PROPAGAZIONE IN FIBRA OTTICA IN REGIME NON LINEARE

PROPAGAZIONE IN REGIME NON LINEARE L’analisi teorica della propagazione non lineare in fibra ottica si presenta estremamente complessa, se affrontata analiticamente; d’altronde, solo un approccio analitico consente di modellare efficacemente i fenomeni e di prevederne, almeno in prima approssimazione, gli effetti. L’analisi che segue fa esplicitamente riferimento alla propagazione di un’onda elettromagnetica piana in un mezzo dispersivo non lineare; le variazioni dell’indice di rifrazione nel core e nel cladding, che pure sono responsabili dell’effetto guidante e della dispersione di guida, sono riconsiderate in una equivalente variazione dell’indice di rifrazione (tacitamente supposto invariante rispetto alle coordinate spaziali) in funzione della sola lunghezza d’onda, ovvero la dispersione cromatica è attribuita alla sola dispersione (equivalente) di materiale, attribuzione di fatto facilitata dall’essere la trasmissione a banda (molto) stretta. Le variazioni dell’indice di rifrazione dovute alla non linearità sono, inoltre, trascurabilmente influenzate dalle (molto) piccole variazioni dell’indice di rifrazione all’interno della fibra.

Equazioni di Maxwell per le fibre ottiche Le fibre ottiche sono di silice leggermente drogata pertanto, essendo il materiale non magnetico e non essendo presenti cariche libere (r = 0, = 0), le equazioni di Maxwell e le relazioni costitutive assumono la forma

Equazione delle onde per le fibre ottiche Applicando l’operatore rotore alla prima delle precedenti equazioni ed inserendovi la seconda, nell’ipotesi che (derivante dall’essere (r) = 0, essendo il mezzo omogeneo, come già detto), si ottiene, relativamente al campo elettrico, Il vettore polarizzazione elettrica è una funzione vettoriale di e, nell’ipotesi che il sistema sia senza memoria, ovvero che in un certo istante e in una certa posizione spaziale dipenda solo da in quello stesso istante e in quello stesso punto, il suo sviluppo in serie fino al terz’ordine può essere espresso nella forma

Vettore polarizzazione elettrica Nella precedente relazione, il tensore suscettibilità dielettrica di ordine i, c(i) è una matrice 3 x 3 i. Inoltre, l’operatore “·” indica il prodotto matriciale mentre “ ” il prodotto tensoriale (prodotto di Kronecker) tra matrici (nel caso in esame, essendo una matrice 3 x 1, è una matrice 9 x 1). Dato che la molecola di silice è simmetrica, nelle fibre ottiche il tensore c(2) è identicamente nullo. Pertanto, per valori del campo elettrico sufficientemente elevati, è necessario caratterizzare il mezzo oltre che con la suscettività lineare c(1), anche con il termine non lineare del terz’ordine c(3), da cui derivano tutti i fenomeni non lineari di tipo Kerr. In base alla notazione di Einstein ( ), la componente iesima del vettore , funzione delle tre componenti i, j e k di , può essere espressa dalla relazione

Vettore polarizzazione elettrica (parte lineare) Nel caso più generale di mezzo spazialmente e temporalmente dispersivo, la parte lineare di assume la forma Nelle ipotesi, stabilite all’inizio o valide comunque per le fibre ottiche, che il mezzo sia omogeneo, stazionario e spazialmente non dispersivo, la precedente relazione si semplifica nella seguente in cui c(1) non dipende più da , avendo supposto il mezzo omogeneo.

Vettore polarizzazione elettrica (parte lineare) Nella solita ipotesi di mezzo isotropo, il tensore c(1) assume la forma di una matrice diagonale, con termini tutti uguali pertanto, la generica componente i-esima del vettore espressa nella forma ovvero, passando nel dominio della frequenza, risulta

Vettore polarizzazione elettrica (parte non lineare) Una trattazione simile alla precedente permette di ottenere la relazione generale, che lega ad , nel caso in cui si considerino gli effetti non lineari dovuti a c(3). Nell’ ipotesi di mezzo omogeneo, stazionario, spazialmente e temporalmente non dispersivo si ha, per il termine non lineare di , la cui i-esima componente, nella notazione di Einstein, è data, come già visto, dalla relazione

