PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2242021 1 PENGERTIAN FUNGSI

PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 1

PENGERTIAN FUNGSI Ø Definisi : Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan/memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Ø Aturan : • Setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B. • Tidak boleh ada anggota yang dipasangkan lebih dari satu anggota di B, seperti ini : A B PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 2

How to identify if an equation represents a function or not? Case 1: Algebraically one value of y function two values of y not function Solve for y Case 2: Graphically A graph is the graph of a function if and only if no vertical line intersects the graph at more than one point. PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 3

ILUSTRASI FUNGSI A B Fungsi Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang mempunyai 2 kawan di B. Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang tidak mempunyai kawan. PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 4

Identify which of the following graphs are graphs of functions b) a) y 2 = x c) y = x 2 + y 2 = 1 Not function PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA Not function 2/24/2021 5

d) x = | y – 2| e) x=1 f) y=1 Not function PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 function 6

Sifat-sifat Fungsi f : A B Fungsi Onto/Pada (Surjektif) Jika setiap anggota di Kodomain memiliki pasangan pada domain, Rf = Ko. (∀y∈B)(∃x∈A). y = f(x) Fungsi Into/Ke dalam Jika ada anggota di Kodomain yang tidak memiliki pasangan/prapeta di domain. Fungsi Satu-satu (Injektif) Jika setiap elemen yang berbeda di Domain mempunyai peta yang berbeda di Kodomain, jika x 1≠x 2 maka f(x 1)≠f(x 2) atau jika f(x 1)=f(x 2) maka x 1= x 2. Fungsi Satu-satu dan Pada (Bijektif) Jika f merupakan fungsi injektif dan surjektif (Korespondensi satu-satu) PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 7

A B f. surjektif Bukan f. surjektif, tetapi merupakan f. into A B f. bijektif (korespondensi satu-satu) Bukan f. satu-satu PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 8

Contoh Soal : 1. Apakah fungsi f(x) = x 2 dari Real ke Real bersifat surjektif ? . Jawab : Ambil y = f(x) = - 1 maka x 2 = - 1 sehingga x = i (non-Real). Karena x ∉ Real, maka f(x) = x 2 bukan fungsi surjektif. 2. Apakah fungsi linier y = h(x) = x – 3 dari R ke R surjektif ? . Jawab : y = x – 3 maka x = y + 3. Untuk setiap bilangan real y akan ada bilangan real x yang memenuhi. Jadi h(x) surjektif. 3. Apakah fungsi eksponen g(x) = 2 x-1 dari R ke R merupakan fungsi yang bersifat surjektif ? Jawab : y = 2 x-1 maka x = 2 log y + 1. Ternyata tidak semua nilai real y akan didapatkan nilai real x. Misal y = 0. Jadi g(x) bukan surjektif. 4. Apakah fungsi k(x) = x 3 + 1 dari Domain bilangan Real ke Kodomain bilangan Real merupakan fungsi surjektif ? Jawab : y = x 3 + 1 maka x = (y – 1)1/3. Untuk setiap y ∈ R akan didapatkan x ∈ R. Jadi k(x) merupakan fungsi surjektif. PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 9

Soal Jelaskan sifat-sifat yang dipunyai fungsi berikut ? f(x) = |x-1| 1. 2. f(x)=x+2 f(x)=x 2 -5 x+10 3. f : R R dengan f(x) = 2 x 3 4. f : R R+ dengan f(x) = x 2 5. f : R R dengan f(x) = log x 6. f : R R dengan f(x) = 2 sin x + 2 PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 10

Domain dan Range Fungsi Domain = Daerah asal fungsi sehingga fungsi mempunyai hasil pada sumbu X Range = Daerah hasil fungsi pada sumbu Y PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 11

PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 12

Tampak bahwa daerah asal (Domain) adalah D = {x|x ≥ 2, x∈R} dan daerah hasil nya tidak pernah bernilai negatif. Sehingga R = {y| y ≥ 0, y∈R} PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 13

Dari persamaan fungsi tampak bahwa penyebut bisa ditentukan harga nolnya sehingga ada asimtot grafik. • Asimtot tegak x = ± 2 • Asimtot datar y = 0, karena Koordinat titik ekstrim dapat ditentukan dengan turunan, sbb : PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 14

