Proses Stokastik Semester Ganjil 2011 1 Sebaran yang

Proses Stokastik Semester Ganjil 2011 1

Sebaran yang Berhubungan dengan Proses Poisson: Interarrival and waiting times X(t): Jumlah kedatangan sampai dengan waktu t, dengan laju λ X(t) 4 Wn, n =0, 1, …: Waktu tunggu sampai dengan kedatangan ke n 3 2 1 W 0 S 0 W 1 W 2 S 1 W 3 W 4 S 2 S 3 Sn, n =0, 1, …: Waktu antar kedatangan (interarrival times), t atau sojourn time

Waktu antar Kedatangan (Interarrival Times): Sojourn times Jika tidak terdapat kedatangan sampai dengan waktu t berarti bahwa: Waktu tunggu (waiting time) dari kedatangan pertama (W 1) atau sistem sojourn pada state 0 (S 0) lebih dari t Funsi Sebaran Kumulatif (cdf) dari sebaran exponential dengan rata-rata (mean) 1/λ Waktu antar kedatangan S 0, S 1, … adalah peubah acak exponential yang saling bebas dengan rata-rata 1/ (i. i. d):

Waktu Tunggu (Waiting Time) � Waktu tunggu adalah jumlah dari n waktu antar kedatangan (interarrival/sojourn times). � Waktu antar kedatangan (interarrival times) menyebar secara exponential � Dengan pendekatan fungsi pembangkit moment: Fungsi pembangkit moment dari sojourn times, S

Fungsi pembangkit moment dari waiting time, W Dengan sifat i. i. d. dari sojourn times Yang merupakan fungsi pembangkit momen dari sebaran Gamma (n, λ), dengan fungsi:

Ringkasan � Jika jumlah kedatangan sampai dengan waktu t, X(t) adalah proses Poisson dengan laju λ � Maka waktu antar kedatangan (interarrival times), S akan menyebar secara exponential dengan rata-rata (mean) 1/ λ � Dan waktu tunggu sampai dengan kedatangan ke n, W mempunyai sebaran gamma dengan parameter (n, λ)

Contoh � Suatu sumber radioaktif memancarkan partikel mengikuti proses Poisson dengan laju λ=2 partikel per menit. � Berapa peluang bahwa partikel pertama akan muncul setelah tiga menit?

� Berapa peluang bahwa partikel pertama muncul setelah menit ke-3 menit akan tetapi sebelum menit ke-5?

Proses Poisson dan Sebaran Binomial Teorema � Diberikan X(t) suatu proses Poisson dengan laju λ>0, maka untuk 0<u<t dan 0 ≤ k ≤n Bukti:

Contoh: � X(t): jumlah kedatangan pelanggan ke suatu fasilitas umum � Adalah proses Poisson dengan laju =2 pelanggan/jam � Jika 6 pelanggan datang pada setelah 3 jam fasilitas dibuka, berapa peluang bahwa terdapat 2 pelanggan datang selama jam pertama fasilitas tersebut dibuka? � 0<1<3 and 0 ≤ 2≤ 6

Definisi Proses Kelahiran dan Kematian (Birth and Death Process) Adalah proses Markov untuk waktu kontinyu X(t) dengan: � State space yang bersifat diskrit � Kemungkinan state: i = 0, 1, 2, . . . sedemikian sehingga � Transisi state hanya mungkin terjadi antara state yang bertentangga , i→ i+1 or i→ i-1 � Transisi tersebut terjadi pada selang waktu tertentu dari t sampai dengan (t+∆t)

Birth and Death Process Digunakan untuk memodelkan � Proses reproduksi organisme � Penyebaran penyakit menular � Sistem antrian

� Laju transisi: Ketika sistem berada pada state i � Peluang kelahiran pada selang waktu ∆t adalah λi∆t � Peluang kematian pada selang waktu ∆t adalah μi∆t

Peluang Equilibrium Probability dari Birth and Death Process � Adalah peluang dari proses berada di state i, tanpa tergantung waktu � Pada saat equilibrium total aliran peluang (net flow) adalah 0 � State 0 dapat dijangkau dari state 1 dengan peluang π1 dan laju μ 1 � State 0 dengan peluang π0 dapat berubah menjadi state 1 dengan laju λ 0 Secara umum: � State k dapat dijangkau dari k+1 dengan peluang πk+1 dan laju μk+1 � State k dengan peluang πk dapat berubah menjadi state k+1 dengan laju λk

� Hubungan berikut mendefinisikan net flow balance: Dst secara rekursif:

� Dengan batasan sedemikian sehingga fungsi peluang dapat terdefinisi dengan baik: � π0 menentukan syarat di atas

Contoh: � Proses kelahiran dan kematian berawal dari X(0)=0 dan 0, 1, 2, 3 adalah kemungkinan state , dengan parameter kelahiran dan kematian � Berapa peluang bahwa pada kondisi equilibrium proses akan berada pada state 0?

� Berapa peluang bahwa pada kondisi equilibrium proses akan berada pada state 1?