Vettore polarizzazione elettrica Pertanto, nell’ipotesi di mezzo isotropo, con comportamento lineare temporalmente dispersivo e con comportamento non lineare istantaneo (condizione verificata per impulsi di durata maggiore di qualche fs), la componente i-esima del vettore polarizzazione risulta espressa dalla relazione

Vettore polarizzazione elettrica Se si suppone che il campo elettrico sia polarizzato linearmente, ad esempio lungo l’asse x (quindi, con Ey=Ez=0), la relazione precedente può essere semplificata nella forma seguente, relazione molto utile al fine di analizzare il fenomeno della propagazione non lineare in fibra ottica. Si osservi, tuttavia, che, a rigore, tale espressione risulta accettabile nel caso di una fibra con birifrangenza trascurabile, condizione che permetterebbe di scegliere un sistema di riferimento in cui abbia non nulla la sola componente x. In realtà, una tale rotazione del sistema di riferimento non è possibile nel caso generale di fibra birifrangente, poiché i valori cijkl del tensore suscettibilità sono definiti proprio sulla base degli assi principali della fibra.

Vettore polarizzazione elettrica Tuttavia, un’analisi rigorosa, basata sulla determinazione degli assi principali della fibra i quali, come noto, variano in maniera aleatoria lungo il collegamento ottico, è di tale complessità che si preferisce, di norma, un approccio di tipo fenomenologico relativamente alla birifrangenza. In ogni caso, la precedente espressione può essere utilizzata ai fini dell’analisi dell’effetto Kerr senza sostanziale perdita di generalità. Inoltre, nel caso in cui il campo risulti dalla sovrapposizione di più campi differenti (sistemi WDM), la relazione precedente risulta comunque una valida semplificazione per lo studio degli effetti non lineari, dato che una diversa polarizzazione dei vari canali ottici riduce l’efficienza dell’interazione non lineare tra i canali stessi, riduzione di efficienza che può essere quantificata mediante l’introduzione di opportuni coefficienti, ottenibili mediante modelli ormai ben consolidati e confermati da risultati sperimentali.

Equazione delle onde in regime non lineare Se si inserisce l’espressione di nella equazione si perviene ad una equazione integro-differenziale che può essere risolta solo in casi particolari (assenza di dispersione). Se si passa nel dominio della frequenza, risulta espresso da avendo indicato con l’operazione di convoluzione e posto, per semplicità, cx(3)=cxxxx.

Equazione delle onde in regime non lineare Pertanto, trasformando secondo Fourier la precedente equazione delle onde, proiettata lungo l’asse x e tenendo conto della espressione di Px, si ottiene avendo posto 0 m 0=1/c 2 e, relativamente all’indice di rifrazione del mezzo,

Equazione delle onde in regime non lineare Se proviamo a cercare una soluzione della precedente equazione non lineare mediante separazione di variabili, nella classica forma, ove F(x, y) è il profilo trasverso del campo e. m. nella fibra, E(z, t) è la funzione che descrive il profilo temporale e la propagazione lungo la direzione z, avendo indicato con A(z, t) l’inviluppo complesso del campo, con w 0 la frequenza angolare centrale della sorgente ottica, con b 0=b(w 0)= w 0 n(w 0)/c la costante di propagazione, e con c. c. il complesso coniugato, passando nel dominio della frequenza, in cui si ottiene, per l’equazione non lineare, rimuovendo (come detto all’inizio) la dipendenza dalle coordinate (x, y), la seguente espressione

Equazione delle onde in regime non lineare A causa della presenza dell’ultimo addendo, che tiene conto degli effetti non lineari di tipo Kerr, la precedente equazione non è risolubile mediante separazione di variabili. Pertanto, è necessario adottare metodi approssimati, seppure molto accurati, per determinare l’espressione di A(z, t). Tali metodi (Agrawal, Marcuse) si basano sull’ipotesi che l’effetto di dispersione temporale agisca sul campo propagante in maniera indipendente da quelli non lineari, così da poter “sovrapporre” la relazione determinata nel caso lineare, temporalmente dispersivo, con quella riferita al caso non lineare, temporalmente non dispersivo. Tale approccio permette di ottenere un’unica equazione per A(z, t), che tiene conto di entrambi gli effetti.

