RADICALES Y LOGARITMOS U D 2 4 ESO

RADICALES Y LOGARITMOS U. D. 2 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 1

RADICALES U. D. 2. 1 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 2

RADICALES • EXPRESIÓN RADICAL n = índice n √a =r r = raíz a = radicando n √a =r n si se verifica que r @ Angel Prieto Benito = a, siendo n > 1 un número natural. Matemáticas 4º ESO E. AC. 3

RADICALES • Ejemplos • Índice par y radicando positivo • √ 4 = 2 y -2, pues 22 = 4 y (-2)2 = 4 • Índice par y radicando negativo • 4 4 • √ -16 = No hay, pues no existe r tal que r = - 16 • Índice impar • 3 • √ 8 = 2 , pues 23 = 8 • 3 • √ - 8 = - 2 , pues (- 2)3 = - 8 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 4

Error máximo de un radical • Sea el número √ 20 • √ 20 = 4, 4721 • Aproximación por DEFECTO: • 42 = 16 • Aproximación por EXCESO: • 52 = 25 • Error máximo cometido: • 25 – 16 = 9 @ Angel Prieto Benito 4, 42 = 19, 36 4, 52 = 30, 25 – 19, 36 = 10, 89 4, 472 = 19, 9809 4, 482 = 20, 0704 – 19, 9809 = 0, 0895 Matemáticas 4º ESO E. AC. 5

Error máximo de un radical • Otro ejemplo • Sea el número √ 35 • √ 35 = 5, 9160 • Aproximación por DEFECTO: • 52 = 25 • Aproximación por EXCESO: • 62 = 36 • Error máximo cometido: • 36 – 25 = 11 36 – 34, 81 = 1, 19 @ Angel Prieto Benito 5, 92 = 34, 81 62 = 36 5, 912 = 34, 9281 5, 922 = 35, 0464 – 34, 9281 = 0, 1183 Matemáticas 4º ESO E. AC. 6

PROPIEDAD FUNDAMENTAL • Si se multiplica o divide el índice y el exponente del radicando por un mismo número distinto de 0, la raíz no varía. • Ejemplos: • • 4 3. 4 12 √ 2 8 = [ Multiplicamos por 3 ] = √ 2 3. 8 = √ 2 24 • • 4 4/2 √ 2 8 = [ Dividimos entre 2 ] = √ 2 8 / 2 = √ 2 4 • • 4 12 √ 2 4 = √ 2 8 = √ 2 24 2 4 / 2 = 2 8 / 4 = 2 24 / 12 • Nota: Cuando el índice, n, es 2 se omite su escritura. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 7

RADICALES Y POTENCIAS • • • Una potencia fraccionaria es igual a un radical que tiene por índice el denominador de la fracción, y por radicando, la base elevada al numerador: Luego n a m/n = √ am • • Ejemplos • (-2/3)(-3/2) = √ (-2/3)-3 = √ (-3/2)3 No es real 3 5/2 = √ 35 5 3 - 3/5 = √ 3 -3 = √ (1 / 33 )= 1 / √ 33 7 7 7 (-3) 5/7 = √ (-3)5 = √ - 35 = - √ 35 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 8

OPERATIVIDAD • Producto de potencias de igual base. • 3 5 1/3 1/5 (1/3+1/5) 8 / 15 • √ 2 = 2 • División de potencias de igual base. • 3 5 1/3 1/5 (1/3 - 1/5) 2 / 15 • √ 7: √ 7 = 7 : 7 = 7 • Producto de bases con igual exponente. • 3 3 1/3 1/ 3 • √ 7. √ 5 = 7. 5 = (7. 5) = 35 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 9

OPERATIVIDAD • División de bases con igual exponente. • • 3 3 1/3 1/ 3 √ 7 : √ 5 = 7 : 5 = (7: 5) = (7 / 5) • Potencia de potencia • • 3 6 √ (√ 25 ) = [(25 )1/2]1/3 = 25. (1/2). (1/3) = 25/6 = √ 25 • Análogamente hemos visto en el ejemplo que hallar la raíz de otra raíz equivale a una única raíz que tiene por índice el producto de los índices. Pues sabemos que la potencia de otra potencia es otra potencia de igual base y de exponente el producto de los exponentes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 10

ORDENACIÓN DE RADICALES • • Para ORDENAR RADICALES de mayor a menor o viceversa, deben tener el mismo índice o el mismo radicando. Si no es así, siempre podemos conseguir que tengan el mismo índice mediante radicales equivalentes. • Ejemplo • • 3 7 √ 2 y √ 5 No se pueden ordenar sin hacer índices comunes. • • PROCEDIMIENTO EN ESTE CASO: HALLAR RADICALES EQUIVALENTES • • 7. 3 7 3 √ 2 y √ 5 • • Y ahora sí que podemos ordenarlos al tener el mismo índice. Pues a igualdad de índices es mayor quien tenga mayor radicando. @ Angel Prieto Benito 21 7 √ 2 y 21 3 21 21 √ 5 √ 128 y √ 125 Matemáticas 4º ESO E. AC. 11

Ordenación de radicales • • • CASO DE TENER EL MISMO ÍNDICE: Será menor el que tenga menor radicando. Ejemplo 3 3 √ 2 y √ 5 > √ 2 , pues 5 > 2. • • CASO DE TENER EL MISMO RADICANDO: Será mayor el que tenga menor índice. Ejemplo 3 5 1/3 1/5 √ 2 y √ 2 2 > 2 , pues 1/3 > 1/5 5/15 > 3/15 15 3 5 / 15 3 / 15 √ 2 > √ 2 2 > 2 • • Pregunta ¿Qué número es mayor: Raíz cuadrada de 0, 5 o raíz cúbica de 0, 5? @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 12