Provas e Proposies Anjolina Grisi de Oliveira Fonte

Provas e Proposições Anjolina Grisi de Oliveira Fonte: http: //www. cs. berkeley. edu/~daw/teaching/cs 70 -s 05/ 1

Provas Com provas você nunca precisa se desculpar Pois elas fornecem uma maneira de garantir que o que você afirma é sempre verdadeiro Iremos aprender como definir a noção de prova mais precisamente Provas em matemática e em computação requer que definamos precisamente a proposição a ser provada 2

Proposição Uma proposição é uma sentença que ou é verdadeira ou é falsa Exemplos: • Hoje é terça-feira • Para todos os inteiros n, n 2 + n + 41 é primo • 2+2=4 Contra-exemplo • Que dia é hoje? 3

Teorema e axioma Um teorema é uma proposição que é garantida por uma prova Um axioma é uma proposição que se assume como verdadeira e que não precisa de prova. Exemplo: axiomas de Peano, que definem um número natural. • 0 é um número natural • Se n é um número natural, então s(n) é um número natural 4

Conectivos lógicos Podemos formar novas proposições a partir daquelas que temos. Sejam P e Q proposições. Negação: ¬P, é verdade quando P é falsa Disjunção: P v Q, é verdade qdo pelo menos uma das proposições (P ou Q) for verdadeira Conjunção: P Λ Q, é verdade quando ambas as proposições são verdadeiras 5

Implicação: P→Q, é verdade se P é falsa ou Q é verdadeira. P é chamado de antecedente e Q de consequente. Tabela-verdade Esses operadores podem ser usados para construirmos proposições mais complexas. 6

Predicados Algumas vezes temos uma lista de proposiçoes A = ``02+0+41´´ é primo B = ``12+1+41´´ é primo C = ``22+2+41´´ é primo etc… Seria útil termos uma noção de uma função, que para um dado número natural n produzisse uma proposição que estabelecesse algo em torno de n. P(n): ``n 2+n+41´´ é primo É uma função que mapeia cada n para PREDICADO uma proposição que depende de n de 7 alguma maneira

Predicados Quando queremos falar que todos possuem a propriedade estabelecida pelo predicado usamos o quantificador universal O quantificador universal é denotado pelo símbolo (lemos: ``para todo´´): n N. n 2+n+1 é primo Quando o domínio (no caso N) está claro no contexto, então podemos omití-lo: n. n 2+n+1 é primo 8

Como podemos provar uma sentença universalmente quantificada? No nosso exemplo, podemos checar que para n=1, até n=39, P(n) é verdade. No entanto, para n=40, P(40) é falso. P(40) é um contra-exemplo. Ao longo do curso iremos aprender algumas formas de provar essas sentenças Mas, para refutar P(n) bastaríamos encontrar um valor de n para o qual P(n) não é verdade. 9

Conjectura Uma conjectura é uma proposição que ainda não foi provada e nem refutada. Exemplo: a conjectura de Goldbach: n se n é par então a, b tal que a e b são primos e a+b = n. Quantificador Existencial: “existe pelo menos um”, “alguns” - 10

Quantificador existencial Podemos provar uma sentença quantificada existencialmente encontrando um exemplo que a torne verdadeira. Exemplo: n tal que n 2+n+1 é primo É verdade, pois para n= 1, P(1) é verdade. No entanto, refutar P(n) implicaria em provar que para todo n, P(n) é falso. ¬ n. P(n) = n ¬P(n) e ¬ n. P(n)= n¬ P(n) 11

Quantificadores O quantificador universal se assemelha à conjunção, ao passo que o quantificador existencial se assemelha à disjunção. Exemplo: seja o conjunto S = {1, 2, 3} x S. P(x) é equivalente à P(1) P(2) P(3) 12

Provas por enumeração Ilustra o conceito fundamental de provas formais pela enumerção dos possíveis casos. Bastante simples e baseada no signficado lógico de cada conectivo. Exemplo: Rosas são vermelhas e violetas são azuis. Prove que violetas são azuis. P: Rosas são vermelhas Q: Violetas são azuis Analisamos todos os casos onde P Q é verdade. Há apenas um e nesse caso Q é verdade. Logo finalizamos a prova. 13

Provas por enumeração Mais um exemplo P Q Dado: Se João não plantou uma árvore eu plantarei bananeira João não plantou uma árvore Prove: Eu plantarei bananeira. Identificamos os casos onde P → Q é verdade e onde P é verdade. Só há um caso, nesse caso Q também é verdade. Logo ``eu plantarei bananeira´´. □ 14

Provas por aplicação de regras de inferência Quando fazemos provas por enumeração podemos identificar um padrão geral chamado de regra de inferência. Exemplo: a) A proposição P pode ser inferida de P Q (elim 1 - ) b) A proposição Q pode ser inferida de P Q (elim 2 - ) P Q P P Q Q Premissa e conclusão da regra 15

