RAMSEJA TIPA UZDEVUMI Andrejs Cibulis cibulislanet lv Rga

RAMSEJA TIPA UZDEVUMI Andrejs Cibulis cibulis@lanet. lv Rīga, 26. 01. 2019.

Klasika Tipisks uzdevums par Ramseja skaitļiem Pierādīt. ka katrā 6 cilvēku kompānijā vienmēr atradīsies trīs cilvēki, kuri viens otru pazīst vai arī trīs, kuri viens otru nepazīst. Ramseja spēle. Divi spēlētāji secīgi viens pēc otra savieno 6 -stūra virsotnes: pirmais ar sarkanu, otrais ar zilu taisnes nogriezni. Zaudē tas, kurš pirmais izveido vienkrāsas trīstūri. Vai spēle var beigties neizšķirti? Spēles piemērs:

Vienkāršs pamatojums Neizšķirts – nav vienkrāsas (jeb monohromatisku) trīsstūru. Dirihlē principa vienkāršs lietojums. Pr. d. Vai katrā 5 cilvēku kompānijā vienmēr atradīsies trīs cilvēki, kuri viens otru pazīst vai arī trīs, kuri viens otru nepazīst? Grafs K 5

MO uzdevums par monohromatiskiem trīsstūriem Katras divas regulāra sešstūra virsotnes savieno vai nu ar sarkanu, vai zilu nogriezni. Aplūkosim visus trijstūrus, kuru virsotnes ir dotā sešstūra virsotnes. a) Pierādīt, ka starp tiem ir vismaz viens vienkrāsas trijstūris! b) Vai var gadīties, ka starp tiem ir tieši viens vienkrāsas trijstūris? Trijstūri sauc par vienkrāsas, ja tam visas malas ir nokrāsotas vienā krāsā. [LAMO - 45, 2018]

Literatūra Andžāns A. , u. c. Vidējās vērtības metode, Rīga, 1996, 232 lpp. http: //nms. lu. lv/wp-content/uploads/2014/06/Vid. Veert. Met. pdf Pdf, 218 lp. , bibl. 4, oriģinālā 11. kr. val. Grāmata nestur ziņas par Ramseju. Frank Plumpton Ramsey (1903 – 1930, 19. janv. ) filosofs matemātiķis, ekonomists. Nozīmīgi rezultāti abstraktajā algebrā, plašs interešu loks, arī politika, ateists, brālis ticīgais. Ramsey Theory, Lane Barton, 2016 https: //www. whitman. edu/Documents/Academics/Mathematics/2016/Barton. pdf

Pilni grafi Virkne: 1, 3, 6, 15, 21, 28, . . . Kas tiek skaitīts?

Ramseja skaitļi Vai pietiek ar šādu skaidrojumu: 6 cilvēku kompānijā vienmēr atradīsies 3 cilvēki, kas viens otru pazīst, vai 3, kas viens otru nepazīst. Nepietiek. Vēl svarīgi zināt, ka 6 ir mazākā kompānija ar šo īpašību. Matemātikā Ramseja skaitļus definē ar grafa palīdzību. The Ramsey number is the minimum number of vertices v = R(m, n) such that all undirected simple graphs of order v contain a clique of order m or an an independent set of order n. R(m, n) – minimālais virsotņu skaits tādam grafam, kas satur pilnu grafu K(m), vai arī pilnu grafu K(n).

Ramseja skaitļi Daži zināmie Ramseja skaitļi: R(3, 3) = 6, Greenwood and Gleason 1955 R(3, 4) = 9, R(3, 5) = 14, R(3, 6) = 18, R(3, 7) = 23, R(4, 4) = 18, R(4, 5) = 25 Mc. Kay and Radziszowski 1995 The last number took 11 years of processing time on 110 desktop computers. It was discovered in 1993. http: //cse. iitkgp. ac. in/~debdeep/teaching/FOCS/slides/Ramsey. pdf R(5, 5) [43, 49] http: //mathworld. wolfram. com/Ramsey. Number. html

Citāti, uzdevumi Ramseja tipa rezultātu planimetrijā ir ārkārtīgi daudz, un mēs šeit varēsim pievērsties tikai niecīgai to daļai, arī tos neatspoguļojot pašā vispārīgākajā veidā. Katrs plaknes punkts nokrāsots balts, melns vai sarkans (krāsojums ir pilnīgi patvaļīgs). Pierādīt, ka var atrast divus punktus, kas abi nokrāsoti vienādi un atrodas 1 m attālumā viens no otra.

