Prunost a plasticita II 3 ronk bakalskho studia
Pružnost a plasticita II. , 3. ročník bakalářského studia, přednášky Janas 2010, 2011 Téma 2 Rovinný problém, stěnová rovnice. • • • Rovinná napjatost Rovinná deformace Stěnová rovnice, Airyho funkce Příklad řešení nosné stěny inverzní metodou Rovinný problém v polárních souřadnicích Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava 1
Rovinné úlohy Řešené úlohy teorie pružnosti se podstatně zjednoduší, pokud v tělese budou rovnoběžná(é) s jednou rovinou všechna nenulová(é) n napětí – rovinný stav napjatosti n deformace – rovinný stav deformace Příklady rovinného stavu napjatosti: 2
Rovinné úlohy Příklady rovinného stavu deformace Opěrná zeď Potrubí, tunel v zemním tělese Pružné těleso mezi dokonale tuhými tělesy 3
Pro střednicí v rovině xy je: Rovnice rovnováhy se redukují na Základní rovnice matematické rovinná napjatost teorie pružnosti v rovině, 4
Základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině, rovinná napjatost Fyzikální rovnice (Hookův zákon) se upravují: Při rovinné napjatosti je deformace prostorová 5
Základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině, rovinná napjatost, pokračování: Fyzikální rovnice lze maticově zapsat ve tvaru: a zkráceně: C je matice poddajnosti D je matice tuhosti e je vektor deformace s je vektor napětí 6
Fyzikální rovnice (Hookův zákon) se upravují: Základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině, rovinná deformace, napětí jako funkce složek deformace Z rovnice Při rovinné deformaci je napěťový stav prostorový 7
Základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině, rovinná deformace, deformace jako funkce napětí Zkráceně lze opět napsat: D matice tuhosti C matice poddajnosti 8
Základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině, shrnutí Rovinné úlohy dělíme na: n Rovinné úlohy napjatosti n Rovinné úlohy deformace V těchto úlohách máme n Dvě rovnice rovnováhy n Tři geometrické rovnice n Tři fyzikální rovnice 9
Základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině, shrnutí U rovinné napjatosti je prostorový stav deformace. Dvě složky pootočení jsou nulové a třetí normálovou deformaci lze vyjádřit jako funkci nenulových normálových napětí nebo jako funkci zbývajících normálových deformací. U rovinné deformace je prostorový stav napjatosti. Dvě smyková napětí jsou nulová a třetí normálové napětí lze vyjádřit jako funkci nenulových normálových napětí nebo jako funkci zbývajících normálových deformací. Rovnice rovnováhy a rovnice kompatibility jsou u obou typů rovinných úloh identické. Fyzikální rovnice se poněkud liší, i když je lze i pro normálová napětí a deformace formálně shodně zapsat. Vztahy mezi potočením a smykovým napětím jsou identické. 10
Řešení nosných stěn, odvození stěnové rovnice Rovnice kompatibility pro rovinnou napjatost: Z Hookova zákona dosadíme: Z rovnic rovnováhy Lévyho podmínka vyjadřuje rovnici kompatibility v rovině v napětích 11
Řešení nosných stěn, odvození stěnové rovnice, pokračování Rovnice rovnováhy v rovině a Lévyho podmínka tvoří soustavu tří rovnic: Pro nulové objemové síly rovnicím rovnováhy vyhovuje funkce F(x, y) (Airyho funkce), pro kterou platí: Po dosazení složek napětí do Lévyho podmínky dostaneme tzv. stěnovou rovnici: Nebo pomocí Laplaceova operátoru: 12