Dari persamaan fungsi tampak bahwa penyebut tidak bisa ditentukan harga nolnya sehingga tidak ada asimtot tegak Asimtot datar y = 0, karena : PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 15

MACAM-MACAM FUNGSI 1. Fungsi aljabar a. Fungsi Irrasional (Variabel nya di bawah tanda akar) b. Fungsi Rasional (Variabel fungsi memuat pangkat bilangan bulat) i Fungsi Polinom iii Fungsi Kubik v. Fungsi Linear ii Fungsi Pangkat iv. Fungsi Kuadrat vi. Fungsi Pecahan 2. Fungsi Transenden a. Fungsi Eksponen d. Fungsi Siklometri b. Fungsi Logaritma e. Fungsi Hiperbolik c. Fungsi Trigonometri 3. Fungsi Khusus a. Fungsi Konstan c. Fungsi Modulus b. Fungsi Identitas d. Fungsi Parameter 4. Fungsi Genap – Ganjil 5. Fungsi Periodik 6. Fungsi Lantai (floor function) Bil Bulat terbesar yang kurang dari/sama dengan x 7. Fungsi Atap (Ceil Function) Bil Bulat terkecil yang lebih dari/sama dengan x PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 16

Fungsi Irasional x 1 2 3 4 6 10 y ? 0 1 1, 4 2, 4 3, 2 2 x ± 1 ± 2 ± 4 ± 6 ± 8 y ? 0 3, 5 5, 6 7, 7 -2 PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 2 17

Fungsi Rasional PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 18

x 0 2 x -2 -1 0 1 2 3 y -4 0 y 4 4 4 4 2 -4 PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 19

Fungsi Kuadrat (2) Bentuk umum : (1) 1. f(x) = ax 2+bx+c dengan a ≠ 0 Parabola terbuka vertikal. 2. f(y) = ay 2+by+c dengan a ≠ 0 Parabola terbuka horisontal. a > 0 terbuka ke atas untuk (1) dan kekanan untuk (2) Pergeseran: 1. Dari persamaan y = f(x) akan menjadi y = f(x) + q • q > 0 jika grafik semula di geser ke atas q satuan • q < 0 jika grafik semula di geser ke bawah q satuan 2. Dari persamaan y = f(x) akan menjadi y = f(x+p) • p > 0 jika grafik semula di geser ke kiri p satuan • p < 0 jika grafik semula di geser ke kanan p satuan PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 20

Modifikasi persamaan fungsi : 1. y = a(x – x 1)(x – x 2) atau x = a(y – y 1)(y – y 2) 2. y = a(x – x. P)2 + y. P atau x = a(y – y. P)2 + x. P 6 f g= ( +2 ) 4 y- Grafik g didapat dari grafik f dengan pergeseran horisontal kekanan 4 satuan lalu ke atas 2 satuan. Tentukan persamaan fungsi f dan g. 2 -2 y= f(y ) PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 21

Soal : 1. Tentukan persamaan fungsi kuadrat jika diketahui grafiknya memotong sumbu X di titik A(-4, 0) dan B(6, 0) serta memotong sumbu Y di B(0, -6). 2. Grafik parabola dengan persamaan y = 2(4 x – 1)2 – 8. Tentukan persamaan yang terjadi jika : a. Grafik parabola tersebut di naikkan vertikal 2 satuan lalu digeser horisontal ke kiri 1 satuan. b. Sumbu X di geser ke bawah 3 satuan 3. Parabola terbuka ke kanan dengan persamaan x = (y – 2)(2 y + 6). Tentukan : a. Gambarlah grafik parabola tersebut. b. Koordiant titik potong parabola dengan sumbu Y dan X. c. Koordinat titik balik d. Persamaaan parabola jika parabola tersebut di atas di geser vertikal ke atas 4 satuan lalu di geser horisontal ke kiri 2 satuan. 4. PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 22

