Random Variable Variabel Acak v Misal untuk setiap

Random Variable

Variabel Acak v Misal untuk setiap titik dari ruang sampel kita pasangkan sebuah bilangan, maka terdefinisilah suatu fungsi pada ruang sampel tersebut yang dinamakan variabel acak v Secara matematis : X: Ω R Dimana : X = variabel acak Ω = ruang sampel R = range (bilangan real)

Pengertian Variabel Acak v Pengertian dalam statistika elementer: Variabel acak adalah nilai yang berubah dan masing-masing mempunyai peluang sehingga dapat dinyatakan dalam suatu distribusi peluang. Definisi: Variabel acak adalah suatu fungsi dari ruang sampel (S ) ke dalam himpunan bilangan nyata real (R)

Variabel Acak v Dalam percobaan mengundi 3 buah koin akan menghasilkan ruang sampel (sample space) : S = { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT } v Variabel acak X yang menghitung banyak “Heads (H)” pada ruang sampel di atas merupakan variabel acak diskrit. v Nilai fungsi pada setiap sample point dinyatakan dengan X(s). Himpunan nilai { X(s) : s S} disebut range space ( RX ) 0 ; TTT 1 ; THT, TTH, HTT RX = 2 ; HHT, HTH, THH 3 ; HHH

HHH HHT • 3 HTH • 2 THH HTT • 1 THT TTH • 0 TTT S P(X) X R

Variabel acak digunakan untuk mendefinisikan anggota ruang sampel sebagai bilangan. Dengan demikian nilai-nilai suatu variabel acak dapat mencerminkan kejadian tertentu dengan peluang tertentu. Variabel acak dapat dinyatakan sebagai suatu distribusi peluang sebagai berikut : X P(X=x) 0 1 2 3 1/8 3/8 1/8 ∑ 1

Variabel Acak Random Variable Finite Infinite Countable Discrete probability mass function = pmf Uncountable Continue probability density function = pdf

Variabel Acak Diskrit v Fungsi probabilitas (pmf) : P ( X = x ) = p(x) dengan sifat 1. p(x) > 0 2. Σ p(x) = 1 v Fungsi distribusi : v Grafik : step function

Variabel Acak Kontinu v Fungsi probabilitas (pdf) : P ( X = x ) = f(x) dengan sifat 1. f(x) > 0 2. v Fungsi distribusi : v Grafik : fungsi kontinu

Fungsi Distribusi v Fungsi distribusi kumulatif (cummulative distribution function) dari X dinyatakan dengan Fx(x) = P { X(ω) < x } v Sifat-sifat fungsi distribusi : 1. 2. 3. F(x) kontinu dari kanan : 4. F(x) fungsi tidak turun ; -∞<x< ∞

Distribution Functions Contoh v Mis r. v. X spt didefiniskan pd contoh pelantunan 3 buah koin. Cari dan gambar cdf FX(x) dari X

Distribution Functions

Penentuan probabilitas dari Fungsi Distribusi =

Contoh : 1) Tentukan rumus distribusi peluang banyaknya sisi gambar bila sebuah uang logam dilempar 3 kali. Buatlah tabelnya ? Eksperimen : pelemparan 1 mata uang 3 x, Banyaknya titik sampel = 23 = 8 S ={AAA, AAG, AGG, GGG, AGA, GAG, GAA, GGA}

Banyaknya muncul sisi gambar adalah Jadi fungsi peluang adalah : Untuk x = 0, 1, 2, 3 Tabel distribusi peluang :

2) Sebuah dadu dilemparkan 2 x Misalkan : x = jumlah titik dadu dalam kedua lemparan itu, maka x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 Tabel distribusi probabilitas x : a) b) P(x>8) = P(x=9)+P(x=10)+P(x=11)+ P(x=12) = = P(4<x<7) = P(x=5) + P(x=6) = =

3) Eksperimen : 8 bit (1 byte) dibangkitkan secara acak. Variabel random y = banyak bit 1 dalam byte y = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y = 0 n = c(8, 0) = 1 y = 1 n = c(8, 1) = 8 y = 2 n = c(8, 2) = 28 y = 3 n = c(8, 3) = 56 y = 4 n = c(8, 4) = 70 y = 5 n = c(8, 5) = 56 y = 6 n = c(8, 6) = 28

y = 7 n = c(8, 7) = 8 y = 8 n = c(8, 8) = 1 n(S)=banyak cara membangkitkan 8 bit(0 & 1) = = 256 Tabel distribusi probabilitas x :

4) Sebuah toko menjual obral 15 radio, diantara radio tsb, terdapat 5 yang rusak. Jika seorang calon pembeli melakukan tes tiga radio yang dipilih secara random. Tuliskan distribusi probabilitas x = banyaknya radio yang rusak dalam sampel itu dan tabelnya

Tabel distribusi probabilitasnya : Probabilitas x Harga x 0 1 2 3

5. Misalkan X adalah variabel acak diskrit dari ruang sampel dengan fungsi peluang sbb: Jika maka

6. Misalkan X adalah variabel acak diskrit dengan ruang sampel dengan fungsi peluang : jika

7. Misalkan variabel acak X mempunyai fungsi peluang sebagai berikut: Tentukan fungsi distribusi untuk variabel X

Fungsi distribusi dari variabel acak X adalah:

1 F(x) 3/6 1/6 x 1 2 3

Gambar di atas merupakan fungsi tangga yang konstan dalam setiap interval. Kontinu ke kanan.

8. Diketahui fungsi distribusi sebagai berikut: a. Gambarkan dalam grafik b. Tentukan c. Tentukan

F(x) 1 1 b. c. x

Soal - Soal : 1. Suatu fungsi didefinisikan sebagai berikut : Pertanyaan : a. Apakah p(x) merupakan pmf dari VR X ? b. Tentukan nilai dari P(X=2) ; P(X 2) ; P (X 1) 30

Soal - Soal : 2. Diketahui VR X dengan pdf sebagai berikut : Pertanyaan : a. Tentukan nilai dari k b. Tentukan F(x) berikut gambarnya c. Hitung P (1/4 < X 2) 19 Oktober 2021 [MA 2513] PROBSTAT 31

Soal - Soal : 3. Suatu RE, menguncalkan sebuah dadu. Andaikan X VR yang menyatakan : 1 bila angka yang muncul pada dadu adalah genap, dan 0 bila angka yang muncul pada dadu ganjil. Pertanyaan : a. Range dari X b. Tentukan P (X = 1) dan P (X=0) 4. Suatu RE menguncalkan smul tiga kali. Tentukan fungsi distribusinya! 32