Prova por contradio n n n Premissas Cubec

Prova por contradição n n n Premissas: Cube(c) Ú Dodec(c) Concluir: b c Prova: – – n n e Tet(b) Supondo b=c Da 1ª premissa: Cube(c) ou Dodec(c) Se Cube(c) , então Cube(b) (indiscernibilidade dos idênticos) o que contradiz Tet(b) Se Dodec(c) então Dodec(b) (indiscernibilidade dos idênticos) o que contradiz Tet(b) Obtemos contradição nos 2 casos, logo contradição. Então, b c 1

Prova por contradição 2 n. Provar: Ö 2 é –Factos n n irracional acerca dos racionais nº racional pode ser expresso como p/q, com pelo menos 1 de p e q ímpar elevando ao quadrado um número ímpar, obtém-se outro ímpar; se n 2 é par, n é par e n 2 é divisível por 4 n. Prova: Ö 2 é racional Ö 2= p/q (um de p e q é ímpar) p 2 / q 2 =2 ou p 2 = 2 q 2 : p 2 é par e p 2 é divisível por 4, q 2 é divisível por 2; q é par p e q ambos pares: contradiz a afirmação incial –Suposição: n. Então Ö 2 não é racional 2

O que é contradição? n n Afirmação que não pode ser verdadeira Conjunto de afirmações que não podem ser verdadeiras simultaneamente Na. Sala(Rita) Ù ØNa. Sala(Rita) b b Cube(c) e Tet(c) n n Conjunto de frases é contraditório se não puder satisfeito Para provar F usando contradição: Assume-se Ø F Constrói-se Ø Ø F Conclui-se Ø Ø F e portanto F 3

Premissas inconsistentes n n Conjunto de frases é inconsistente: não existe um mundo no qual possam ser satisfeitas simultaneamente Consequência lógica: qualquer fórmula é consequência de um conjunto inconsistente de premissas – qualquer circunstância que as torne simultaneamente verdadeiras , torna a consequência verdadeira tambem Na. Sala(Rita) Ù Na. Sala(Luis) ØNa. Sala(Rita) ØNa. Sala(Luis) n Argumentos com premissas insconsistentes: pouco úteis – se não há circunstância que torne as premissas simultaneamente verdadeiras , não temos indicação quanto ao valor lógico da conclusão. 4

Regras de inferência para Ù Eliminação da conjunção Introdução da conjunção P 1 Ù ¼ Ù Pi Ù ¼ Ù Pn M Pi P 1 ß Pn M P 1 Ù ¼ Ù Pi Ù ¼ Ù Pn significa que todos os elementos P 1 a Pn têm de aparecer na prova antes de se introduzir a conjunção 5

Ù nas provas formais 1. A Ù B Ù C 2. B 3. C 4. C Ù B Ù C Ù Elim: 1 Ù Intro: 3, 2, 3 Parêntesis: introduzir quando pode haver ambiguidade 1. P Ú Q 2. R 3. (P Ú Q) Ù R Ù Intro: 1, 2 1. P Ú Q 2. R 3. P Ú Q Ù R Ù Intro: 1, 2 6

Regras de inferência para Ú Introdução da disjunção Eliminação da disjunção P 1 Ú ¼ Ú Pi Ú ¼ Ú Pn M Pi M P 1 M F P 1 Ú ¼ Ú Pi Ú ¼ Ú Pn ß Pn M F Prova por casos a M F 7

Ú nas provas formais 1. (A Ù B) Ú (C Ù D) 2. (A Ù B) 3. B 4. B Ú D Ù Elim: 2 Ú Intro: 3 5. (C Ù D) 6. D 7. B Ú D Ù Elim: 5 Ú Intro: 6 8. B Ú D Ú Elim: 1, 2 -4, 5 -7 8

Exemplo 1. P Ú (Q Ù R) 2. P 3. P Ú Q 4. P Ú R 5. ? Intro: 2 Ú Intro: Ù Intro: 3, 4 6. Q Ù R 7. Q Ù Elim: 8. P Ú Q Ú Intro: 7 9. R Elim: 6 10. ? Ú Intro: 9 11. (P Ú Q) Ù (P Ú R) 12. (P Ú Q) Ù (P Ú R) ? ? ? ? Ù Intro: 8, 10 Ú Elim: ? , 2 -5, 6 - ? 9

Regras de Inferência para Ø Eliminação da negação Introdução da negação ØØ P P M M Q ÙØQ P ØP Prova por contradição Nota: Sistemas formais são rígidos acerca do tipo de fórmulas que constituem a contradição: aqui é Q ÙØQ 10

Ø nas provas formais 1. A 2. Ø A 3. A Ù ØA 4. ØØA Teorema 1 Ù Intro: 1, 2 Ø Intro: 2 -3 1. P 2. Ø P 3. ØQ 4. P Ù ØP 5. ØØ Q 6. Q Ù Intro: 1, 2 Ø Intro: 3 -4 Ø Elim: 5 A Û ØØA Prova-se fórmula arbitrária a partir de premissas inconsistentes 11