Stěnová rovnice nazývaná také biharmonická, je : • parciální diferenciální rovnicí 4. řádu, • lineární, • homogenní (nemá pravou stranu) Pro každou rovnici stěny lze odvodit stav napětí stěny odpovídající podmínkám rovnováhy a spojitosti (Airy 1862) při respektování okrajových podmínek. Platí za předpokladu nulových nebo konstantních objemových sil, pro homogenní a izotropní materiál. V rovnici nevystupuje žádná materiálová konstanta, což je podkladem pro experimentální analyzování stěn na modelech. 13
Nízký a vysoký stěnový nosník 14
Vliv výšky stěny na její napjatost Na obr. jsou porovnány výsledky řešení stěny pro různé poměry délky a výšky stěny. Jsou zde také výsledky výpočtu (čárkovaná čára) pro nosníky předpokládající platnost Bernouli-Navierovy hypotézy o zachování rovinného řezu průřezu nosníku. V příkladu a=3 m, t=1, q=100 k. N/m 15
Nosné stěny, některé metody řešení Metody využívající stěnovou rovnici: n. Inverzní metoda n. Metoda sítí n. Fourierova metoda Variační metody: n. Energetické metody (např. Ritzova metoda) n. Metoda konečných prvků Existují i další metody. S výjimkou inverzní metody, jejíž použití je velmi omezené, jsou všechny tyto metody přibližné. 16
Nosné stěny, příklad řešení inverzní metodou Řešte stěnu podepřenou jako konzolu zatíženou silou: Zvolme Airyho funkci ve tvaru: F musí vyhovovat stěnové rovnici, což je splněno: 17
Nosné stěny, příklad řešení inverzní metodou, okrajové podmínky Složky napětí pro funkci Okrajové podmínky: 18
Nosné stěny, příklad řešení inverzní metodou, funkce napětí Po vložení hodnot do Airyho funkce je: Tyto vztahy jsme odvozovali v PP, viz výpočet normálových napětí a smykových napětí (Grashofův vzorec) pro obdélníkový průřez a pro jednotkovou šířku konzoly. 19
Inverzní metoda řešení Podstatou inverzní metody řešení nosných stěn je: n. Analýza zadané biharmonické (Airyho) funkce (zjištění, zda-li zadaná funkce je skutečně biharmonická, tj. že splňuje stěnovou rovnici) n. Hledání odpovídajících okrajových podmínek (silových, deformačních případně smíšených) n. Analýza stavu napětí v dané stěně. Metoda vychází ze známé funkce a hledá se jí odpovídající stěna s okrajovými podmínkami – proto inverzní metoda 20
Rovinný problém v polárních souřadicích Fyzikální rovnice v polárních souřadnicích lze získat z rovnic pro rovinnou napjatost nebo pro rovinnou deformaci přepsáním indexů: Rovinná napjatost: Rovinná deformace: V polárních souřadnicích používáme proměnné r a . Vztah mezi nimi a souřadnicemi x, y vyplývá z obr. : 21
Podmínky rovnováhy v polárních souřadnicích Plošný element má jednotkovou tloušťku. Podmínky rovnováhy sestavujeme ve směru průvodiče r a kolmo na něj, tj. ve směru Předpokládá se: Po úpravě a zanedbání malých hodnot je: 22
Základní rovnice pružnosti pro rotačně symetrické úlohy Rovnice rovnováhy se zjednoduší na: Geometrické rovnice jsou: 23
Stěnová rovnice v polárních souřadnicích Tuto rovnici lze odvodit ze stěnové rovnice v pravoúhlých souřadnicích x, y transformací do polárních souřadnic. Odvození je uvedeno např. v Dický, J. , Mistríková, Z. , Sumec, J. , Pružnosť a plasticita v stavebníctve 2, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2006. Složky napětí jsou: 24
Princip Saint-Venantův: V bodech tuhého tělesa, dostatečně vzdálených od působišť vnějších sil, napětí velmi málo závisí na detailním způsobu realizace těchto zatížení 25
Použitá literatura [1] Dický, J. , Mistríková, Z. , Sumec, J. , Pružnosť a plasticita v stavebníctve 2, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2006. [2] Dobiášová, V. , Varaďová, V. , Pružnost a plasticita II, Pomůcka do cvičení, Část I. Akademické nakladatelství CERM, s. r. o. Brno, 1996. [3] Teplý, B. , Šmiřák, S. , Pružnost a plasticita II. Nakladatelství VUT Brno, 1993. 26
- Slides: 26