RACHUNEK PRAWDOPODOBIESTWA MAEW 104 PROJEKT F ILUSTRACJA CENTRALNEGO
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA MAEW 104 PROJEKT (F) ILUSTRACJA CENTRALNEGO TWIERDZENIA GRANICZNEGO Projekt wykonany przez studentów I roku ARI Politechniki Wrocławskiej: Natalia Czop Dawid Dąbrowski Aneta Górniak Andrzej Jakubiec Piotr Walczak 09 czerwca 2008
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE (CTG Lindeberga-Lévy’ego)
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE Rozważmy zmienną losową postaci: m – wartość oczekiwana σ – pierwiastek z wariancji
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE Sn oznacza , gdzie Xi są niezależnymi zmiennymi losowymi o: ● ● ● jednakowym rozkładzie takiej samej wartości oczekiwanej m skończonej wariancji σ 2 > 0
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE Wtedy zmienna losowa o takiej postaci zbiega według rozkładu do standardowego rozkładu normalnego, gdy n (liczba zmiennych losowych tworzących daną sumę) rośnie do nieskończoności.
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE Dla każdego przy
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE Gdzie: to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego
CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE krzywa Gauss’a – funkcja gęstości prawdopodobieństwa standardowego rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej równej zeru i wariancji równej 1.
JAK DZIAŁA CTG ? Xi o rozkładzie Poissona
JAK DZIAŁA CTG? Losujemy n liczb o takim samym rozkładzie tych n liczb normalizujemy (aby rozkład zbiegał do rozkładu normalnego o parametrach m = 0, σ² = 1 ) Sumę Czynność powtarzamy N razy
JAK DZIAŁA CTG? („rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Poissona, λ = 5)
JAK DZIAŁA CTG? („rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Poissona, λ = 5)
JAK DZIAŁA CTG? („rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Laplace’a, l=0, λ = 2)
JAK DZIAŁA CTG? („rysowanie ścieżek” – błądzenie losowe z prawdopodobieństwem z rozkładu Laplace’a, l=0, λ = 2)
ROZKŁAD POISSONA To rozkład dyskretny przedstawiający liczbę wystąpień zjawiska w czasie t, w określonej liczbie prób, gdy wystąpienia te są niezależne od siebie.
ROZKŁAD POISSONA
JAK DZIAŁA CTG? Rysujemy wykres: Tworzymy histogram na podstawie otrzymanych w wyniku błądzenia losowego sum zmiennych losowych sprawdzamy czy histogram jest zbliżony do krzywej Gaussa.
JAK DZIAŁA CTG? (liczba zmiennych losowych w sumie n = 200, liczba sum N = od 100 do 10 000)
JAK DZIAŁA CTG? (liczba zmiennych losowych w sumie n = 200, liczba sum N = od 100 do 10 000
JAK DZIAŁA CTG? (liczba zmiennych losowych w sumie n = 200, liczba sum N = od 100 do 10 000
JAK DZIAŁA CTG? (liczba zmiennych losowych w sumie n = od 10 do 200, liczba sum N = 10 000)
JAK DZIAŁA CTG? (liczba zmiennych losowych w sumie n = od 10 do 200, liczba sum N = 10 000)
JAK DZIAŁA CTG? (liczba zmiennych losowych w sumie n = od 10 do 200, liczba sum N = 10 000)
DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA DO WYKRESU ROZKŁADU POISSONA
INNE PRZYKŁADY ROZKŁADU XI
ROZKŁAD LAPLACE’A (PODWÓJNIE WYKŁADNICZY) Matematyczne zastosowania rozkładu Laplace'a można znaleźć w pracy Johnsona i Kotza (Continuous univariate distributions, 1995).
ROZKŁAD LAPLACE’A (PODWÓJNIE WYKŁADNICZY)
DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA DO WYKRESU ROZKŁADU LAPLACE’A
ROZKŁAD PASCALA (UJEMNY DWUMIANOWY) Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący czas oczekiwania na l-ty sukces. Jeśli l to liczba sukcesów, k - liczba porażek, a p – prawdopodobieństwo sukcesu (w badanych próbach Bernoulliego) to rozkład Pascala opisuje jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia l sukcesów w k+l próbach.
ROZKŁAD PASCALA (UJEMNY DWUMIANOWY)
DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA DO WYKRESU ROZKŁADU PASCALA
ROZKŁAD JEDNOSTAJNY CIĄGŁY Rozkład prawdopodobieństwa, dla którego gęstość prawdopodobieństwa na przedziale (a, b) jest stała i różna od 0, a poza nim równa 0 ( gdzie b > a )
ROZKŁAD JEDNOSTAJNY CIĄGŁY
DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA DO WYKRESU ROZKŁADU JEDNOSTAJNEGO
ROZKŁAD WYKŁADNICZY Rozkład zmiennej losowej opisujący sytuację, w której obiekt może przyjmować stany X i Y, przy czym obiekt w stanie X może ze stałym prawdopodobieństwem przejść w stan Y w jednostce czasu.
ROZKŁAD WYKŁADNICZY
DOPASOWANIE KRZYWEJ GAUSSA DO WYKRESU ROZKŁADU WYKŁADNICZEGO
- Slides: 37