Hromatiskais skaitlis Plaknes hromatiskais skaitlis χ – minimālais krāsu skaits, kāds nepieciešams plaknes nokrāsošanai, lai nekuri divi vienības attālumā esošie punkti nebūtu vienā krāsā. Ja plakne ir nokrāsota divās krāsās, tad eksistē monohromatisks punktu pāris, t. i. , tādi divi vienā krāsā nokrāsoti punkti, kuri atrodas vienības attālumā. Vai apgalvojums pareizs, ja plakne nokrāsota trīs krāsās? Atbilde: jā. https: //www. cut-the-knot. org/proofs/Chromatic. Number. shtml Vai kāds zina, ar ko vienāds plaknes hromatiskais skaitlis? A. Soifer, The Mathematical Coloring Book, Mathematics of Coloring and Colorful Life of Its Creators, Springer, 2009, 608 p.

Hromatiskais skaitlis Taisnes gadījumā atbilde ir 2: Iekrāso [0, 1) sarkanu, [1, 2) zilu, utt. Grafa ar vienības nogriezni savienotās virsotnes jāiekrāso dažādās krāsās. Vai jebkura šāda grafa virsotņu iekrāsošanai pietiek ar trīs krāsām? Pr. d. Tāda grafa meklēšana, kura iekrāsošanai nepietiek ar 3 krāsām.

Hromatiskais skaitlis Ideja The Moser graph (spindle) The Hajós graph Sierpiński sieve graph S

Hromatisko skaitļu novērtējumi Plaknes punktu iekrāsojums 7 krāsās: Telpas hromatiskais skaitlis: There is now some evidence that the chromatic number of the plane may depend on the axioms of set theory. This was first seen possible in examples constructed by Saharon Shelah and Alexander Soifer. (sets are Lebesgue measurable)

Jaunums Posted on April 18, 2018 by Brent The problem of determining CNP (known as the Hadwiger-Nelson problem) was first posed around 1950, and we have known for a long time that the answer is somewhere between 4 and 7, inclusive. About a week ago, Aubrey de Grey published a paper titled “The chromatic number of the plane is at least 5”, which is a really cool result. https: //www. livescience. com/62425 -hadwiger-nelson-graph-colorsolution. html

Aubrey David Nicholas Jasper De Grey 20 April 1963 (age 55) London, England. A number of mathematicians have taken part in the challenge, and at present, the new record seems to be 826 vertices. De Grey's graph has 1581 -vertices but it has since been reduced to 633 vertices by independent researchers. https: //www. quantamagazine. org/decades-old-graph-problem-yields-to-amateurmathematician-20180417/ https: //en. wikipedia. org/wiki/Aubrey_de_Grey

Citi, vienkāršāk uztverami rezultāti un jaunumi Maksimālais (? ) skaits.

No erudītu lappuses Projekta «Dabaszinības un matemātika» mācību materiāli Terra, 2010, 32. lpp. Cik kvadrātu var saskatīt dotajā zīmējumā? A. 9. B. 10 C. 11 D. 14 Formulējums rada divdomības, tas jāprecizē. ZPD, projekti: skolas, reģiona (novada), valsts līmenis Cik daudz kvadrātu ir n x n rūtiņu kvadrātā? Atrast kvadrātu skaita a(n) formulu. Uzrādīt dažādas formulas iegūšanas metodes.

