Protsentlesanded olmpiaadil Koostaja Rita Punning Protsendi kasutusalad Tulu

Protsentülesanded olümpiaadil Koostaja Rita Punning

Protsendi kasutusalad: • • Tulu Kasum Kahjum • • • Maksud Hinnad Tööjõudlus Õppeedukus jne

PROTSENT • ÜKS SAJANDIK TEVIKUST • 1% = 1/100

Osamäär • Osa ja terviku vahelist seost iseloomustatakse matemaatikas sageli ühe arvuga, mida nimetatakse osamääraks. • Osamäära arvutamiseks leitakse osa ja terviku jagatis. • Osamäär = osa : tervik

Klassis on 25 õpilast, nendest 15 tütarlast. Mitu % on tüdrukuid? • • • Tervik on 25 õpilast. Osa on 15 tüdrukut. Osamäär on 15: 25=0, 6 ehk protsentides 0, 6=60/100=60% Vastus: Klassis on tüdrukuid 60%.

Osa = tervik osamäär • 9. klassis on 30 õpilast. Täna puudus 20%. Mitu õpilast puudus? • 20% = 0, 2 • 30 0, 2 = 6 (õpilast) • Vastus: 6 õpilast puudus.

Tervik = osa : osamäär • Klassis on 12 poissi, mis moodustab 40% õpilaste üldarvust. Mitu õpilast on klassis? • 40% = 0, 4 • 12 : 0, 4 = 30 (õpilast) • Vastus: Klassis on 30 õpilast.

Ül. 1: Vorsti kilo maksis 36 krooni. Transpordikulud moodustavad 5% vorsti hinnast. Bensiini hinna tõstmine 25% võrra tõstis transpordikulusid 20% võrra. Missugune on vorsti uus hind? • Olgu vorsti hind ilma transpordikuludeta x kr • Transpordikulu 5% x-st ehk 0, 05 x • Vorsti hind koos transpordikuludega x + 0, 05 x = 1, 05 x = 36 (krooni) • x = 36 : 1, 05 = 34, 285 … 34, 30 (krooni)

Vorsti kilo maksis 36 krooni. Transpordikulud moodustavad 5% vorsti hinnast. Bensiini hinna tõstmine 25% võrra tõstis transpordikulusid 20% võrra. Missugune on vorsti uus hind? • • Vorsti hind ilma transpordikuludeta 34, 30 krooni Transpordikulud suurenesid 20% võrra Leiame 20% 5%-st 0, 2 5% = 1% Suurenes 1% 5% + 1% = 6% Transpordikulud moodustavad 6% vorsti hinnast 6% 34, 30 -st 0, 06 34, 30 = 2, 058 2, 05 (krooni) • Uus hind: 34, 30 + 2, 05 = 36, 35 (krooni) • Vastus: Vorsti uus hind on 36 krooni ja 35 senti.

Ül. 2: Kaks töölist väljusid üheaegselt samast majast ja läksid samasse tehasesse. Esimese samm oli 10% võrra lühem teise omast. Kuid see eest astus ta 10% võrra rohkem samme kui teine. Kumb tööline jõuab varem tehasesse? • Kui teise samm on 1 osa, siis esimese samm on 9/10 osa (10% võrra lühem). • Selle aja jooksul kui teine teeb 100 sammu, teeb esimene 110 sammu (10% võrra rohkem). • Teine liigub 100 sammuga 100 1 = 100 osa teest • Esimene aga 110 sammuga 110 9: 10= 99 osa teest. • Vastus: Teine jõuab varem tehasesse.

Ül. 3: Kauba hinda alandati 10%. Mitu protsenti tuleb uut hinda veel alandada, et kogu hinnaalandus oleks 28%? • Olgu kauba hind x rahaühikut. • Uut hinda alandati 10% võrra, siis uus hind on x – 0, 1 x = 0, 9 x • a% alandati veel hinda (0, 01 a 0, 9 x), s. t. uus hind on 0, 9 x – 0, 01 a 0, 9 x = 0, 9 x – 0, 009 ax • Kuna kogu hinnaalandus oleks 28%, siis lõplik hind oleks x – 0, 28 x = 0, 72 x • Saame võrrandi: 0, 9 x – 0, 009 ax = 0, 72 x • -0, 009 ax = 0, 72 x – 0, 9 x • – 0, 009 ax = – 0, 18 x : (– 0, 009 x) a = 20 • Vastus: Teisel korral oleks vaja hinda alandada veel 20%.

