Random Variable Variabel Acak v Dalam percobaan mengundi

Random Variable

Variabel Acak v Dalam percobaan mengundi 3 buah koin akan menghasilkan ruang sampel (sample space) : S = { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT } v Variabel acak X yang menghitung banyak “Heads (H)” pada ruang sampel di atas merupakan variabel acak diskrit. v Nilai fungsi pada setiap sample point dinyatakan dengan X(s). Himpunan nilai { X(s) : s S} disebut range space ( RX ) 0 ; TTT 1 ; THT, TTH, HTT RX = 2 ; HHT, HTH, THH 3 ; HHH

Definisi Random Variables v Random variables (r. v. ) X( ) adalah fungsi real ‘singlevalued’ yang memberikan bilangan real X( ) ke tiap sample point dari sample space S v Biasanya digunakan X utk menggantikan X( )

Definisi Random Variables v Sample space S domain dari r. v. X v Kumpulan semua bilangan (harga dari X( )) range dari r. v. X v Range dari X merupakan subset dari set semua bilangan real v Dua atau lebih sample point berbeda dapat memberikan harga X( ) yg sama, tetapi v Dua bilangan berbeda dari range tidak dapat dialokasikan pada sample point yg sama

Variabel Acak Random Variable Finite Infinite Countable Discrete probability mass function = pmf Uncountable Continue probability density function = pdf

Fungsi Probabilitas v Variabel acak sering digunakan untuk mendeskripsikan events v Jika events { X = x}, maka probabilitasnya dinyatakan dengan P { X = x } v Fungsi probabilitas untuk variabel acak diskrit dinamakan probability mass function (pmf); p(x) v Fungsi probabilitas untuk variabel acak kontinu dinamakan probability density function (pdf); f(x)

Variabel Acak Diskrit v Fungsi probabilitas (pmf) : P ( X = x ) = p(x) dengan sifat 1. p(x) > 0 2. Σ p(x) = 1 v Fungsi distribusi : v Grafik : step function

Variabel Acak Kontinu v Fungsi probabilitas (pdf) : P ( X = x ) = f(x) dengan sifat 1. f(x) > 0 2. v Fungsi distribusi : v Grafik : fungsi kontinu

Fungsi Distribusi v Fungsi distribusi kumulatif (cummulative distribution function) dari X dinyatakan dengan Fx(x) = P { X(ω) < x } v Sifat-sifat fungsi distribusi : 1. 2. 3. F(x) kontinu dari kanan : 4. F(x) fungsi tidak turun ; -∞<x< ∞

Cumullative Distribution Function (CDF) = Grafiknya : Step Function Grafiknya : Fungsi kontinu VR CAMPURAN MIX - RV 10

Distribution Functions Contoh v Mis r. v. X spt didefiniskan pd contoh pelantunan 3 buah koin. Cari dan gambar cdf FX(x) dari X

Distribution Functions

Penentuan probabilitas dari Fungsi Distribusi

Discrete versus Continuous Random Variables Discrete Random Variable Continuous Random Variable Infinite Sample Space e. g. [0, 1], [2. 1, 5. 3] Finite Sample Space e. g. {0, 1, 2, 3} Probability Mass Function (PMF) Probability Density Function (PDF) Cumulative Distribution Function (CDF)

Contoh : 1) Tentukan rumus distribusi peluang banyaknya sisi gambar bila sebuah uang logam dilempar 3 kali. Buatlah tabelnya ? Eksperimen : pelemparan 1 mata uang 3 x, Banyaknya titik sampel = 23 = 8 S ={AAA, AAG, AGG, GGG, AGA, GAG, GAA, GGA}

Banyaknya muncul sisi gambar adalah Jadi fungsi peluang adalah : Untuk x = 0, 1, 2, 3 Tabel distribusi peluang :

2) Sebuah dadu dilemparkan 2 x Misalkan : x = jumlah titik dadu dalam kedua lemparan itu, maka x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 Tabel distribusi probabilitas x : a) b) P(x>8) = P(x=9)+P(x=10)+P(x=11)+ P(x=12) = = P(4<x<7) = P(x=5) + P(x=6) = =

