Qualitt von Netzen Definition von Qualitt Przision Zuverlssigkeit
- Slides: 72
Qualität von Netzen • • Definition von Qualität Präzision Zuverlässigkeit Beispiel Datumsfestlegung – Qualität Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Was ist Qualität? Vier Bedingungen für Qualitätskriterien: – allgemein anerkannt – nachvollziehbar – objektiv – adäquat Qualität oft wertend: „gute Qualität“ Hängt oft von der Aufgabe ab Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Anerkannte Definition „Grad, in dem ein Satz inheränter Merkmale Anforderungen erfüllt“ (ISO 9000) Immer im Kontext mit Anforderungen Geographische Daten (Guptill & Morrison 1995): – – – Vollständigkeit Positions- und Attributsgenauigkeit Aktualität Auflösung bzw. Maßstab Konsistenz (Abwesenheit von Widersprüchen) Herkunft Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Qualität in der Geodäsie? Gezielt gesetzt Schwerpunkte Unterscheidung zwischen – Präzision – Zuverlässigkeit Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Präzision Mit wie vielen signifikanten Stellen wurde ein Wert bestimmt? Statistische Verteilung der Realisierungen Nur korrekt, wenn funktionales Modell und a priori Annahmen über Standardabweichung und Korrelation korrekt Qualität des Entwurfes Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Zuverlässigkeit Kontrollmöglichkeiten im Ausgleichsmodell Kriterien für Kontrollierbarkeit von Beobachtungen Abschätzung des Einflusses nicht aufdeckbarer Fehler auf die Unbekannten Qualität der Realisierung Aussagen über den Schutz vor groben Fehlern Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Beurteilung der Präzision Beurteilung von erforderlicher bzw. erreichter Präzision notwendig Maße für die Präzision eines Punktes sollte geometrisch anschaulich sein Es gibt noch Maße für die Präzision von Funktionen und des gesamten Netzes (globale Kriterien für die Präzision) Maße für die Präzision sind meist datumsabhängig Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Präzision von Netzpunkten Maßgeblich ist die Kovarianzmatrix Zu beachten: ist nur Schätzwert für die Gewichtseinheit - umso genauer je höher die Anzahl der Freiheitsgrade nf Bei a-priori-Ausgleichung: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Standardabweichung Konfidenzhyperellipsoid, Fehler. Relative der und. Koordinaten Eigenwertkriterien, Konfidenzellipse Fehler- und oder Konfidenzellipsen und mittlere Hauptkomponentenanalyse Punktlagefehler Präzision der Koordinaten etc. Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Lokale Kriterien für die Präzision • • Präzision einzelner Beobachtungen Präzision einzelner Unbekannter Präzision von Funktionen der Unbekannten Helmertsche Fehlerellipse Präzision eines Koordinatenpaares relative Fehlerellipse (relative) Konfidenzellipse Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Präzision einzelner Beobachtungen A priori- Präzision der Beobachtungen in Sll stochastisches Modell der Ausgleichung • A posteri- Präzision : • Kofaktoren/Kovarianzen der Verbesserungen: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Präzision einzelner Unbekannter • Varianz sx 2, sy 2, sz 2 (sh 2) • Standardabweichung sx, sy, sz (sh) Direkt abgelesen aus Kofaktormatrix Qxx Abhängig von der Lage des Koordinatensystems eher selten verwendet • Konfidenzintervall (siehe A 1) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Präzision von Funktionen der Unbekannten Gegeben: Beliebige Funktion j=f. Tx und die Kovarianzmatrix Sxx der Unbekannten x Gesucht: Varianz der Funktion j Kovarianzfortpflanzungsgesetz (siehe A 1): Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Helmert‘sche Fehlerellipse Gegeben: sx und sy Gesucht: Mittlerer Fehler des Punktes in einer beliebigen Richtung Ergebnis: Fußpunktskurve mit den Halbachsen A und B Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Herleitung (1) Konfiguration: – Punkt P mit Koordinaten x und y, Standardabweichungen sx und sy – Punkt P mit Koordinaten x und h ist fehlerfrei gegeben – Punkt P rotiert auf Kreisbahn um Punkt P Bestimmung des Streckenfehlers PP über Fehlerfortpflanzungsgesetz Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Herleitung (2) Fehlerfortpflanzungsgesetz liefert Einsetzen von liefert Fußpunktskurve einer Ellipse mit sx, sy Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Fußpunktskurve Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Fehlerellipse