Raciocnio lgico matemtico Unidade 3 Deduo Seo 3

Raciocínio lógico matemático Unidade 3: Dedução Seção 3. 1 – Regras de inferência diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 1

Lembrando • Proposição: Afirmação que possui um valor lógico (verdadeiro ou falso) • Premissa: Proposição utilizada em um argumento • Conclusão: Fato obtido através de uma sequência de premissas diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 2

Premissa e conclusão • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 3

Premissa e conclusão (P 1) Hoje é terça. (P 2) Diego é professor. (P 3) Hoje faz calor. (Q) A aula vai ser boa. Hoje é terça e Diego é professor e hoje faz calor acarretam que a aula vai ser boa. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 4

Assimilar • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 5

Exemplo 1 Se o médico analisa o exame, então ele realiza o diagnóstico. Ele analisou o exame e conseguiu produzir um diagnóstico 1º Transformar argumento em linguagem simbólica. O médico analisa o exame Ele realiza o diagnóstico (p) (q)

Exemplo 1 • p V V F q V F V F F V diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br Premissa e conclusão verdadeiros, logo o argumento é válido. 7

Exemplo 2 Se ndrea trabalha na clínica, então ela não fica em casa. Ela não foi trabalhar na clínica e, por isso, ficou em casa. 1º Transformar argumento em linguagem simbólica. ndrea trabalha na clínica Fica em casa diegofernandes. weebly. com (p) (q) Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 8

Exemplo 2 • Tabela verdade fica p V V F q V F V F F V V V F Argumento inválido. Perceba que resposta na 4ª linha é falsa. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 9

Seção 2. 4 EXERCÍCIOS DO LIVRO – COM RESPOSTAS diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 10

Exercício 1 • Para realizar uma dedução lógica, devemos utilizar: a. b. c. d. e. As regras de derivadas e as implicações. As equivalências e as regras de inferências. As regras de sinal e as equivalências. As derivadas e as regras de inferências. As regras de derivadas e as regras de inferências. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 11

Exercício 2 • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 12

Exercício 3 • Regras de inferência Nome Regra Adição (AD) Simplificação (SIMP) Absorção (ABS) diegofernandes. weebly. com 13

Raciocínio lógico matemático Unidade 3: Dedução Seção 3. 2 – Modus ponens e silogismo diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 14

Modus Pomens • Modus pomens (forma de provar através da afirmação). • Basicamente, método funciona a partir de uma condicional entre duas proposições verdadeiras

Modus Pomens - exemplo • p q V V F F F V V F F V

Silogismo • Enfoque introdutório • Composto por: – 1º) Premissa maior. – 2º) Premissa menor. – 3º) Conclusão diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 17

Silogismo - Exemplo • Toda mãe cuida dos filhos (premissa maior) • Fernanda é mãe. (premissa menor) • Logo, Fernanda cuida dos filhos. (conclusão) diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 18

Silogismo – REGRA 1 • Todo silogismo contém somente 3 termos: Maior, médio e menor • Exemplo – Toda mãe cuida dos filhos (premissa maior) • Termo maior: CUIDA DOS FILHOS • Termo médio: Mãe – Fernanda é mãe. (premissa menor) • Termo menor: FERNANDA • Logo, Fernanda cuida dos filhos. (conclusão) diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 19

Silogismo – REGRA 2 • Nunca, na conclusão, os termos podem ter extensão maior do que as premissas • Exemplo de violação (construção errada) – Toda menina gosta de bordar. – Nenhum menino é menina. – Portanto, nenhum menino gosta de bordar. Comentário: • Não é mencionado sobre meninos gostar ou não de bordar, portanto, não é possível chegar nesta conclusão. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 20

