Prosjektanalyse Investering og finansiering yvind Bhren og Per

Prosjektanalyse Investering og finansiering Øyvind Bøhren og Per Ivar Gjærum Fagbokforlaget 2009

Oversikt: Kapittel 3 • • • Sluttverdi Nåverdi Annuitet - sammensetning av annuitetsbeløpet Annuitet – sluttverdi Forskuddsannuitet Kort og lang rente Varierende rente Kontinuerlig rente Nominell og reell rente Oppsummering

• Nåverdien av penger - Tidskostnad - Inflasjonskostnad - Usikkerhetskostnad 0 1 w 2 w tid 1. Sluttverdi • XT øker med økende X 0 , r og T • (1+r)T kalles sluttverdifaktor. Rentetabell 1:

1. Sluttverdi (forts. ) • Eksempel 1 100. 000 plasseres i fem år til 7% årlig rente. Hva er beløpet vokst til etter fem år? • Eksempel 2 100 000 plasseres i år null. Hvilken rente (r) gir 125 000 etter fire år?

1. Sluttverdi (forts. ) • Eksempel 3 Hvor lenge (T) må 100 000 forrentes for å gi 200 000 når renten (r) er 7 %? Alternativt: Bruk kalkulator: PV = -100’ FV = 200’ i % = 7 N = 10, 24

2. Nåverdi Hvilket beløp X 0 må du investere til en rente r for å få en bestemt sluttverdi XT etter T perioder? • Sluttverdi: 0 1 w … X 0 • Nåverdi: 0 X 0 T w XT 1 w … tid T w XT tid

2. Nåverdi (forts. ) Eksempel: Du får utbetalt 300 000 om sju år og ønsker å belåne dette i dag. Hvor mye kan du låne hvis renten er 8 %?

2. Nåverdi (forts. ) • Kontantstrømmen i et prosjekt kan henføres til ulike tidspunkter. Dersom vi skal sammenligne kontantstrømselementene, må de henføres til samme tidspunkt. Eksempel 0 -100 1 w 50 2 w 150 tid NV SV NV 10%= 70 NV 15%= 57 NV synker ved økende rente

2. Nåverdi (forts. ) Eksempel: Du får utbetalt 300 000 om sju år og ønsker å belåne dette i dag. Hvor mye kan du låne hvis renten er 8 %? • Hva hvis utbetalingen skjer om 10 år? • Hva hvis renten er 5% og T = 7 år? Uten formelregnearket: Med formelregnearket:

2. Nåverdi (forts. ) • Formel for nåverdi av kontantstrøm

2. Nåverdi (forts. ) r=0% r=2% r=5% r=10% • Ser: Nåverdien stiger når T øker; synker når r øker

3. Annuiteter 0 1 w 10 2 w 10 3 w 10 … • Eksempel: Du kan maksimum betale 70’ pr. år på billånet ditt over tre år. Renten er 8 %. Hvor mye kan du låne? Eller: T w 10 tid

Alternativ 2: Invers annuitetsfaktor Alternativ 3: Formelregnearket Alternativ 4: Kalkulator

3. Annuiteter (forts. ) Kalkulator (her vist med HP) 0 NV 1 w 3 w 2 w PMT 4 w i% 5 w N … N w FV tid Løs med kalkulator eller rentetabell: Oppgave 1: Hva er nåverdien av 1 kr. årlig i fem år med en rente på 0 %? Oppgave 2: Hva er nåverdien av 2. 000 mottatt hvert år i fem år; rente 10 %? Oppgave 3: Hva er nåverdien av 1 kr. mottatt hvert år i fem år; rente 3 %? Oppgave 4: Hva er nåverdien av 1 kr. mottatt hvert år i 10 år; rente 10 %? Oppgave 5: Hva er lånerenten hvis du betaler 70’ hvert år i fem år for å forrente og avdra et lån på 300’?