Ellipse der Fußpunktskurve heißt mittlere Fehlerellipse nach Helmert oder Standard–Ellipse Bei P auf x- oder y-Achse: g = 0 / g = p/2, sr fällt mit Halbachsen sx bzw. sy der Ellipse zusammen Voraussetzung für diesen Weg: sx und sy unabhängig voneinander, also sxy = 0 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Allgemeine Lösung (1) Transformation Allgemeines Fehlerfortpflanzungsgesetz liefert aus der Kofaktorenmatrix Qxx die Kofaktorenmatrix im gedrehten System Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Allgemeine Lösung (2) Suche der Extremwerte und der zugehörigen Richtungen: Ableitung nach j Als Extremwertaufgabe gleich Null gesetzt Vergleich mit Kofaktoren im gedrehten System: Bei qtu=0 Drehwinkel j gleich Richtung der max. Varianz F Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Allgemeine Lösung (3) Wenn also j gleich der Richtung der max. Varianz, dann qtt und quu unabhängig mit extremen Werten Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Allgemeine Lösung (4) Netzbilder: Meist Ellipse gezeichnet Beziehungen: Richtungswinkel der großen Halbachse: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Wahre Punktlage vs. Helmert‘sche Fehlerellipse Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Fehlerellipse die wahre Punktlage überdeckt: ~29 -39% (abhängig vom Freiheitsgrad) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Berechnung über Spektralzerlegung Zerlegung des entsprechenden Ausschnittes Qii der Kofaktormatrix Qxx in Spektralmatrix D mit Eigenwerten l 1 und l 2 Modalmatrix S mit Eigenvektoren s 1 und s 2 mit den Kenngrößen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Genauigkeit eines Koordinatenpaares (1) • Punktlagefehler (siehe A 1) • Helmertscher (mittlerer) Punktlagefehler Längenmaß, auch Spurkriterium Keine Wahrscheinlichkeitsaussage möglich • Werkmeisterscher Punktlagefehler Flächenmaß, daher auch Flächenkriterium oder Volumenkriterium (bei 3 D) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Genauigkeit eines Koordinatenpaares (2) Punkte mit unterschiedlicher Fehlerellipse können denselben Punktlagefehler haben Werkmeisterschem Punktlagefehler: Extreme Achslängen der Fehlerellipse werden nicht erkannt! Tritt beim Helmertschen Punktlagefehler nicht auf Kleines Problem bei Helmert: Wert ist größer als große Halbachse der Fehlerellipse „totaler“ mittlerer Punktfehler nach Friedrich Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Relative Fehlerellipse (1) Relativpräzision zwischen zwei Punkten Pi und Pk Präzision des Mittelpunktes der Verbindungsgeraden Zunächst Kovarianzmatrix der Koordinatendifferenzen: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Relative Fehlerellipse (2) Graphische Darstellung der relativen Fehlerellipse meist in der Mitte der Verbindungsgeraden Existiert auch für zwei Punkte mit Abstand Null (z. B. mittlerer Durchschlagsfehler eines Tunnels) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Konfidenzellipse (1) Bereich, der mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 -a die wahre Punktlage überdeckt Kenngrößen aus entsprechenden Elementen der Helmertschen Fehlerellipse durch Multiplikation mit – – bei theoretischem Wert für bei empirischem Wert für 90%: doppelte Achslänge 99%: über dreifache Achslänge Fläche: mehr als 10 x so groß! Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Konfidenzellipse (2) bzw. Relative Konfidenzellipse entsprechend Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Globale Maße der Präzision Gesamte Kovarianzmatrix wird zur Berechnung herangezogen Insbesondere bei Netzoptimierung verwendet Arten – – – Konfidenzhyperellipsoid Rayleigh-Relation Homogenität/Isotropie Hauptkomponentenanalyse Kriteriummatrix Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Konfidenzhyperellipsoid Verallgemeinerung der Betrachtungen zur Fehlerellipse führt zu Eigenwerte größenmäßig absteigend angeordnet Halbachsen des Konfidenzhyperellipsoides: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Gütekriterien (1) Volumen des Konfidenzhyperellipsoides Das führt zu Ist eine Verallgemeinerung des Werkmeisterschen Punktfehlers Analogon zum Helmertschen Punktfehler: Spur- oder Varianzkriterium Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Gütekriterien (2) Durchschnittlicher Eigenwert oder mittlere Koordinatengenauigkeit Durchschnittlicher (Helmertscher) Punktfehler Auch Eigenwerte der Kofaktormatrix zur Berechnung verwendbar Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Rayleigh-Relation Beschränkung der resultierenden Präzision für beliebige Funktionen der Unbekannten Rayleigh-Quotient wird eingeschränkt: Sinnvolle Präzisionsforderung: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Homogenität/Isotropie • Homogen: Kein Punkt unterscheidet sich von einem anderen Punkt in irgendeiner Weise • Isotrop: Es gibt keine ausgezeichnete Richtung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Homogenität/Isotropie bei geodätischen Netzen • Homogenes Netz: Die lokalen Kriterien der Präzision (z. B. Helmertsche Fehlerellipsen) zeigen in allen Punkten dieselbe Tendenz • Isotropes Netz: Die Präzision ist in allen Richtungen gleich groß (die Helmertschen Fehlerellipsen sind Kreise) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Beurteilung von Homogenität Minimaler und maximaler Eigenwert Immer nur näherungsweise erfüllt! Homogenität und Isotropie nehmen zu je näher die Differenz bei Null bzw. der Quotient bei Eins liegt Homogene und isotrope Situationen sind nicht immer optimal (z. B. Tunnelvortrieb) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Hauptkomponentenanalyse Erste Hauptkomponente mit dem maximalen Eigenwert l 1 und dem zugehörigen normierten Eigenvektor s 1 Deckt Schwachstellen auf (Richtungen, die am schlechtesten bestimmt sind) Extreme Netzsituationen: größter EW bis zu 40 -60% der Gesamtvarianz wesentlicher Eigenvektor Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Kriteriummatrix Auch Kriterion-Matrix Spiegelt die vollständige Struktur der Kovarianzmatrix wider, hat aber eine geänderte Struktur Hat sich noch nicht durchgesetzt Siehe Grafarend (1979) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Optimierung • A-Optimalität: minimale Spur von Sxx • D-Optimalität: minimale Determinante v. ist die aus den nicht-verschwindenden Eigenwerten von Sxx gebildete Diagonalmatrix, also • E-Optimalität: minimaler Wert von lmax • S-Optimalität: minimale Differenz lmax-lmin Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Beurteilung der Zuverlässigkeit Geodätische Arbeitsweise: Durchgreifende Kontrollen Einfache Kontrolle: Wiederholung der Messung – nicht immer durchgreifend – – Refraktion gleich Automatische Korrekturparameter falsch Gerät nicht genau aufgestellt … Notwendig daher: Geometrisch anders wirkende Kontrolle Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Beispiel Neupunktsbestimmung für Punkt N Mögliche Messgrößen: Strecken, Winkel Eindeutige Lösung: Beliebige Kombination zweier Beobachtungen – Genauigkeit möglicherweise erreicht aber: Keine Kontrolle! 3. Beobachtung: Kontrolle, bei Fehler Bestimmung von N immer noch möglich Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Definition Zuverlässigkeit Ein geodätisches Netz ist zuverlässig, wenn allfällige Modellfehler entdeckt und eliminiert werden können Zuverlässigkeitskriterien beantworten die Fragen – – Gibt es grobe Fehler? Ist eine Beobachtung genügend kontrolliert? Wo liegt die Grenze nicht erkennbarer Fehler? Welchen Einfluss auf das Ergebnis hat dieser Grenzwertfehler? Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Beantwortung? Statistische Testverfahren Oft genaue Berechnung nicht notwendig, da nur relative Angaben für Entscheidung zwischen Varianten nötig • Innere Zuverlässigkeit – Standardisierte Verbesserungen – Redundanzanteil – Maximal aufdeckbare Ausreißer • Äußere Zuverlässigkeit – Durchschnittl. Einfluss eines Beobachtungsfehlers Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Standardisierte Verbesserungen aus Ausgleichung sind normal verteilt mit Mittelwert Null und Standardabweichung Standardisierte Verbesserung: Division durch Standardabweichung (vgl. normierte Normalverteilung), also Beobachtungen mit großem wi werden näher untersucht und eventuell eliminiert (z. B. 3 s -Regel) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Redundanzanteil (1) Statistischer Test: Mit Redundanz nf=n-u (n -n 0 bei bedingter Ausgleichung) wird die Streuung der wahren Fehler geschätzt über Nullhypothese: Aussage: Stichprobe gehört der Grundgesamtheit an, also nur zufällige Fehler Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Redundanzanteil (2) Alternativhypothese oder Einführung von Dv für die Differenz der Verbesserungen