Prtica de Ensino de Algoritmos Seqncia de Fibonacci

Prática de Ensino de Algoritmos Seqüência de Fibonacci 25/09/2020 Cicero Pereira de Souza 1

Introdução n Histórico Fibonacci, ou mais precisamente Leonardo de Pisa (Fibonacci=filius Bonacci) matemático e comerciante da idade média, descobriu a série em 1202 quando ele estava estudando quão rápidos coelhos poderiam procriar em circunstâncias ideais. n Problema Um homem tem um par de coelhos em um ambiente inteiramente fechado. Desejamos saber quantos pares de coelhos podem ser gerados deste par em um ano, se de um modo natural a cada mês ocorre a produção de um par começa a produzir coelhos quando completa dois meses de vida. 25/09/2020 Cicero Pereira de Souza 2

Esquema de Reprodução Tempo 0 1 Coelho Jovem Coelho Adulto 2 3 4 5 25/09/2020 Cicero Pereira de Souza 3

Solução do Problema Resposta: No final do mês 12, o número de pares de coelhos deverá ser 144. Com a solução do problema, observa-se a formação de uma sequência numérica, conhecida como a sequência de Fibonacci. Esta seqüência de números tem uma característica especial denominada recursividade: - O O O E 1 o. termo somado com o 2 o. termo gera o 3 o. termo 2 o. termo somado com o 3 o. termo gera o 4 o. termo 3 o. termo somado com o 4 o. termo gera o 5 o. termo assim por diante. -Em geral: u(n+1) = u(n-1) + u(n) 25/09/2020 Cicero Pereira de Souza 4

Aplicações das Sequências de Fibonacci n n n Na verdade a sequência de Fibonacci é dada por: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . . Pergunta: Será que esta sequência numérica aparece em outras situações da vida? A resposta é positiva e é espantosa pela grande quantidade de situações onde ela ocorre. 25/09/2020 Cicero Pereira de Souza 5

Alguns Exemplos n n n n 25/09/2020 1. Estudo genealógico de coelhos 2. Estudo genealógico de abelhas 3. Comportamento da luz 4. Comportamento de átomos 5. Crescimento de plantas 6. Ascenção e queda em bolsas de valores 7. Probabilidade e Estatística 8. Curvas com a forma espiralada como: Nautilus (marinho), galáxias, chifres de cabras da montanha, marfins de elefantes, filotaxia, rabo do cavalo marinho, onda no oceano, furacão, etc. Cicero Pereira de Souza 6

Outras seqüências numéricas n n n Existem muitas seqüências com as mesmas propriedades que a seqüência de Fibonacci. Exemplos: A seqüência abaixo indicada com a letra L recebe o nome de seqüência de Lucas. 1. L = {1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, . . . } 2. A = {5, 9, 14, 23, 37, 60, 97, . . . } 3. B = {-8, -4, -12, -16, -28, -44, . . . } 25/09/2020 Cicero Pereira de Souza 7

Algoritmo de Fibonacci n n n n n Vamos elaborar o algoritmo juntos? def Fibonacci. Recursivo(n): if n==1 or n==2: return 1 elif n <= 0: print "Número inválido" else: return Fibonacci. Recursivo(n-1) + Fibonacci. Recursivo(n-2) print Fibonacci. Recursivo(n) 25/09/2020 Cicero Pereira de Souza 8

Conclusão n n Referências Bibliográficas: Site: “http: //pessoal. sercomtel. com. br/matematica/alegr ia/fibonacci/seqfib 1. htm” 25/09/2020 Cicero Pereira de Souza 9