Ül. 4: Laste kella hinda vähendati nii mitme % võrra, kui mitu krooni kell maksis enne hinna alandamist. Kui suur oli kella esialgne hind, kui tema uus hind on 24 krooni? • • • Kell maksku x krooni. Hinda alandati x% võrra s. t. 0, 01 x x-st on 0, 01 x 2. Uus hind x – 0, 01 x 2 = 24 100 x – x 2 = 2400 x 2– 100 x + 2400 = 0 x 1 = 40 x 2 = 60 Kontroll: Kell maksis 40 krooni, alandati 40%, st 0, 4 40 = 16 (krooni) võrra, uus hind 40 – 16 = 24 (krooni). • Kell maksis 60 krooni, alandati 60%, st 0, 6 60 = 36 (krooni) võrra, uus hind 60 – 36 = 24 (krooni). • Vastus: Laste kell maksis 40 krooni või 60 krooni.

Ül. 5: Metsas oli okaspuid 40% rohkem kui lehtpuid. Nüüd langetati 20% okaspuudest ja 12% lehtpuudest. Mitu protsenti oli pärast puude langetamist metsas okaspuid rohkem kui lehtpuid? • Olgu metsas x lehtpuud, okaspuid on 40% rohkem s. t. x + 0, 4 x = 1, 4 x • Okaspuudest langetati 20% 1, 4 x-st ehk 0, 2 1, 4 x = 0, 28 x • Alles jäi 1, 4 x – 0, 28 x = 1, 12 x okaspuud. • Lehtpuudest langetati 12% x-st ehk 0, 12 x. • Alles jäi x – 0, 12 x = 0, 88 x lehtpuud. • Okaspuid on 1, 12 x – 0, 88 x = 0, 24 x võrra rohkem ehk 0, 24 x : 0, 88 x = 27, 3% võrra rohkem. • Vastus: Pärast puude langetamist oli metsas 27, 3% okaspuid rohkem kui lehtpuid.

Ül. 6: Kartuli müügihind suurenes juunis 20% võrra ning vähenes juulis juuniga võrreldes 20% võrra. Millal kartulid odavamad, kas mais või juulis ja mitme protsendi võrra? • Olgu mais kartuli hind x krooni (või mõni teine rahaühik). • Juunis suurenes 20% võrra, st. 0, 2 x võrra. Juunis maksis kartul x + 0, 2 x = 1, 2 x (krooni). • Juulis vähenes 20% võrra, st. 0, 2 1, 2 x = 0, 24 x (krooni) võrra. • Juulis maksis kartul 1, 2 x – 0, 24 x = 0, 96 x (krooni). • Juulis olid kartulid x – 0, 96 x = 0, 04 x (krooni) odavamad kui mais ehk 0, 04 x: x=4% odavamad. • Vastus: Kartulid odavamad juulis 4% võrra.

Ül. 7: Vanemal vennal on 25% võrra rohkem raha kui nooremal. Mitu protsenti oma rahast peab andma vanem nooremale, et neil oleks raha ühepalju? • Olgu nooremal vennal x raha, vanemal vennal on x + 0, 25 x = 1, 25 x (raha). • Kokku x + 1, 25 x = 2, 25 x (raha). • Et raha oleks võrdselt on vaja see pooleks teha. • 2, 25 x : 2 = 1, 125 x (raha) peaks kummalgi olema. • Vanemal vennal on rohkem 1, 25 x – 1, 125 x = 0, 125 x (raha). • See on 0, 125 x: 1, 25 x=10% rohkem. • Vastus: Vanem vend peaks andma nooremale oma rahast 10%, et neil oleks võrdselt raha.

Ül. 9: Mitu kilogrammi vett on vaja välja aurutada 0, 5 tonnist tselluloosimassist, mis sisaldab 85% vett, et alandada veesisaldus 75%-le? • Tahket ainet on massis 100%-85%=15%, so. 0, 15 0, 5 t =0, 075 t = 75 kg, • mis moodustab 100% – 75% = 25% uuest segust. • Et 25% on 75 kg, siis pärast aurutamist jääks segu järele 75 : 0, 25 = 300 (kg). • Järelikult on tarvis välja aurutada 500 – 300 = 200 (kg). • Vastus: Tselluloosimassist on vaja välja aurutada 200 kg vett.

