prototipo di crescita esponenziale crescita aritmetica da notare

prototipo di crescita esponenziale crescita aritmetica

da notare ricorsione ? ?

+ = dimostrazione alternativa

? come dimostrarlo ?

induzione vero per n=0 se vero per (n-1) allora vero per n

Teorema: Tutti i gatti hanno lo stesso colore: Dimostrazione: base dell induzione: un gatto ha lo stesso colore (ovvio) passo induttivo: ogni insieme di n-1 gatti ha lo stesso colore. Dato un insieme di n gatti, si prendano i gatti da 1 a n-1. Devono avere lo stesso colore. Si prendano i gatti da 2 a n. Devono avere lo stesso colore. Ma i gatti da 2 a n-1 hanno anche lo stesso colore. Quindi tutti gli n gatti hanno lo stesso colore. Dove sta l’errore ?

Chi cresce di più ? Ma per n=997 avviene il sorpasso

Racconto del poeta arabo al-Sabhadi (Bagdad 1000 d. C) sull’origine degli scacchi Motivazione: facilità del calcolo di 2 alla 64 con il metodo indiano

01101001111001 Quante stringhe di 0 e 1 di lunghezza n ? Insieme Quanti sottoinsiemi ? Quanti sottoinsiemi di m elementi ?

n volte Scelta di non prendere l’elemento Scelta di prendere l’elemento Il coefficiente di e` il numero di insiemi di m elementi

1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 2 4 8 16 1 5 10 10 5 1 32 1 6 15 20 15 6 1 64

0 0 1 1 1 0 0110 Gli alberi binari sono contenitori efficienti

MARIO SANDRA ELISA BRUNO FABIO CARLO ANDREA FILIPPO EMILIA ALBERTO ANNA PAOLO DANIELA FRANCO MINO ROBERTO NICOLA MICHELE ALBERO BINARIO DI RICERCA VALERIO STEFANO UGO

ELENA MARIO SANDRA ELISA BRUNO FABIO CARLO ANDREA FILIPPO EMILIA ALBERTO ANNA PAOLO DANIELA FRANCO MINO ROBERTO NICOLA MICHELE ALBERO BINARIO DI RICERCA VALERIO STEFANO UGO

MARIO ELENA SANDRA ELISA BRUNO FABIO CARLO ANDREA FILIPPO EMILIA ALBERTO ANNA PAOLO DANIELA FRANCO MINO ROBERTO NICOLA MICHELE ALBERO BINARIO DI RICERCA VALERIO STEFANO UGO

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F R F E E E H T M H M B C B N Z P B B B P

Dati n giocatori, come costruire il tabellone ? Dati n giocatori, quante sono le partite ? Disponendo di molti campi, quanto dura il torneo ? Disponendo di m campi, quanto dura il torneo ?

Dati n giocatori, quante sono le partite ? trovare un invariante per ogni partita c’è una vittoria e una sconfitta ogni giocatore (tranne il vincitore del torneo) perde esattamente una volta il numero di partite è uno meno del numero di giocatori

e le vittorie come sono distribuite ? esiste una qualche regolarità o no? il vincitore vince sempre c’è qualcuno che non vince mai (cioè gioca una sola volta e perde)? vittorie partite = esattamente uno? almeno uno che non vince esiste A B B C C D D E E

e le vittorie come sono distribuite ? esiste una qualche regolarità o no? il vincitore vince sempre c’è qualcuno che non vince mai (cioè gioca una sola volta e perde)? vittorie partite = nessuno vince (tranne uno) A A B A C A D A E

Disponendo di molti campi, quanto dura il torneo ?

7+11+5+13+6+8+4+10+9+15+12+6+8+16 7 11 5 13 6 8 4 10 9 15 12 6 18 36 18 64 14 28 14 130 24 42 18 66 8 24 16 tempo logaritmico con sufficienti processori

35 19 22 7 17 21 10 9 15 3 6 6 1 8 1 7 9 2 2 5 6 3 8 12

19 22 7 17 21 10 9 15 3 6 6 1 8 1 7 9 2 2 5 6 3 Rimozione del massimo 8 12 7 4

3 19 22 7 17 21 10 9 15 3 6 6 1 8 1 7 9 2 2 5 6 Rimozione del massimo 8 12 7 4

22 19 3 7 17 21 10 9 15 3 6 6 1 8 1 7 9 2 2 5 6 Rimozione del massimo 8 12 7 4

22 19 21 7 17 3 10 9 15 3 6 6 1 8 1 7 9 2 2 5 6 Rimozione del massimo 8 12 7 4

22 19 21 10 7 17 15 9 3 3 6 6 1 8 1 7 9 2 2 5 6 Rimozione del massimo 8 12 7 4

22 19 21 10 7 17 15 9 9 3 6 8 12 7 4 6 1 8 1 7 3 2 2 5 6 Rimozione del massimo costo log n

35 19 22 7 17 21 10 9 15 3 6 8 12 7 6 1 8 1 7 9 2 2 5 6 3 18 Aggiungere un elemento 4

35 19 22 7 17 21 10 9 15 3 6 8 18 7 6 1 8 1 7 9 2 2 5 6 3 12 Aggiungere un elemento 4

35 19 22 7 18 21 10 9 15 3 6 8 17 7 4 6 1 8 1 7 9 2 2 5 6 3 12 Aggiungere un elemento costo log n