3. Annuiteter (forts. ) 3. 1 Uendelig levetid: Hva skjer når T øker, og alle andre variable er uendrede?

3. 1 Annuiteter – uendelig levetid (forts. ) • Brukes ofte ved taksering av eiendom (multiplikatormetoden) Eksempel: Årlig netto leie 0, 5 mill. etter alle driftskostnader; realrente 5 %. Multiplikator • Men forutsetter 1. 2. Konstant kontantstrøm over tid Kontantstrømmen varer evig

3. 2 Annuitet med konstant vekst (v) og endelig levetid (T) • Eksempel: Du har tilbud om å disponere en eiendom i 15 år. Leieinntektene neste år er 7 mill. og forventes å vokse med 3% årlig utover inflasjonen i 15 år. Hva er verdien av tilbudet når realrenten er 5 %?

3. 2 Annuitet med konstant vekst og endelig levetid, forts. Hva hvis v=0? v=0 gir ordinær annuitet (rentetabell 3 og tabell 3. 5)

3. 4 Uendelig annuitet med konstant vekst • Eksempel: Leieinntektene neste år er 7 mill. og forventes å vokse med 3 % årlig utover inflasjonen i overskuelig framtid. Realrenten er 5 %. Hva er nåverdien av kontantstrømmen? multiplikator

4. Annuitet – sammensetning av annuitetsbeløpet • Eksempel: Du låner 100. 000 over 3 år til 10 % rente. Gir annuitet på 40. 211. NB: Alle beløp er nominelle

5. Sluttverdi av annuitet 0 1 w 2 w X X tid SVA Se rentetabell 5 Eksempel: Du vil spare 25 000 hvert år i fem år, første gang om ett år. Hvor mye har du etter fem år med 7 % rente? • Rentetabell 5: SVA= 25 000. 5, 7507, dvs. 143 768 • Alternativt: Bruk formelregnark eller kalkulator

6. Forskuddsannuitet 0 Etterskuddsannuitet Forskuddsannuitet 0 X 1 w 2 w T-1 w X X X … Eksempel 1: Du skal betale forskuddsvis leie på 80 000 årlig i 10 år. Du har penger på konto og ønsker å vite hvor mye av disse du må sette av. Rente: 5 %. T X 0 tid

6. Forskuddsannuitet (forts. ) 0 1 w w 80 000 • 2 … … 9 10 80 000 0 w Alternativt: Kalkulator: Begin mode, r =5 %, N = 10 år, PMT = 80’.

6. Forskuddsannuitet (forts. ) • Eksempel 2: Hvor mye årlig leie kan du maksimalt betale forskuddsvis over 10 år hvis du har 500 000 på konto? Rente 5 %. Med kalkulator: Begin mode, N=10, r=5, NV=500

6. Forskuddsannuitet (forts. ) • Eksempel 3: Leien i eksempel 1 reduseres fra 80’ til 60’. Hvor mye mer er det på konto etter ni år? 0 1 w 20’ 2 w 3 w Bringer X 0 fram til T - 1 4 w 5 9 10 w w … w 0 20’ tid Bringer (X 1, X 2, . . . , XT-1 ) fram til T - 1 Med kalkulator: End mode: N = 9, r = 5 %, PMT = 20’: FV = 220, 6’ N = 9, r = 5 %, PV = 20’: FV = 31’ Sum: 31’ + 220, 6’ = 251, 6’

7. Kort og lang rente • Er halvårsrenten 5 % dersom årsrenten er 10 %? • Er det bedre å betale 1 000 den 31. 12. enn 500 den 30. 06. og 500 den 31. 12. ? Nei Ja XT=X 0. (1+r)T 1. 1 30. 06 w 31. 12 w tid • • Du kan velge mellom å investere med rente (r) tillagt på slutten av året (31. 12) eller med rente (r 2) hvert halvår (30. 06 og 31. 12). For å få samme sluttverdi etter ett år må: (1+r) være lik (1+r 2), som er (1+r 2) 2 Altså er betingelsen: r = (1+r 2)2 – 1

7. Kort og lang rente (forts. ) • For å finne kortrenten r 2 fra årsrenten r: Generelt: Jo flere terminer b; jo høyere effektiv årsrente r hvis rb settes lik r/b • 2 % rente pr. måned gir ikke 12. 2 % = 24 % årlig, men: 1, 0212 – 1 = 26, 8%