Mezzo lineare, temporalmente dispersivo L’ipotesi di mezzo lineare, temporalmente dispersivo porta all’equazione scalare che può essere risolta mediante separazione di variabili. Dividendola in due equazioni separate mediante l’introduzione della costante di propagazione b(w) , dopo aver sviluppato questa in serie di Taylor e trascurato 2 A/ z 2 rispetto a b 0 A/ z (A è “lentamente variabile”), si perviene all’equazione lineare per l’inviluppo complesso A(z, t), data da con bi = ib(w)/ w i |w = w 0. In assenza di dispersione, b 2 = b 3 = 0, la soluzione assume la forma A(z, t) = G(t -b 1 z) = G(t -z/vg), avendo introdotto un impulso di forma arbitraria G( ) che si propaga senza distorsione nella direzione delle z crescenti, con velocità di gruppo vg=(b 1)-1.

Mezzo lineare, temporalmente dispersivo Per tener conto dell’attenuazione della fibra ottica, nella precedente equazione si consideri il termine di fase relativo al campo E(z, t) avendo introdotto il coefficiente di attenuazione a =2 n. I(w 0) w 0 /c, dipendente dalla parte immaginaria dell’indice di rifrazione n(w). L’equazione delle onde proiettata lungo x assume quindi la forma avendo trascurato n. I 2 rispetto ad n. R 2 (tipicamente, n. I<<n. R ); dalla relazione precedente si ottiene l’equazione lineare relativa all’inviluppo complesso

Mezzo non lineare, temporalmente non dispersivo In questo caso, l’ipotesi di mezzo temporalmente non dispersivo comporta che la componente lineare del vettore di polarizzazione risulti , pertanto, proiettando l’equazione delle onde lungo la direzione x si ottiene in cui n 0 = n. R(w 0 ) e . Non essendo più presente l’operazione di convoluzione nell’espressione di , si prova ad inserire nella precedente equazione delle onde una soluzione a variabili separate del classico tipo che fornisce l’espressione

Mezzo nonlineare, temporalmente non dispersivo avendo posto Trascurando le derivate seconde temporali e spaziali in z, ovvero e ricordando che mediato sul piano trasverso (x, y), , si ottiene, dopo aver

Mezzo nonlineare, temporalmente non dispersivo in cui si è posto b 0 w 0 n 0/c, b 1=1/vg n 0/c, e Se si adotta una normalizzazione tale che < F 2 > = 1 e ci si pone in un sistema di riferimento che si sposta con la velocità di gruppo vg=1/b 1 , si ottiene dalla relazione precedente

Mezzo nonlineare, temporalmente non dispersivo Per evitare i termini c. c. , si può assumere per PNL(z, t) l’espressione così da ottenere due distinte equazioni, una con A(z, t) e QNL(z, t), l’altra con A*(z, t) e QNL*(z, t). Per quanto riguarda la prima si ha Se si calcola la trasformata di Fourier della precedente e si assume w w 0 , ipotizzando che A(z, w - w 0 ) sia a spettro stretto (w - w 0<< w 0) , si ottiene

Mezzo non lineare, temporalmente non dispersivo Ricordando che ed assumendo la solita espressione si ottiene per QNL(z, t) , in cui si è posto c 3=3/4 cx(3) , e si è eliminato il secondo termine poiché associato ad armoniche di ordine superiore.

Mezzo non lineare, temporalmente non dispersivo Antitrasformando la precedente equazione differenziale riferita ad A(z, w -w 0 ) ed inserendo l’espressione di QNL(z, t) si perviene all’espressione finale dell’equazione dell’inviluppo A(z, t), relativamente ad un mezzo non lineare, temporalmente non dispersivo, in cui Un’analoga equazione sussiste ovviamente per A*(z , t).

