PUISSANCES DUNE MATRICE Quest ce quune matrice diagonale

PUISSANCES D’UNE MATRICE

� Qu’est ce qu’une matrice diagonale ? Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls. � Qu’est ce qu’une matrice diagonalisable ? une matrice carré d’ordre n (avec n∈ N*) à coefficients dans un corps commutatif K si elle est semblable à une matrice diagonale c'est-à-dire s'il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D

Calculer des coefficients � En remplacant X pas A on tient: � Donc: �f (�� ) =f�� �� 1 + f�� 2 +⋯+ f�� �� ��

Calculer les limites (1/2) � Les valeurs propres de A seront de module ≤ 1, cela veut dire que: � Par conséquent nous pouvons en déduire que :

Calculer les limites (2/2) � Si nous considérons la matrice diagonale A comme telle: � Nous pouvons en déduire l’expression:

Quel exposé se passerait d’exemple ? ! Exemple de calcul

Exemple de calcul � Polynôme caractéristique �Valeurs propres � Déterminant � Trace � �Pose les matrices �On calcule le déterminant (trivial ) � Résultat donné par l’article donc valeurs propres !

Exemple de calcul � Petits rajouts �Définition du rang � Précisé valeur de n pour __ _ ○ avec n = 0 => ○ avec n = 1 => � On trouve et avec �On remplace dans la formule �On réduit en mettant A et I en facteur

Evolution de population � On nous donne : � On met en équation les grades en fonction du schéma �En % �Puis en valeur réelle � On déduit la matrice donnée dans l’article

Etude d’une matrice � On remarque chaque colonne = 1 � valeur propre de la transposée = 1! � Définition de la transposée �Puisque 1 valeur propre, vecteur propre! � Espace propre (article)

Etude d’une matrice � Calcul du rang �Théorème du rang : ○ E = 5 (ordre de la matrice carrée) f = A – I ○ rg = 4 (donné) �On met en équation ○ ÞDim ( Ker(A-I) ) = 1, dimension de l’espace propre

Conséquence d’une existence � La limite de la suite Zn est nommée L �L vecteur propre associé à 1