Provas por aplicação de regras de inferência Modus ponens (do latim: método de substituição): A proposição Q pode ser inferida das proposições P e P→Q P P→Q Q Essa regra também é conhecida como eliminação da implicação. É um dos passos mais comuns usados em provas. 16

Provas por aplicação de regras de inferência: mais regras P Conhecida como introdução do (intr- ). Q P P Q Aqui temos duas premissas (como no modus ponens) intr 1 - Q intr 2 - P Q 17

Provas por aplicação de regras de inferência: mais regras Τ Lei do terceiro excluído P ¬P Princípio da contradição P Posso derivar qualquer proposição do falso ou absurdo 18

Provas por aplicação de regras de inferência: mais regras [P] Introdução da implicação P é uma suposição ou hipótese Q P→Q Se partindo da suposição de P eu chego em Q após um número finito de passos, então eu deduzo P→Q. Nesse momento a hipótese foi descartada. Não importa mais se é verdadeira ou falsa 19

Provas por aplicação de regras de inferência: combinando regras Na prática, quando fazemos uma prova combinamos várias regras Exemplo: Se temos as premissas A B e B→C. Primeiro aplicamos a eliminação do para inferir B da premissa 1 e depois aplicamos modus ponens para inferir C a partir da premissa 2. A B B B→C C 20

Provas por aplicação de regras de inferência: equivalênca de expressões Existem muitas equivalências entre as expressões lógicas que podem ser úteis em provas. Exemplos: P ¬¬P P → Q ¬P Q ¬(P Q) ¬P ¬Q e ¬(P Q) ¬P ¬Q (De Morgan) Dizemos que as expressões de cada lado do são logicamente equivalentes. Você pode conferir usando a tabela-verdade 21

Provas por contrapositiva Você pode verificar que P → Q ¬Q → ¬P Dizemos que ¬Q → ¬P é a contrapositiva de P→Q Muitas vezes quando queremos provar P → Q é mais fácil provar ¬Q → ¬P. Nesses casos fazemos a prova de ¬Q → ¬P no lugar de P → Q Ela também é conhecida como prova indireta. 22

Provas por contrapositiva: exemplo Para qualquer inteiro n, se n 2 é par então n é par. Iremos provar a contrapositiva: Se n é ímpar então n 2 é ímpar. 1) Se n é ímpar então (por definição) n = 2 a+1, para algum inteiro a. 2) Para quaisquer números x e y, sabemos que x=y. Logo x 2=y 2. Assim, n 2 = (2 a+1)2 = 4 a 2+4 a+1 = 2(2 a 2 + 2 a) + 1. 3) Como a é um inteiro, então 2 a 2 + 2 a é um inteiro m. 4) Logo n 2 (=2 m + 1) é ímpar (por definição). 23

Provas por casos Algumas vezes temos um conjunto de possíveis casos numa prova. Não sabemos que casos são verdadeiros, mas sabemos que pelo menos um deles é verdadeiro. O seguinte exemplo ilustra esse tipo de prova. Existem números irracionais x e y de forma que xy é racional. Considere x = 2 e y= 2 Somente existem dois casos a) xy é racional ou b) xy é irracional 24

Exemplo: Existem números irracionais x e y de forma que xy é racional. Considerando o caso em que x = 2 e y= 2 Somente existem dois casos a) 2 2 é racional ou b) 2 2 é irracional No caso a nós então mostramos que existem números irracionais x e y de forma que xy é racional. No caso b, considere y = 2 e x= 2 2. Dessa forma temos que xy é ( 2 2) 2 = yy. y Logo xy é igual a 2, que é racional Como um dos casos (a) ou (b) deve ser verdadeiro, conseguimos concluir a prova. □ 25

Provas por casos Observe que mesmo após a prova nós não sabemos quais dois casos é verdade. Dessa forma não podemos exibir os números irracionais que satisfazem o teorema. Esse é um exemplo de prova não construtiva, no qual um teorema existencial foi provado sem a construção de um exemplo. 26

Prova por contradição [¬P] Assume-se o oposto do que se quer provar, ao chegar a uma contradição a prova é finalizada. P Também conhecida como reductio ad absurdum (redução ao absurdo) 27

Prova por contradição: exemplo Teorema: 2 é irracional. 1) Assuma que 2 é racional 2) Existem inteiros a e b sem fator comum além de 1 de forma que 2 = a/b (def. de números racionais) 3) Logo, 2 = a 2/b 2 → a 2 = 2 b 2 4) De 3 temos que a 2 é par 5) Pelo teorema já provado, de 4 temos que a é par 6) Se a é par então a = 2. c, onde c é um inteiro 7) De 3 e 6: 2 b 2=4 c 2, logo b 2 = 2 c 2 → b 2 é par 8) Se b 2 é par então b é par (teorema já provado) 9) Se a e b são pares então 2 é fator comum deles 10) O passo 9 contradiz o passo 2: 2 é irracional. □ 28