Silogismo – REGRA 3 • O termo médio não pode entrar na conclusão • Exemplo de violação (construção errada) – Todo cachorro é quadrúpede. – Golden Retriever é uma raça de cachorro. – Logo, todo cachorro é cachorro. Comentário: • O erro foi que o termo médio “cachorro” apareceu na conclusão. . . • O certo seria: Logo, todo Golden Retriever é quadrúpede. • Conclusão sempre segue o termo menor. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 21

Silogismo – REGRA 4 • O termo médio deve ser universal ao menos uma vez. • Exemplo de violação – Alguns inteligentes são legais. – Alguns professores são inteligentes. – Logo, alguns professores são legais. Comentário: • Premissas usam termo alguns, o que demonstra ser casos particulares. . . • Dessa forma não pode ser inferido que alguns professores são legais. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 22

Silogismo – REGRA 5 • De duas premissas negativas, nada se conclui. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 23

Silogismo – REGRA 6 • De duas premissas afirmativas não pode haver conclusão negativa. • Exemplo de violação: – Todos os estudantes são inteligentes. – Camila é estudante. – Portanto, Camila não é inteligente. – Comentários: Assumindo premissas como sendo verdadeiras, conclusão está totalmente errada, pois não existe nenhuma premissa negativa. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 24

Silogismo – REGRA 7 • A conclusão sempre segue a premissa menor ou mais fraca. • Exemplo de violação: – Os alunos inteligentes estudam. – Pedro é um aluno inteligente. – Portanto, os alunos estudam. – Comentário: • Deveria seguir a premissa menor, ou seja, Pedro. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 25

Silogismo – REGRA 8 • De duas premissas particulares, nada se conclui. • Exemplo de violação: – Algumas meninas são bondosas. – Algumas pessoas são meninas. – Portanto, algumas pessoas são bondosas. – Comentário: • Todos os termos são usados de forma particular. • Premissas e conclusão podem ser corretas. • Apesar disto, conclusão não depende das premissas, já que se tira uma conclusão de casos particulares. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 26

Silogismo – TIPOS • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 27

Seção 3. 2 EXERCÍCIOS DO LIVRO RESPONDIDOS diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 28

Exercício 1 Os princípios na argumentação através do silogismo estão resumidos através de oito regras básicas de estrutura formal. Não é uma das regras do silogismo: a. b. c. d. e. Todo silogismo contém somente três termos: maior, médio e menor. Nunca, na conclusão, os termos podem ter extensão maior do que nas premissas. De duas premissas negativas, nada se conclui. Proposições são formadas pelas sentenças declarativas fechadas. De duas premissas particulares, nada se conclui. Comentário: O item d só mostra o que é necessário para que tenhamos uma proposição diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 29

Exercício 2 • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 30

Exercício 3 O silogismo é uma forma de dedução muito importante e amplamente cobrada em provas e concursos. Os nomes das partes que compõem o silogismo são: a. b. c. d. e. Premissa maior, premissa menor e tese. Premissa maior, premissa menor e conclusão. Premissa maior, hipótese e tese. Hipótese, tese e conclusão. Comentário: A letra b apresenta as partes corretas do silogismo, que são: premissa maior, premissa menor e conclusão. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 31

Raciocínio lógico matemático Unidade 3: Dedução Seção 3. 3 - Contrapositiva diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 32

Lembrando •

Pergunta • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 34

Modus Tollens • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 35

Exemplo equivalente Modus ponens Modus tollens Se Pedro guarda dinheiro, então ele faz poupança. Pedro guardou dinheiro. Se Pedro não fez poupança, então ele não guardou dinheiro. Pedro não guardou dinheiro. p: Pedro guarda dinheiro; q: ele faz poupança. ~q: Pedro não fez poupança; ~p: Pedro não guardou dinheiro. Conclusão: Pedro não fez Conclusão: Pedro fez poupança. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 36

Para entender • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 37

Exemplo 2 • Se Pedro praticar muito, então ele se tornará um mestre no que faz. • Ele não se tornou um mestre. O que podemos concluir? diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 38