7. Kort og lang rente (forts. ) • Eksempel: Du tar opp et lån på 400 000 over åtte år til 7 % årlig rente. Kan velge mellom årlig, halvårlig eller månedlig betaling. Hva blir terminrente og terminbeløp i de tre tilfellene hvis du skal ha samme effektive rente? • Årlig Terminbeløp (kalkulator): PV = 400, N = 8, r = 7 %: PMT = 66. 987 • Halvårlig Rente: Terminbeløp fra kalkulator: PV = 400 N=16 • r = 3, 441 %: PMT = 32. 927 Månedlig Rente: Terminbeløp (kalkulator): PV = 400, N = 96, r = 0, 5655: PMT = 5. 410 • Derfor: Rentes-rente effekter innenfor året neglisjeres hvis kortrenten rb settes lik r/b.

7. Kort og lang rente - oppgaver Oppgave 1: Du tar opp et lån med 8 % nominell årsrente, kvartalsvise terminer og 2 % rente pr. kvartal. Hva blir effektiv årlig rente? Oppgave 2: Du tar opp et lån med 12 % nominell årsrente og månedlige terminer. Hva blir effektiv årlig rente dersom månedsrenten er 1 %?

8. Varierende rente 0 r = 5% 1 w 10 r = 10% 2 w 10 r = 7% 3 w 10 tid

9. Kontinuerlig rente i ii Antall Årlig perioder nom. pr. år rente 1 6% iii Kortrente pr. periode 6% iv Sluttverdi etter ett år 1, 032 1, 06 v Årlig effektiv rente reff 6, 000% = 1, 0609 6, 090% 2 6% 3% 4 6% 1. 5% 1, 0154 = 1, 06136 6, 136% 12 6% 0. 5% 1, 00512 = 1, 06168 6, 168% 52 6% 0. 1154% 1, 00115452 = 1, 06180 6, 180% 365 6% 0. 0164% 1, 000164365 = 1, 06183 6, 183% Ad. ii: Dersom korrekt kortrente ble brukt, ville årlig effektiv rente reff i kolonne v blitt lik 6% i alle tilfeller.

9. Kontinuerlig rente (forts. ) • Hva skjer med årlig effektiv rente reff når antall perioder går mot uendelig? • Med kontinuerlig forrentning til 6 % blir effektiv rente reff =e 0, 06 – 1, dvs. 6, 184 % • Med kontinuerlig rente = rk og antall perioder = T Sluttverdifaktor:

9. Kontinuerlig rente (forts. ) Eksempel: Du har kr. 100 i dag. Hva er verdi om 2 år når a) kontinuerlig rente er 5 %? b) årlig rente er 5 %? Svar: a) SV: 100. e 0, 05. 2 = 100. 1, 1052, dvs. 110, 52 b) SV: 100. 1, 05 2 = 100. 1, 1025, dvs. 110, 25 Eksempel: Du mottar kr. 200 på slutten av år 2. Hva er nåverdien av dette beløpet neddiskontert med 5 % kontinuerlig rente? Svar: NV= 200/e 0, 05. 2 , dvs. 200. 1/1, 1052 =180, 97

10. Nominell og reell rente Eksempel • Investering, 2009 100 • Nominell rente på investeringen: 10 % • Beløp etter 1 år: 1002009. 1, 1 = 1102010 • Prisstigning i løpet av året 3% Dermed er reellt beløp (realverdi) i 2010: 1102010 /1, 03 = 106, 802010 Med 1 kr. investert: 1, 10/1, 03 = 1, 068 (1 + r. N)/(1 + j) = (1 + r. R) r. R = (1 + r. N)/(1 + j) – 1 r. R = [(1 + r. N) - (1 + j)]/(1 + j) r. R = (r. N - j)/(1 + j)

11. Oppsummering • Sluttverdi: • Nåverdi av uendelig annuitet X: • Nåverdi av endelig annuitet med startnivå X 1 og konstant vekst v:

11. Oppsummering (forts. ) • Nåverdi av uendelig annuitet med konstant vekst: • Fra kort rente (rb) til lang (r): • Fra lang rente (r) til kort (rb): • Diskonteringsfaktor ved kontinuerlig rente (rk): • Fra nominell rente (r. N) og inflasjon (j) til reell rente (r. R): • Fra reell rente (r. R) og inflasjon (j) til nominell rente (r. N):