Nākamais līmenis Cik taisnstūru rodas, ja n horizontālas līnijas krusto ar m vertikālām līnijām? Kvadrātu skaita a(n) formula a(1) = 1 a(2) = 5 a(3) = 14 a(4) = 30 a(5) = 55 a(6) = 91 Indukcija. Lai lietotu indukcijas metodi, vispirms kaut kādā veidā jāuzzina pati formula, kuras pareizība pēc tam jāpierāda. Vai šajā virknē gadīsies kāds kvadrāts, t. i. , ?

Formulu iegūšana Summas zīme

Elegants pierādījums 1 4

Elegants pierādījums

LAMO-45, 2018, 12. kl. Indukcija. Roger B. Nelsen, Proofs without Words: Exercise in Visual Thinking, The Mathematical Association of America, 1993.

Kā saskaitīt slīpos kvadrātus? 1 5 + 1 = 6 14 + 6 = 20 30 + ? = 3 + 8 + 9 = 20 Virkne: 1, 6, 20, 50, . . . ? Ideja 30 + 20 = 50

Visu kvadrātu skaits Elegants formulas iegūšanas veids: Viens un tas pats kvadrāts atbilst sešām divu punktu izvēlēm. Visu kvadrātu skaita formula, izrādās, ir pat īsāka un vienkāršāk iegūstama nekā tikai slīpo vai tikai taisno kvadrātu skaita formula.

Monohromatiski kvadrāti Monohromatisks jeb m-kvadrāts – kvadrāts, kuram visas virsotnes iekrāsotas vienā krāsā. Figūras rūtiņas tiek iekrāsotas divās krāsās tā, lai iekrāsoto rūtiņu centri neveidotu m-kvadrātus. Šāda tipa izdevumus sauc par monohromatisko kvadrātu izslēgšanas (bloķēšanas) uzdevumiem. Pr. d. 1. Uzrādīt 4 x 4 rūtiņu kvadrāta iekrāsojumu, kas nesatur m-kvadrātus. 2. Uzrādīt 4 x 2018 rūtiņu taisnstūra iekrāsojumu, kas nesatur m-kvadrātus. 3. Uzrādīt 5 x 5 rūtiņu kvadrāta iekrāsojumu, kas nesatur m-kvadrātus.

Monohromatisko kvadrātu bloķēšana A. 1. -2. Var iekrāsot joslu ZPD 4. Uzrādīt 6 x 6 rūtiņu kvadrāta iekrāsojumu, kas satur tieši divus m-kvadrātus. 5. Uzrādīt 6 x 6 rūtiņu kvadrāta iekrāsojumu, kas satur tieši vienu m-kvadrātu. 6. Kādu maksimālo 6 x 6 kvadrāta rūtiņu skaitu var iekrāsot divās krāsās, lai bloķētu m-kvadrātus? 7. Kādu maksimālo 6 x 7 taisnstūra rūtiņu skaitu var iekrāsot divās krāsās, lai bloķētu m-kvadrātus?

ZPD Jauna spēle. Divi spēlētāji secīgi viens pēc otra iekrāso kvadrāta rūtiņas, viens sarkanā, otrs zaļā krāsā. Zaudē tas, kurš pirmais izveido m-kvadrātu. Vai spēle var beigties neizšķirti? Aplūkot dažādus kvadrātus, to skaitā 5 x 5 un 6 x 6.

Maksimālais kvadrātu skaits Vai virknes 1, 3, 6, 10, 15, 21, 34 Ko skaitām? Pat zinot, ko skaitām, nav garantijas, ka spēsim noteikt dažus nākamos locekļus. George Sicherman, 2019 The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences Search: seq: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 34 Sorry, but the terms do not match anything in the table.

A monochromatic-square-free 2 -coloring for G(14, 14) in 2. 14 seconds using the Minisat SAT solver. 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 https: //www. cs. umd. edu/~gasarch/TOPICS/vdw/monosquareexact. pdf

Lai panākumi atkarīgi no ieguldītā darba!