Ül. 10: Arvust lahutati 10% temast, seejärel 25% saadud jäägist ja siis veel 20% viimasest jäägist. Järele jäi 27. Leia esialgne arv. • Olgu arv x, 10% temast on 0, 1 x. • Arvust lahutati 10%, saadi x – 0, 1 x = 0, 9 x. • 25% jäägist on 0, 25 0, 9 x = 0, 225 x, see lahutati saadud jäägist. • Viimane jääk on 0, 9 x – 0, 225 x = 0, 675 x. • Sellest võeti 20%, so. 0, 2 0, 675 x = 0, 135 x, mis omakorda lahutati eelmisest jäägist, • Saadi 0, 675 x – 0, 135 x = 0, 54 x. • See on võrdne 27 -ga. 0, 54 x = 27 x = 50 • Kontroll: 10% 50 -st on 0, 1 50 = 5, 50 -st lahutati see, saadi 50 – 5 = 45. • 25% 45 -st on 0, 25 45 = 11, 25, mis lahutati 45 -st, saadi 45 – 11, 25 = 33, 75. • 20% 33, 75 -st on 0, 2 33, 75 = 6, 75, mis lahutati 33, 75 -st, saadi 33, 75 – 6, 75 = 27. • Vastus: Esialgne arv oli 50.

Ül. 11: Arv a on 92% arvust b. Kui arvu b suurendada 700 võrra, siis on ta arvust a suurem 9% võrra (b + 700)-st. Leia arvud a ja b. • Arv a on 0, 92 b. Suurendame arvu b 700 võrra, saame b+700. • Leiame 9% (b + 700)-st, so. 0, 09(b + 700). • b + 700 on arvust a ehk 0, 92 b-st 0, 09(b + 700) võrra suurem, st. • b + 700 = 0, 92 b + 0, 09(b + 700) b+700=0, 92 b+0, 09 b +63 • b + 700 = 1, 01 b +63 0, 01 b = 637 • b = 6370 ning a = 0, 92 6370 = 58604 • Kontroll: Suurendame arvu b 700 võrra, saame 6370 + 700 = 64400 • Leiame 9 % (b + 700)-st, so. 0, 09 64400 = 5796 • ning 64400 on 58604 -st 64400 – 58604 = 5796 võrra suurem. • Vastus: a on 58 604 ja b on 64 400.

Ül. 12: Toimetaja ja korrektori töötasuks kokku arvestatakse 5% raamatute müügi eest saadud rahast. Autor saab 10% kahest kolmandikust müügi eest saadud rahast. Kui suur on autori tasu, kui toimetaja ja korrektor said kumbki 3000 krooni? • • Toimetaja ja korrektor said kokku 6000 krooni. Olgu raamatute müügist saadud raha x krooni. 5% x-st on 6000 krooni, ehk 0, 05 x = 6000 x = 120 000 Raamatute müügist saadi 120 000 krooni. Autor sai 10% 2/3 120 000 kroonist, 0, 1 2/3 120000 = 8000 (krooni). Vastus: Autori tasu oli 8000 krooni.

Ül. 13: Seebimullide, õhulosside ja juustuaukude vahendusfirma AS Mull tegevdirektor süüdistas müügijuhti laiskuses, väites et firma detsembrikuu müügimaht on oktoobriga võrreldes rohkem kui 10% võrra langenud. Müügijuht seevastu kirjutas oma kvartaliaruandes, et kuigi iga kuu esimeses pooles kahanes müük võrreldes eelmise kuu teise poolega 30% võrra, kasvas see iga kuu teises pooles võrreldes sama kuu esimese poolega 35% võrra. Kas tegevdirektor eksis, kui müügijuhi aruanne vastab tõele?

• Olgu oktoobri esimesel poole müügimaht x, siis oktoobri teise poole müügimaht on sellest 35% võrra suurem ehk 1, 35 x • novembri esimese poole müügimaht on sellest omakorda 30% võrra väiksem ehk 0, 7 1, 35 x = 0, 945 x. • Kuna kummagi terve kuu müügimaht on võrdne 1 + 1, 35 = 2, 35 korda vastava kuu esimese poole müügimahuga, siis võime järeldada, et ka terve novembrikuu müügimaht on võrdne 0, 945 korda terve oktoobrikuu müügimahuga. • Et samasugune arutlus kehtib ka novembri- ja detsembrikuu jaoks, siis detsembrikuus müüs firma 0, 9452 = 0, 893025 korda niipalju kui oktoobris • järelikult vähenes müük oktoobriga võrreldes tõepoolest veidi rohkem kui 10% võrra. • Vastus: Tegevdirektoril oli õigus.