Proposicin Expresin de la que tiene sentido decir

Proposición • Expresión de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa Una proposición es una sentencia (oración) correctamente formada que puede ser verdadera o falsa • Es una sentencia declarativa. • Representa un hecho de la realidad. • Es una oración del lenguaje que consta de un sujeto y un predicado, tiene un valor afirmativo. • Las oraciones interrogativas, exclamativas, imperativas, no afirman nada y no pueden ser considerados enunciados. 1

• Ejemplos – 1 + 4 = 5 (Verdad) – La Pampa es una nación. (Falso) – 8 + 23 (no es proposición) – María (ídem anterior) Analiza si son o no proposiciones Luís y Marta van de pesca. Luis llamó a Marta para salir. El autobús pasa a las seis Mañana lloverá. ¡siéntate! ¿cuándo sale el autobús? ¿fueron a pescar Luis y Marta finalmente? 2

Proposición Atómica • Una proposición es simple o atómica si no puede ser descompuesta en proposiciones más simples. • Las proposiciones simples o atómicas son indicadas de manera afirmativa. • Ejemplos: – La casa es grande. (es atómica) – La casa no es grande. ( no es atómica) – Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica) 3

Proposición Molecular • Una proposición es compuesta o molecular si no es atómica, es decir, si puede ser descompuesta en proposiciones más simples. • Una proposición compuesta o molecular se forma al unir proposiciones atómicas utilizando conectivos lógicos o términos de enlace. 4

Proposiciones Moleculares • Ejemplos – Vamos en bicicleta o vamos a pie. – No es cierto que Juan llegó temprano – Juan no llegó temprano – Luis es arquitecto y Martín es médico. – La medalla no es de plata y el diploma parece falso. – Matías aprobó pero Lucas no. 5

Simbolización • Se utilizarán letras minúsculas para simbolizar las proposiciones atómicas. • Ejemplo: – El Sr. Domínguez es el gerente. Si se considera p = “El Sr. Domínguez es el gerente” esta proposición puede ser simbolizada como p. 6

Simbolización • Para simbolizar un proposición – Identificar las proposiciones simples o atómicas – Simbolizar las proposiciones simples o atómicas encontradas. – Utilizar los conectivos lógicos para relacionarlas. 7

Simbolización • Ejemplos – Vamos en bicicleta o vamos a pie. p : “Vamos en bicicleta”. q : “Vamos a pie” Simbolización: p v q – No es cierto que Juan llegó temprano p = “Juan llegó temprano”. Simbolización : p 8

Simbolización • Ejemplo – La medalla no es de plata y el diploma parece falso. p : “La medalla es de plata”. q : “El diploma parece falso” Simbolización: p ^ q 9

Simbolización • Ejemplo – Matías aprobó el examen pero Lucas no. r = “Matías aprobó el examen”. s = “Lucas aprobó el examen” Simbolización : r ^ s 10

• La formalización es el proceso en el que se traducen proposiciones del lenguaje cotidiano al lenguaje formal o simbólico. Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos. Sean p: “La temperatura está sobre los 17°C” q: “ Llueve” • • • La temperatura está sobre los 17°C pero llueve. Ni la temperatura supera los 17°C ni llueve. No es cierto que llueva con la temperatura superior a los 17°C. Llueve cuando la temperatura está sobre los 17°C. Que la temperatura esté sobre los 17°C es suficiente para que no llueva. O bien llueve o bien la temperatura es superior a 17°C. 11

Tabla de Verdad • La tabla de verdad de una proposición molecular muestra todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. 12

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Negación p • Indique el valor de verdad de: – El número 9 no es divisible por 3. – No es cierto que los perros vuelan. 14

Conjunción • Indique el valor de verdad de : – 6 es un número par y divisible por 3. –(2+5=7) y(2*3=9) 15

Disyunción • Indique el valor de verdad de : – 2 es primo o es impar. – (2 + 3 = 4 ) o (2 * 2 = 5) 16

Construcción de tablas de verdad • ¿Cuántas filas tiene la tabla? – 1 proposición – 2 proposiciones – 3 proposiciones –. . – n proposiciones 2 valores (V o F) 4 valores de verdad 8 valores de verdad 2 n valores de verdad. 17

