Quadrati magici 2 9 4 7 5 3

Quadrati magici 2 9 4 7 5 3 6 1 8 Realizzazione: prof. ssa Oriana Pagliarone

Dal film di Nanni Moretti «Bianca» L’interrogazione

I cinesi avevano una predilezione per gli schemi: pertanto non meraviglia che il primo esempio di quadrato magico compaia nella matematica cinese.

Il primo quadrato magico, il più antico risale addirittura all’Antica Cina, ai tempi della dinastia Shang, nel duemila a. C. quando, secondo la leggenda, un pescatore trovò lungo le rive del fiume Lo, un affluente del fiume Giallo, una tartaruga che portava incisi sul suo guscio degli strani segni geometrici.

Il pescatore portò la tartaruga all’imperatore e i matematici al suo servizio studiando quei segni, scoprirono una imprevedibile struttura: un quadrato di numeri con somma costante 15 su ogni riga, colonna o diagonale. Lo Shu, così venne battezzato questo quadrato numerico, diventò uno dei simboli sacri della Cina, rappresentazione dei più arcani misteri della Matematica e dell’Universo.

Un esempio di quadrato magico 4 9 2 3 5 7 8 1 6

La somma di ogni riga o colonna o diagonale è sempre 15 Costruzione di un quadrato magico di ordine 3 con le cifre da 1 a 9 La somma delle cifre da 1 a 9 è 45 che diviso per 3 dà 15 e questa è la somma delle righe , colonne e diagonali.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 10 10 90 / 2 = 45 45/3 = 15

In una matrice di ordine 3 la cifra al centro appartiene a 2 righe e 2 diagonali, quindi in totale 4 incroci la cifra in uno dei 4 vertici si trova in 3 incroci(1 riga, 1 colonna, 1 diagonale), la cifra al centro di una riga o di una colonna si trova in 2 incroci (1 riga e 1 colonna).

Siccome le cifre possono essere così abbinate: 5 4 6 2 8 1 3 7 9 + + + + + (1; 9) (2; 8) (3; 7) (4; 6) (2; 9) (3; 8) (5; 6) (1; 8) (2; 7) (4; 5) (4; 9) (5; 8) (6; 7) (1; 6) (2; 5) (3; 4) (5; 9) (6; 8) (4; 8) (5; 7) (2; 6) (3; 5) ( 1; 5) (2; 4) 4 incroci 3 incroci 2 incroci quindi al centro quindi in un vertice quindi al centro di un lato 4 9 2 3 5 7 8 1 6

Oppure : I ragazzi possono costruire facilmente un quadrato magico di ordine 3, formato dai nove numeri interi successivi a partire da 1, seguendo le istruzioni: 1. disporre sulla scacchiera le pedine, precedentemente preparate, con i numeri da 1 a 9 nell'ordine; 2. spostare di una casella le pedine, facendole ruotare in senso orario attorno al 5 che si trova nella casella centrale; 3. scambiare di posto le pedine agli estremi di ciascuna delle diagonali (il 4 con il 6 e il 2 con l'8).

Scrivere i numeri di seguito (schema 1) far ruotare intorno al 5 in senso orario i numeri (schema 2) scambiare gli estremi delle diagonali (4 e 6, 8 e 2 ) (schema 3)

1 4 7 2 5 8 3 6 9 Ruota in senso orario intorno a 5 E ora inverti nelle diagonali 8 con 2 e 4 con 6 4 7 8 1 5 9 2 3 6 7 1 5 9 3 Ecco un quadrato magico di ordine 3

Ruotando di 90° in senso orario 4 9 2 8 3 4 3 5 7 1 5 9 8 1 6 6 7 2 Ruotando di 180° in senso orario 4 9 2 6 1 8 3 5 7 7 5 3 8 1 6 2 9 4

Ruotando di 90° in senso orario 4 3 8 9 5 1 2 7 6

Anche con il ribaltamento (scambiando le colonne )…. 4 9 2 2 9 4 3 5 7 7 5 3 8 1 6 6 1 8 Anche con il ribaltamento (scambiando le righe )…. 4 9 2 8 1 6 3 5 7 8 1 6 4 9 2 ecc…

Quadrati magici di ordine 4 Per far costruire ai ragazzi il più semplice quadrato magico di ordine 4, li faremo procedere secondo le istruzioni: 1. disporre sulla scacchiera di 4 caselle per lato le pedine con i numeri da 1 a 16; 2. scambiare di posto le pedine di una diagonale, per la precisione l'1 con il 16 ed il 6 con l'11; 3. ripetere il passaggio 2 per l'altra diagonale, scambiando il 4 con il 13 e il 7 con il 10.

Disporre sulla scacchiera di 4 caselle per lato le pedine con i numeri da 1 a 16 (schema 1) Invertire la prima diagonale (scambiare 16 con 1 e 6 con 11) (schema 2) Invertire la seconda diagonale (scambiare 4 con 13 e 7 con 10) (schema 3) Lo schema 3 è un quadrato magico (K=34) anche nel quadrato centrale (11+10+7+6=34) è detto anche diabolico

1 5 9 13 13 2 6 10 14 3 3 7 7 11 15 4 8 12 12 16

16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 14 15 1 4 Scambiando le due colonne centrali 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

Melanconia di Durer - 1514

Dettaglio

Sagrada Familia

1 11 8 13 14 7 10 2 14 6 10 3 4 9 5 15 Gaudì ha utilizzato un quadrato magico anomalo, con due ripetizioni (il 10 e il 14 ) e K = 33 ( non 34) per far comparire gli anni di Cristo

Questo è il quadrato magico del film di Nanni Moretti «Bianca» 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 13 2 3 16 11 8 5 10 6 9 12 7 4 15 14 1

1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 1 15 14 4 8 12 6 7 9 12 8 10 11 5 16 13 3 2 16 Altro metodo