22 19 21 10 7 17 15 9 9 3 6 6 1 8 1 7 3 2 2 5 6 35 8 12 7 4

19 21 10 7 17 15 9 9 3 6 6 1 8 1 7 3 2 2 5 6 35 22 8 12 7 4

6 19 21 10 7 17 15 9 9 3 6 6 1 8 1 7 3 2 2 5 35 22 8 12 7 4

21 19 6 10 7 17 15 9 9 3 6 6 1 8 1 7 3 2 2 5 35 22 8 12 7 4

21 19 15 7 17 6 10 9 9 3 6 6 1 8 1 7 3 2 2 5 35 22 8 12 7 4

21 19 15 9 10 7 9 6 17 3 6 6 1 8 1 7 3 2 2 5 35 22 8 12 7 4

21 19 15 9 10 7 9 7 17 3 6 6 1 8 1 6 3 2 2 5 35 22 8 12 7 4

5 19 15 9 10 7 9 7 17 3 6 1 8 1 6 3 2 2 35 22 21 6 8 12 7 4

19 15 5 9 10 7 9 7 17 3 6 1 8 1 6 3 2 2 35 22 21 6 8 12 7 4

19 15 17 10 7 5 9 9 7 3 6 1 8 1 6 3 2 2 35 22 21 6 8 12 7 4

19 15 17 9 10 7 9 7 12 3 6 1 8 1 6 3 2 2 35 22 21 6 8 5 7 4

alberi genealogici padre nonno madre nonna nonno nonna

piccolo conto 3 generazioni per secolo 30 generazioni fino all’anno 1000 un miliardo ! non esistevano tanti abitanti ? 1) molti antenati sono la stessa persona 2) abbiamo tutti antenati comuni

A B C D E G H I J K M N F

Codice Morse (apparentemente) binario A B C D E F G H I J K L M 01 1000 1010 100 0 0010 110 0000 00 0111 101 0100 11 N O P Q R S T U V W X Y Z 10 111 0110 1101 010 000 1 0001 011 1001 1011 1100

Codice Morse (apparentemente) binario A B C D E F G H I J K L M 01 1000 1010 100 0 0010 110 0000 00 0111 101 0100 11 N O P Q R S T U V W X Y Z 10 111 0110 1101 010 000 1 0001 011 1001 1011 1100

Codice Morse (apparentemente) binario A B C D E F G H I J K L M 01 1000 1010 100 0 0010 110 0000 00 0111 101 0100 11 N O P Q R S T U V W X Y Z 10 111 0110 1101 010 000 1 0001 011 1001 1011 1100

Codice Morse (apparentemente) binario A B C D E F G H I J K L M 01 1000 1010 100 0 0010 110 0000 00 0111 101 0100 11 N O P Q R S T U V W X Y Z 10 111 0110 1101 010 000 1 0001 011 1001 1011 1100

Codice Morse (apparentemente) binario A B C D E F G H I J K L M 01 1000 1010 100 0 0010 110 0000 00 0111 101 0100 11 N O P Q R S T U V W X Y Z 10 111 0110 1101 010 000 1 0001 011 1001 1011 1100 arrivo domani 01010010000001111 10011111011000 010100100000011111011000 entelesomitongi

00 011 0100 0101 100 110 1011 01010010000001111101100 111

Codice di Huffman a e m p r t z 16 25 12 6 10 8 2

Codice di Huffman a e m p r t z 16 25 12 6 10 8 2 minimi z p

Codice di Huffman a e m (pz) r t 16 25 12 8 10 8 minimi t z p

Codice di Huffman a e m (pzt) r 16 25 12 16 10 minimi t z p m r

Codice di Huffman a e (mr) (pzt) 16 25 22 16 minimi a t z p m r

Codice di Huffman (apzt) e (mr) 32 25 22 minimi a e t z p m r

a e m p r t z Codice di Huffman (apzt) (emr) 32 47 a 16 25 12 6 10 8 2 e t z p m r 00 11 100 0101 011 0100

alberi binari come contenitori di tutti i razionali albero di Stern-Brocot

Ogni frazione è rappresentata da numeri primi fra loro Ogni razionale è presente Nessun razionale è ripetuto

Nessun razionale è ripetuto s r r

3 2 - 1 5 =1

5 2 - 3 3 =1

Ogni razionale e` presente

0 1 0 010

1 1 0 0 010 1100

101100

ogni razionale è associato ad una stringa di 0 e 1 e gli irrazionali ? ogni irrazionale è associato ad una stringa infinita di 0 e 1

1001100110011…. 1 2 2 2 2 2 1 0 1 0 1 0 1…. 1 2 2 2 2 2 …. e 1101101000010111111010000…. 2 1 1 4 1 1 6 1 1 8 1 0 1 0 1 0…. 2 1 1 4 1 1 6 1 1 8 …. 10101010. . . 1 1 1 ….

nella musica

frequenza del la(1) 110 Hz 1 frequenza del la(2) 220 Hz 2 frequenza del la(3) 440 Hz 4 frequenza del la(4) 880 Hz 8 frequenza del la(5) 1760 Hz 16 frequenza del la(6) 3520 Hz 32

e le note intermedie ?

e le note intermedie ?

e le note intermedie ? sol fa mi la

sol fa la mi re si

2

4

8

16

32

64

La torre di Hanoi

Regole: 1) Spostare i dischi uno alla volta 2) Ogni disco deve sempre poggiare su uno più grande Domanda: Quanti spostamenti sono necessari per trasferire tutti i dischi da un piolo ad un altro ?

1

1

1