Ejemplos • Construir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones p^ q (pvq)^ (p ^ p r ) v ( p ^ q) 18

Ejercicio • Sabiendo que p y q son proposiciones verdaderas y que r y s son proposiciones falsas, determinar el valor de verdad de las proposiciones moleculares siguientes: (p ^ q ) v (r ^ p ) v s (q v p) ^ (r v s ) v ( q ^ r ) 19

Ejercicio • Sabiendo que (p v q ) ^ ( p ^ s) es verdadera indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen 20

Ejercicio • Sabiendo que ( p ^ q ) v ( p v q ) es falsa indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen 21

Proposiciones moleculares • Según su valor de verdad pueden ser – Tautología – Contradicción – Contingencia 22

Tautología • Una proposición compuesta o molecular es una tautología si es cierta, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. • Ejemplo: p v p 23

Contradicción • Una proposición compuesta o molecular es una contradicción si es falsa, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. • Ejemplo: p ^ p 24

Contingencia • Se dice que una proposición compuesta o molecular es una contingencia si al construir la tabla de verdad el resultado final que se obtiene, es una combinación valores de verdaderos y falsos. • Ejemplo: p ^ q 25

Ejercicios Formaliza las siguientes proposiciones: No es cierto que no me guste bailar Me gusta bailar y leer libros de ciencia-ficción. Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos. Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre. Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un energúmeno. Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico. Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar. • • ¿Cuáles de estas proposiciones es una tautología? ¿Puedes construir una contradicción a partir de alguna de ellas? ¿Cuál? 26

Equivalencia Lógica • Se dice que dos formulas lógicas son equivalentes si poseen los mismos valores de verdad (para los mismos valores de verdad de sus variables) • Ejemplo: (p q) p q 27

(p. Ejemplo: q) p q pvq (p q) V V V F V F F V p q p q V V F F F V V F F V V V 28

Leyes de De Morgan • La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones de las proposiciones involucradas. (p q) p q • La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones de las proposiciones involucradas. (p q) p q 29

Proposición condicional • Dadas dos proposiciones p y q, la proposición "si p entonces q" se llama proposición condicional y se escribe p q donde p es llamada antecedente o hipótesis, y q consecuente o tesis. 30

Proposición condicional • Ejemplo: Si resolvemos las guías de trabajos prácticos entonces aprenderemos matemática p = "resolvemos las guías de trabajos prácticos " q = "aprenderemos matemática" Simbolizando: p q 31

Proposición condicional • Ejemplo: Si vamos a la fiesta entonces no nos acostaremos temprano p = "vamos a la fiesta" q = "nos acostaremos temprano" Simbolizando: p q 32

Tabla de verdad del condicional p q V V V F F F F V La implicación de p a q es falsa únicamente en el caso de que el antecedente p sea verdadero y que el consecuente q sea falso 33

Proposición Condicional • Existen distintas formas de leer un condicional: – “Si p entonces q”. – “q es una condición necesaria para p” – “p es una condición suficiente para q”. 34

Distintas formas de indicar una proposición condicional • Ejemplo: p : El entero x es múltiplo de 4 q : El entero x es par – Si el entero x es múltiplo de 4, entonces es par – Que el entero x sea múltiplo de 4 es suficiente para que sea par – Que el entero x sea par es necesario para que sea múltiplo de 4. 35

Proposición condicional • La contra positiva de la proposición condicional p q es la proposición q p • Muestre la equivalencia lógica: p q q p 36

Proposición bicondicional p V V F F q V F p q V F F V • Observando la tabla notamos que el bicondicional distingue si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, o valores de verdad distintos. 37

p q (p q) ^ (q p) p q q p (p q) ^ (q p) V V V F F V V V 38

1) Halla los valores de verdad de las proposiciones si sabes que p q es falsa. a) p q b) q p c) p p d) p q Piensa un rato y justifica tus respuestas 2) Halla los valores de verdad de p, q, r, s, t para que (p q) r (s t) sea falsa 3) Construye una tabla de verdad para cada una de las proposiciones a) ( p q ) q b) ( p q ) c) q ( p q) 39