Aplikasi Fungsi Kuadrat Jika suatu problem bisa dinyatakan dalam model fungsi kuadrat maka kondisi ekstrim (Maksimum/minimum) persoalan tersebut memenuhi sifat fungsi kuadrat yaitu mempunyai koordinat titik balik P(x. P, y. P) dengan : Sebuah Contoh : Seorang petani mempunyai pagar sepanjang 24 m dan bermaksud memagari kebunnya yang berbentuk persegi panjang. Salah satu sisi lapangan merupakan dinding luar sebuah pabrik. Berapa ukuran kebun yang berhasil ia pagari ? PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 23

1 m 22 m L 10 m 40 m 2 10 m Secara umum : y 70 m 2 7 m 1 m 22 m 2 7 m Penyelesaian : Dengan tujuan memperoleh intuisi permasalahan tersebut, bisa dilakukan percobaan sbb 4 m y L = x. y dengan 2 x + y = 24. L = x. (24 – 2 x) = 24 x – 2 x 2 x Note : Alternatif cara lain adalah menggunakan differensial L’ = 24 – 4 x = 0 X = 6 L = 24(6) – 2(6)2 = 72 PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 24

Soal : 1. Gambarlah lalu tentukan daerah hasil (Range) pada fungsi kuadrat f(y) = 4 x – x 2. 2. Tentukan nilai k pada f(x) = (k+4)x 2 + 2(k – 1)x + k – 1 agar grafiknya selalu berada di atas sumbu x ( definit positif). 3. Seutas kawat dengan panjang L dipotong menjadi 2 bagian. Potongan pertama dibentuk menjadi persegi dan potongan kedua menjadi segitiga sama sisi. Tentukan ukuran tiap potongan agar jumlah luas persegi dan segitiga menjadi maksimum (dalam L). 4. Tentukan luas terbesar persegi panjang yang dapat di gambar di dalam sebuah segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegak masing-masing 6 cm dan 8 cm. PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 25

5. Gambar di samping menunjukkan penampang melintang ( tampak depan) sebuah terowongan berbentuk parabola dengan lebar alas 6 m dan ketinggian 8 m. Sebuah truk dengan tinggi 5 m dan lebar 3 m hendak memasuki terowongan. Tentukan apakah truk bisa melintasi terowongan tersebut ? PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 26

Fungsi Kubik Bentuk dasar fungsi kubik adalah f(x) = x 3 dengan grafik sbb : f(x) = x(x+4)(x-2) juga merupakan fungsi kubik, dengan grafik : x -2 -1 0 1 2 x -4 0 2 -5 -2 1 3 y -8 -1 0 1 8 y 0 0 0 -35 8 -5 21 0 -4 2 Pembahasan lebih lanjut dan lebih mendalam setelah diberikan materi diferensial/turunan PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 27

Fungsi Eksponen 1. y = 2 x x -2 -1 0 1 2 y 1/4 1/2 1 2 4 2. y = 2 x– 1 + 4 Grafik y = 2 x– 1 bisa di gambar dulu lalu sumbu x di geser vertikal ke bawah 4 satuan untuk mendapatkan grafik y = 2 x– 1 + 4 x -2 -1 0 1 2 2 x– 1 1/8 1/4 1/2 1 2 Nilai dari 2 x tidak mungkin nol atau negatif. Artinya 2 x > 0. ½ PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 28

Fungsi Trigonometri f(x) = Sin α , f(x) = Cos α , f(x) = Tan α Fungsi Siklometri f(x) = Arc Sin α , f(x) = Arc Cos α , f(x) = Arc Tan α Fungsi Hiperbolik PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 29

x Ar c Si n y Ar c. C os = y -1 = 1 -1 x 1 y = Arc. Tan x -1 1 PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 30

Fungsi Modulus / Harga Mutlak Bentuk Umum f(x) = | x |, dengan perluasan bentuk f(x) = | u | dan u merupakan fungsi dalam variabel x. Contoh : |-4| = 4 ; |-0, 025| = 0, 025 ; |0| = 0 Pengertian dan Definisi : y = u(x), jika u(x) ≥ 0 y = x, jika x ≥ 0 1. y = |x| 2. y=| u | y = - x, jika x < 0 y = - u(x), jika u(x)<0 u merupakan fungsi, misal : 1. u = 2 x – 4 2. u = x 2 – 4 x 3. u = t(t – 2) 4. u = sin x 5. dll PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 31