bei Null- und Alternativhypothese, also Dv=v|Ha-v|H 0 Gemischte Glieder verschwinden Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Redundanzanteil (3) Parameter l hat also zwei Bedeutungen: – Fiktive Erweiterung der Redundanz – Normierte Differenz der quadratischen Form v. TPv von Null- und Alternativhypothese Betrachten wir die Macht des Tests: Wahrscheinlichkeit für Annahme einer falschen Hypothese: 1 -b und somit Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Redundanzanteil (4) Testgröße F 1 -b, m, n ist Fisher-verteilt mit Redundanzen m und n bei Berechnung von s 2 bzw. s 2 l geht über in l=l(a, b, m=nf, n=∞) Parameter b kann ausgedrückt werden als mit m=nf und n=∞ Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Redundanzanteil (5) Übergang von Erwartungswerten auf konkrete Werte liefert Prüfung dieser Beziehung benötigt Untersuchung des Zusammenhanges zwischen v und l Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Redundanzanteil (6) x in v eingesetzt gibt Zusätzlich bekannt Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Redundanzanteil (7) Einsetzen für Qvv gibt Multiplikation von rechts mit –l gibt Und somit Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Redundanzanteil (8) Zum Ausdruck kommen wir, indem wir v=Ax-l in v. TPv einsetzen: Herausheben von –l. TP gibt Wir setzen nun den gerade berechneten Ausdruck für v ein und erhalten Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Redundanzanteil (9) Übergang auf Differenzen liefert Uns interessiert nun im Vektor Dl genau die Komponente , welche die Verschiebung l bewirkt. Wir setzen also Und erhalten Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Redundanzanteil (10) Der Nenner ergibt sich zu Und mit P=I erhalten wir Nenner: Steigerung der Präzision der Beobachtung durch die Ausgleichung bestimmt mit konkreten Werten für a 0 (klein), b 0 (groß), nf=1 (1 konkrete Beob. ) und n=∞ Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Redundanzanteil (11) Je größer , desto größer kann der entsprechende Fehler bei gleicher Auswirkung l sein. Grober Fehler fällt nur auf, wenn er größer als ist. Normale Ausgleichsgeometrien: Grober Fehler schlägt sich hauptsächlich in Werte in Hauptdiagonale von sind größer als die übrigen Werte der Zeile Verbesserung dieser Beobachtung nieder einer Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Redundanzanteil (12) Grober Fehler Auswirkung auf entsprechende Verbesserung: Verbesserung vorhanden, welche diesen Grenzwert überschreitet: Kann als grob falsch angesehen werden Parameter ri … Redundanzanteil der i-ten Beobachtung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Aussage der Redundanzanteile Zunehmender Betrag von ri zunehmende Kontrolle • ri = 0: vollkommen unkontrolliert • ri < 0, 3 : geringe Kontrolle – Aufdeckung grober Fehler kaum möglich • 0, 3 < ri < 0, 7 : gute Kontrollierbarkeit • ri > 0, 7 : sehr gute Kontrolle, Notwendigkeit? • ri = 1 : vollständig kontrolliert überflüssig Sri ist gleich der Gesamtredundanz Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Optimales Netz • Alle Beobachtungen kontrolliert • Alle Redundanzanteile etwa gleich groß Reduktion der Beobachtungen möglich, wenn häufig Redundanzanteile von 70% und mehr Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Lokale Zuverlässigkeit Bestimmt aus Quotient der entsprechenden Diagonalenglieder Summe im Allgemeinen größer als Gesamtredundanz außer unkorrelierte Beobachtungen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Kleinster aufdeckbarer Ausreißer Innere Zuverlässigkeit beschreibt Kontrollierbarkeit der Beobachtungen innerhalb des Netzes Bisher: Angaben über die innere Zuverlässigkeit Weiteres Maß: Grenzwert Grober Fehler gerade noch aufdeckbar Nichtzentralitätsparameter d 0 üblicherweise gesetzt zu 4, 13 (a 0=0, 1% und b 0=80%) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Äußere Zuverlässigkeit Auswirkungen unentdeckter Beobachtungsfehler auf die Unbekannten Für Nutzer oft wesentlich wichtiger! Oft verwendetes Maß: Durchschnittlicher Einfluss eines Beobachtungsfehlers Möglichst klein ( 0) Ist datumsinvariant Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Bemerkungen • Optimieren von Netzen verlangt Fingerspitzengefühl (wie genau messe ich tatsächlich? ) • Erforderliche Qualität variiert mit der Anwendung – Landesvermessung: möglichst homogen und isotrop – Tunnel: Querrichtung wichtiger als Längsrichtung • Unsere Qualitätsangaben sind in der Praxis oft problematisch: Juristen denken in absoluten Zahlen (Twaroch 2005), Baunormen verwenden maximal erlaubte Toleranzen (Peters 1974) • Projekte: Qualität oft vorgegeben (ENV 13005: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Qualitätskriterien Präzision innere P. a-priori P. Zuverlässigkeit äußere P. lokale P. globale P. innere Z. äußere Z. Redundanz Einfluss eines Fehlers auf die Unbekannten Statistische Tests Nabla-Operator a-posteriori Präzision Punktfehler Fehlerellipse Konfidenzellipse relative Fehlerellipse relative Konfidenzellipse Konfidenzhyperellipsoid Hauptkomponentenanalyse Homogenität Isotropie Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Einfluss eines Messwertes auf die Punktlage
Kap. 5: Beispiel Streckennetz • • • Zusammenhang Datum – Qualitätsmaße Langgestrecktes Netz (Trasse, Tunnel, …) A priori- Präzision 2 mm+1 ppm 22 Punkte, 45 Unbekannte, 102 Strecken Datumsdefekt d = 4 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Zwangsfreie Ausgleichung (1) • Datumsfestlegung: 4 Koordinaten (2 Punkte) festgehalten Redundanz 61 (102 - 41) • Bei jeder Datumsfestlegung andere Fehlerellipsen • Gerechnete Varianten: Festgehalten sind – Linke Eckpunkte – Obere Eckpunkte – Mittlere Punkte Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Zwangsfreie Ausgleichung (2) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Zwangsfreie Ausgleichung (3) • Redundanzen für 1. Fall (Festhalten 1 und 12) zwischen 50 und 65% • Strecke 1 nach 12 (beides Festpunkte) hat nicht 100%! • Ursache: Maßstab! von nach ri [%] 1 2 56 2 13 61 1 12 56 2 14 63 1 13 63 3 2 56 2 1 56 3 4 56 2 3 56 3 13 63 2 12 63 3 14 61 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil von nach ri [%]
Gezwängte Ausgleichung • 4 Eckpunkte für Datum 37 Unbekannte, Freiheitsgrad 65 • Kleinere Fehlerellipsen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Teilspurminimierung • Eckpunkte als Passpunkte • Keine Festpunkte Fehlerellipsen für alle Punkte • Freiheitsgrad 61 = 102 -45+4 (Lagerungsbedingungen) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
Gesamtspurminimierung • Alle Punkte als Passpunkte • Keine Festpunkte Fehlerellipsen für alle Punkte • Freiheitsgrad 61 • Beachte Lage der kleinsten Fehlerellipsen! Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
- Netzen legacy
- Raumschotkurs
- Erasmus von rotterdam beeinflusst von
- Von thünen model definition ap human geography
- Server virtualisierung definition
- Bid rent curve ap human geography
- Satz von hess
- Six assumptions of von thunen model
- Gustav falke zwei analyse
- Architektura systemu operacyjnego
- Gegenteil von addieren
- Site:slidetodoc.com
- Pauschalwertberichtigung forderungen berechnung
- Berufe mozart
- Caspar freiherr von weichs
- Zustandsformen wasser arbeitsblatt
- Eigenschaften vorbild
- Vwf deficiency labs
- Von thunen agricultural model
- Von thunens model
- Na von model
- Von neumannovo schéma
- Von neumannova schéma počítača
- Mar von neumann
- Karman method
- Von guten mächten wunderbar geborgen text
- Dich würde ich nicht von der bettkante stoßen
- Zuckerstammbaum
- Ulrich von jungingen
- Bài hát gió vờn cánh hoa bay giữa trời
- Wärmeleitfähigkeit von gasen
- Von thunen model
- Von thunen model rings explained
- Von thünen modeli
- Von neumann model components
- A reasonable man adapts himself to the world
- What was the metternich system
- John von neumann institute
- Werner von habsburg
- Tensiones de von mises
- Teori von thunen
- Suva schwarzer freitag
- Verwertung von kanalrückständen
- Wilhelm von humboldt sprachtheorie
- Sicheres befahren
- Anna rinder von beckerath
- Von hippel lindau hastalığı
- Fliehen präposition
- John von neumann random number generator
- Präpositionen des ortes
- Prinzip le chatelier
- John von neumann schema
- Kurzsichtigkeit physik
- Femur ap
- Alpha and beta angle in ddh
- Otto motor működése
- Gargalo de von neumann
- Feldstärke
- Haltbarkeit von cds
- Gerd von der lippe holmenkollstafetten
- Von neumann poker
- Ulrike von levetzow
- Hydroniumionen
- Gewaltpyramide
- Wortgleichung
- Jon von neumann
- Der cousin meiner mutter ist mein
- Totales differential thermodynamik
- Valvola di von gubaroff
- Vorratsdruck aufbauen, fahrbereitschaft feststellen
- Merkmale lyrik
- Lekcje z zus lekcja 1
- Sexitillion