3) Eksperimen : 8 bit (1 byte) dibangkitkan secara acak. Variabel random y = banyak bit 1 dalam byte y = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y = 0 n = c(8, 0) = 1 y = 1 n = c(8, 1) = 8 y = 2 n = c(8, 2) = 28 y = 3 n = c(8, 3) = 56 y = 4 n = c(8, 4) = 70 y = 5 n = c(8, 5) = 56 y = 6 n = c(8, 6) = 28

y = 7 n = c(8, 7) = 8 y = 8 n = c(8, 8) = 1 n(S)=banyak cara membangkitkan 8 bit(0 & 1) = = 256 Tabel distribusi probabilitas x :

4) Sebuah toko menjual obral 15 radio, diantara radio tsb, terdapat 5 yang rusak. Jika seorang calon pembeli melakukan tes tiga radio yang dipilih secara random. Tuliskan distribusi probabilitas x = banyaknya radio yang rusak dalam sampel itu dan tabelnya

Tabel distribusi probabilitasnya : Probabilitas x Harga x 0 1 2 3

5. Misalkan X adalah variabel acak diskrit dari ruang sampel dengan fungsi peluang sbb: Jika maka

6. Misalkan X adalah variabel acak diskrit dengan ruang sampel dengan fungsi peluang : jika

7. Misalkan variabel acak X mempunyai fungsi peluang sebagai berikut: Tentukan fungsi distribusi untuk variabel X

Fungsi distribusi dari variabel acak X adalah:

1 F(x) 3/6 1/6 x 1 2 3

Gambar di atas merupakan fungsi tangga yang konstan dalam setiap interval. Kontinu ke kanan.

8. Diketahui fungsi distribusi sebagai berikut: a. Gambarkan dalam grafik b. Tentukan c. Tentukan

F(x) 1 1 b. c. x

Soal - Soal : 1. Suatu fungsi didefinisikan sebagai berikut : Pertanyaan : a. Apakah p(x) merupakan pmf dari VR X ? b. Tentukan nilai dari P(X=2) ; P(X 2) ; P (X 1) 31

Soal - Soal : 2. Diketahui VR X dengan pdf sebagai berikut : Pertanyaan : a. Tentukan nilai dari k b. Tentukan F(x) berikut gambarnya c. Hitung P (1/4 < X 2) 24 November 2020 [MA 2513] PROBSTAT 32

Soal - Soal : 3. Suatu RE, menguncalkan sebuah dadu. Andaikan X VR yang menyatakan : 1 bila angka yang muncul pada dadu adalah genap, dan 0 bila angka yang muncul pada dadu ganjil. Pertanyaan : a. Range dari X b. Tentukan P (X = 1) dan P (X=0) 4. Suatu RE menguncalkan smul tiga kali. Tentukan fungsi distribusinya! 33

Soal - Soal : 5. Periksa fungsi dibawah ini manakah yang pmf 34

Soal - Soal : 6. Periksa fungsi dibawah ini mana yang merupakan pdf [MA 2513] PROBSTAT 24 November 2020 35

MENGHITUNG MEAN, VARIANCE DAN STANDAR DEVIASI PADA KASUS-KASUS DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL RANDOM SOAL 7 : Sebuah mata uang dilempar sebanyak 3 kali. Berikut distribusi probabilitas keluarnya muka (M) Hitunglah : a) Mean E(x) b) Variansi () c) Standar deviasi

SOAL 8 : Data dibawah ini menunjukan jmlah buku ang dipinjam pada perpustakaan UPN Veteran setiap harinya. Hitunglah : a) Rara-rata jumlah buku yang dipinjam tiap harinya b) Variansi

9. Diberikan fungsi distribusi sebagai berikut: tentukan : a. b. C. d.

F(x) 10. Sebuah sampel acak X mempunyai fungsi distribusi seperti pada gambar, tentukan: 1 0 a. b. c. 1 3 2 d. e. f. x

Mean dan Variance v Mean (expected value) : X atau E(X) v Moment, moment ke-n dari r. v. X: Cat: mean dari X adalah moment pertama dari X

Mean dan Variance v Variance X 2 atau Var(X) didefinisikan: v Var(X) 0 v Standar deviasi dari r. v. X dinyatakan dg X = akar kuadrat dari Var(X) = E(X 2) - [E(X)]2