Grafik fungsi Harga Mutlak (Fungsi Modulus) y=|x– 4| Gambarlah grafik y = x – 4 terlebih dulu, lalu cerminkan bagian grafik yang berada di bawah sb x sehingga semua grafik tidak ada yang berada di bawah sumbu x. 4 4 -4 PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 32

y = | x 2 – 2 x – 8 | Gambarlah grafik y = x 2 – 2 x – 8 terlebih dulu, lalu cerminkan bagian grafik yang berada di bawah sb x terhadap sumbu x. y = x 2 – 2 x – 8 = (x+2)(x– 4) a. Titik potong dg sb x (y = 0), maka x = - 2 atau x = 4 b. Titik potong dg sb y (x =0), maka y = - 8 c. Titik balik (1, -9) -2 PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 4 2/24/2021 33

y = x 2 – | 4 x | – 12 Gunakan definisi fungsi modulus untuk menggambar grafik dengan bentuk persamaan di atas. Perhatikan bahwa bagian fungsi dengan tanda mutlak hanya pada | 4 x | saja, sehingga : -6 -2 6 2 y = x 2 – | 4 x | – 12 ü y=x 2– 4 x– 12 utk x ≥ 0 ü y=x 2+4 x– 12 utk x < 0 Dengan demikian ada 2 fungsi kuadrat yang di gambar lalu sesuaikan dengan domainnya. PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA Grafik keren 2/24/2021 34

Aljabar Fungsi Operasi-operasi seperti pada bilangan yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan perpangkatan bisa diterapkan pada dua fungsi dengan catatan bahwa Domain hasil operasi merupakan irisan kedua domain fungsi fungs PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 35

PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 36

Komposisi Fungsi Input Mesin f Mesin g Gabungan Mesin f dan g Output Gabungan mesin f dan g dapat diartikan sebagai fungsi komposisi yang ditulis g○f atau g(f(x)). PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 37

lebih jelas …. . x Mesin f f(x) Mesin g g(f(x)) misal : mesin fungsi f adalah f : x 2 x – 4 mesin fungsi g adalah g : x x 2 + 1 Jika nilai x = 3 maka : § mesin f akan memproses 3 sebagai f : 3 2(3) – 4 = 2 § mesin g akan memproses 2 sebagai g : 2 22 + 1 = 5 Proses 2 mesin dapat diringkas menjadi proses satu mesin sebagai berikut : (g ○ f)(x) = g(f(x)) = g(2 x– 4) = (2 x– 4)2+1 = 4 x 2– 16 x+17, maka (g ○ f)(2) = g(f(3)) = 4. (3)2 – 16(3) + 17 = 5 Hal yang sama berlaku untuk lebih dari dua mesin. Perhatikan bahwa urutan proses mesin diperhatikan, artinya tidak komutatif. f○g≠ g○f PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 38

Teladan : PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 39

PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 40

PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 41

f(x) g(x) Mengapa pada soal b tidak ada hasil ? Bagaimana hasil komposisi fungsi pada soal c ? Bagaimana hasil komposisi fungsi pada soal d ? Kesimpulan : Fungsi f dan g dapat di komposisi (f o g)(x) jika Rg ∩ Df ≠ ∅ PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 42

SOAL : PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 43

PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 44

Fungsi Invers dan Invers Fungsi f a b Jika ada fungsi g sedemikian hingga a = g(b) maka fungsi f mempunyai fungsi invers. f -1(x) = g(x). g Invers suatu fungsi hasilnya tidak selalu merupakan fungsi. Jika merupakan fungsi maka invers fungsi tersebut disebut FUNGSI INVERS. PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 45

Fungsi f(x) mempunyai fungsi invers jika f(x) merupakan fungsi satu-satu. PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 46

PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 47

Keterangan : 1. Bijektif adalah syarat perlu dan cukup agar suatu fungsi memiliki fungsi invers. Jadi injektif atau surjektif saja belum cukup bagi invers suatu fungsi untuk menjadi fungsi invers. 2. Grafik Fungsi Invers f-1 dan fungsi f simetri terhadap garis y = x. Contoh : PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 48

Soal : PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 49

Soal Bebas (Variasi) PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 50

PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 51

PUSLITBANG PPPK PETRA SURABAYA 2/24/2021 52