Exemplo Prova de verdade lógica: não tem premissas 1. P Ù Q Ù ØP 2. P 3. Ø P 4. P Ù ØP 5. Ø (P Ù Q Ù ØP) Ù Elim: 1 Ù Intro: 2, 3 Ø Intro: 1 -4 12

Uso de subprovas 1. (B Ù A) Ú (A Ù C) 2. B Ù A 3. B 4. A 5. (A Ù C) 6. A 7. A 8. A Ù B Ù Elim: 2 Ù Elim: 5 Ú Elim: 1, 2 -4, 5 -6 Ù Intro: 7, 3 Errado 8: usa passo 3 de subprova fechada • Quando uma subprova é fechada: • Suposições são descarregadas • Subprova pode ser usada como um todo para justificar outros passos 13

Exemplo 1. Ø(P Ù R) Teorema 2 2. Ø(ØP Ú ØR) 3. ØP 4. ØP Ú ØR 5. (ØP Ú ØR) Ù Ø(ØP Ú ØR) Ú Intro: 3 Ù Intro: 4, 2 8. ØR 9. ØP Ú ØR 10. (ØP Ú ØR) Ù Ø(ØP Ú ØR) Ú Intro: 8 Ù Intro: 9, 2 6. ØØP 7. P 11. ØØR 12. R 13. P Ù R 14. Ø(P Ù R) 15. (P Ù R) Ù Ø(P Ù R) 16. ØØ(ØP Ú ØR) 17. ØP Ú ØR Ø Intro: 3 -5 Ø Elim: 6 Ø Intro: 8 -10 Ø Elim: 11 Ù Intro: 7, 12 Reit: 1 Ù Intro: 13, 14 Ø Intro: 2 -15 Ø Elim: 16 14

Citar teoremas n Para encurtar a prova em F : usar resultados prévios 1. Ø(P Ù Q) 2. P 3. ØP Ú ØQ Teor Prev (Teorema 2): 1 4. ØØP Teor Prev (Teorema 1): 2 5. ØQ Teor Prev (Cancelamento): 3, 4 n Símbolos usados nas provas: podem ser substituídos – – por outros símbolos por fórmulas arbitrárias 15

Formas normais Leis distributivas Para toda a escolha de fórmulas P, Q e R (1) Distributividade de Ù sobre Ú : P Ù (Q Ú R) Û (P Ù Q) Ú (P Ù R) (1) Distributividade de Ú sobre Ù : P Ú (Q Ù R) Û (P Ú Q) Ù (P Ú R) n Forma normal disjuntiva (DNF): – n Fórmula construída a partir de literais com as conectivas Ù e Ú: reescrita como disjunção de conjunções de literais Forma normal conjuntiva (CNF): – Fórmula construída a partir de literais com as conectivas Ù e Ú: reescrita como conjunção de disjunções de literais 16

Exemplo Transformar em forma normal disjuntiva (A Ú B) Ù (C Ú D) Û [(A Ú B) Ù C] Ú [(A Ú B) Ù D] Û (A Ù C) Ú (B Ù C) Ú (A Ù D) Ú (B Ù D) Transformar em forma normal conjuntiva (A Ù B) Ú (C Ù D) Û [(A Ù B) Ú C] Ù [(A Ù B) Ú D] Û (A Ú C) Ù (B Ú C) Ù (A Ú D) Ù (B Ú D) Ø((A Ú B) Ù ØC) Û Ø(A Ú B) Ú ØØC Û (ØA Ù ØB) Ú C Û (ØA Ú C) Ù (ØB Ú C) 17

Completude para as funções da verdade n n Uma conectiva arbitrária pode ser expressa com Ø, Ù e Ú ? Conectivas binárias: tabela de verdade tem 4 linhas – – P V V F F cada linha pode ter V ou F número de conectivas possíveis: 24 Q V F P*Q valor 1 valor 2 valor 3 valor 4 C 1= C 2= C 3= C 4= PÙQ P Ù ØQ ØP Ù ØQ Representação de *: disjunção dos Ci correspondentes a linhas com valor V Todas as funções binárias funcionais da verdade podem ser descritas com Ø, Ù e Ú 18

Completude para as funções da verdade n Conectivas unárias P V F n P V M n #P valor 1 valor 2 Ambos os valores F: P Ù ØP Outros casos: disjunção de C 1= P e C 2= ØP Conectivas de outras aridades Q V M R V M @(P, Q, R) F V Exprimir conectiva em DNF: (P Ù Q Ù ØR) Ú. . . Não são necessários Ø, Ù e Ú : P Ú Q Û Ø(ØP Ù ØQ) 19