risultato e quello comune dei due addendi (ovvero a>0, b>0, a+b<0 oppure a<0, b<0, a+b>0): in tal caso si ha un supero di capacità. 00102+11012=11112 [2 + (-3) = -1] riporto 0000 In generale per calcolare a – b basta: 0010+ 1) Trovare il complemento a 2 di b, cioè -b 1101= 2) Sommare a+(-b) 1111 01102+01112=OVERFLOW [6 + 7 = 13>7!] riporto 0110 0111 1101

Somma tra Numeri Binari in Complemento a 2 • Siano a e b due numeri e sia R(a) e R(b) la rappresentazione di a e b in complemento alla base (ad es. base 2) • Sommando R(a) ed R(b), e ignorando l’eventuale riporto dalla posizione più significativa, otteniamo R(a+b). • A meno che non vi sia discordanza tra il segno del risultato e quello comune dei due addendi (ovvero a>0, b>0, a+b<0 oppure a<0, b<0, a+b>0): in tal caso si ha un supero di capacità. 11112+10002=OVERFLOW [-1 + (-8) = -9<-8] riporto 1000 1111+ 1000= 0111 01102+11112=0111 [6 + (-1) = 5] riporto 1110 0110 L’overflow è possibile solo se gli addendi hanno segno comune! 1111 0101