Exemplo 2 - Resultado • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 39

Exemplo 3 Se aluno estudar, então ele irá melhorar seu desempenho acadêmico. Aluno não melhorou seu desempenho acadêmico. O que podemos concluir? diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 40

Exemplo 3 - resposta • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 41

Seção 3. 3 EXERCÍCIOS DO LIVRO RESPONDIDOS diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 42

Exercício 1 • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 43

Exercício 2 Considere as seguintes proposições: • Se não houver chuva, então não haverá como plantar. • Realmente não houve chuva. A partir dessas premissas e utilizando a regra de inferência modus tollens, podemos deduzir que: a. b. c. d. e. Então não haverá como plantar. Então haverá chuva. Então não haverá chuva nem como plantar. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 44

Exercício 3 Os métodos dedutivos modus ponens e modus tollens possuem características distintas e, por isso, são usados em situações divergentes. Podemos classificá-los, respectivamente, em métodos dedutivos: a. b. c. d. e. Objetivo e trocado. Ponderado e indireto. Direto e contrário. Ponderado e trocado. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 45

Raciocínio lógico matemático Unidade 3: Dedução Seção 3. 4 – Redução ao absurdo diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 46

Absurdo • Demonstrar através de um absurdo? • Como isso pode trazer um argumento válido? • Aplicação: – Casos onde não é possível chegar a uma conclusão verdadeira, mesmo partindo de premissas verdadeiras – Para isso, vamos negar uma premissa verdadeira (supor o que se quer provar como algo contrário ao que se quer provar de forma a se chegar em um absurdo) diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 47

Simbolicamente • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 48

Exemplo 1 • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 49

Exemplo 1 - assim teremos 1. 2. 3. 4. Diego é professor ou Camila é pedagoga. Diego não é professor. Camila não é pedagoga. Camila é pedagoga. (Silogismo disjuntivo de 1 e 2) 5. Camila é pedagoga e Camila não é pedagoga. Conjunção de 3 e 4) ABSURDO

Observação - silogismo disjuntivo • Forma de argumentação classificada como válida do seguinte tipo: p ou q não p Logo q • Exemplo – Ele compra um carro ou ele compra uma casa. – Ele não compra um carro. – Logo, ele compra uma casa. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 51

Exemplo 2 • diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 52

Exemplo 2 – assim teremos 1. 2. 3. 4. 5. Se aluno estuda, então ele aprende. Aluno estuda. Ele não aprende. Ele aprende. (modus ponens 1 e 2) Aluno aprende e aluno não aprende. (conjunção 3 e 4) ABSURDO

Exemplo 3 • 1. 2. 3. 4. 5. Se x e y é impar, então xy é impar. x e y é impar. xy é impar. (modus ponens 1 e 2) xy é par e xy é impar. (conjunção 3 e 4) ABSURDO diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 54

Seção 3. 4 EXERCÍCIOS DO LIVRO RESPONDIDOS diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 55

Exercício 1 Uma alternativa à demonstração direta é a demonstração chamada de redução ao absurdo. O seu funcionamento consiste em: a. b. c. d. e. Trocar algumas premissas verdadeiras por premissas falsas e, assim, chegar a um absurdo. Considerar como falsas premissas verdadeiras e, assim, obter um absurdo com conclusão. Admitir como absurdas todas as premissas existentes e, assim, chegar a uma contradição. Considerar como premissa verdadeira a negação do que se quer provar e, assim, chegar a um absurdo. Realizar uma demonstração direta e obter um absurdo como solução. Comentário: Essa situação irá violar o princípio da não contradição. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 56

Exercício 2 Uma demonstração por redução ao absurdo onsiste em criar uma situação que produza um resultado que viola a seguinte lei da lógica: a. b. c. d. e. Princípio da identidade. Princípio da não contradição. Princípio universal do direito. Princípio da verdade. Princípio do terceiro excluído. Comentário: Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. diegofernandes. weebly. com Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva diego. fernandes@pitagoras. com. br 57