Equazione di Schrödinger non lineare Nella trattazione precedente sono state determinate le equazioni per l’inviluppo A(z, t) nei due casi particolari in cui sia presente o solo la dispersione temporale o solo la non linerità (effetto Kerr). Ciò è dovuto al fatto che non si riesce a risolvere analiticamente l’equazione completa nel caso in cui si considerino contemporaneamente entrambi gli effetti. Se si ipotizza che gli effetti di dispersione agiscano sul campo ottico propagante in maniera indipendente da quelli non lineari, si può pensare di “sovrapporre” i due risultati così da ottenere un’unica equazione per A(z, t), denominata equazione non lineare di propagazione per l’inviluppo del campo (equazione di Schrödinger non lineare)

Equazione di Schrödinger non lineare Per quanto riguarda le ipotesi alla base della precedente equazione, si osservi che l’effetto della non linearità sulla dispersione è trascurabile per impulsi di durata superiore a 1 ps. La equazione di propagazione non lineare è stata ottenuta anche con altri metodi (tecniche perturbative, sviluppo in serie di Taylor della costante di propagazione b(w) ), che risultano però piuttosto complessi dal punto di vista analitico. Si osservi infine che alcuni autori (Agrawal) riportano l’equazione nella forma in cui

Equazione di Schrödinger nonlineare - il segno invertito davanti al coefficiente dell’immaginario j è dovuto ad una diversa convenzione nella definizione della trasformata di Fourier; - il coefficiente non lineare g è definito dalla relazione in cui N 2 [m 2/W] è un parametro di non linearità (indice di rifrazione non lineare), definito dalla relazione (effetto Kerr) che rappresenta, in questo diverso formalismo, la duale della seguente espressione, adottata nella precedente trattazione,

Equazione di Schrödinger non lineare Si osservi che tra i due coefficienti vale la relazione in cui Z=(m/ )1/2 [W ] è l’impedenza caratteristica del mezzo. Nella seguente tabella sono riportati i valori tipici di alcuni importanti parametri per diversi tipi di fibra (Standard Mode Fibre, SMF; Non. Zero Dispersion Fibre, NZDF; Dispersion Compensating Fibre, DCF). Tipo di fibra Aeff[mm 2] N 2[m 2/W] g [W-1 km-1] SMF NZDF DCF 65 -80 50 -60 22 -30 2. 7 10 -20 5 -7 10 -20 1. 36 -1. 67 1. 8 -2. 2 7 -10

Equazione di Schrödinger non lineare: soluzione solitonica L’esistenza di SOLITONI in fibra ottica è il risultato di un bilanciamento tra la dispersione della velocità di gruppo (Group Velocity Dispersion, GVD) ed il fenomeno non lineare Self-Phase Modulation (SPM). Per determinare la soluzione solitonica consideriamo l’equazione di propagazione non lineare nella seconda forma precedentemente introdotta (Agrawal) e trascuriamo, per semplicità di analisi, il termine di attenuazione e quello dipendente da b 3, in cui

Equazione di Schrödinger non lineare: soluzione solitonica Se ci si pone in un sistema di riferimento solidale con la velocità di gruppo e si adottano le seguenti posizioni: t = t/T 0 , x = z/LD , U=A/ P 0 , in cui T 0 è la durata dell’impulso, P 0 la potenza di picco ed LD= T 02/| b 2| la lunghezza di dispersione, si ottiene in cui N 2 = g P 0 LD=g P 0 T 02/ | b 2| e

Equazione di Schrödinger non lineare: soluzione solitonica L’equazione non lineare in U può essere risolta mediante un metodo matematico denominato INVERSE SCATTERING METHOD. Anche se soluzioni di tipo solitonico si ottengono sia in regime NORMALE (dark soliton) che in regime ANOMALO (bright soliton), sono di interesse gli impulsi solitonici generati in REGIME ANOMALO (b 2< 0), pertanto Soluzioni solitoniche esistono per valori interi di N, che definisce l’ordine del solitone.

Equazione di Schrödinger non lineare: soluzione solitonica Se viene lanciato in fibra un impulso di ampiezza iniziale la forma dell’impulso NON cambia durante la propagazione per N=1 mentre, per N >1 la forma dell’impulso d’ingresso è “recuperata” per x = mp/2 (m intero). Poiché x=z/LD , si definisce il PERIODO DEL SOLITONE z 0

Equazione di Schrödinger nonlineare: soluzione solitonica Nel caso del solitone fondamentale (N=1), si può determinare la soluzione dell’equazione nella forma U(x, t) = V(t ) e jf , con f = f(x). Si ottiene Ponendo df/dx = K e quindi f(x) = Kx ,

Equazione di Schrödinger non lineare: soluzione solitonica Moltiplicando nella precedente ambo i membri per 2(d. V/dt) si ottiene per cui, integrando rispetto a t , in cui la costante C si ottiene imponendo le condizioni V 0 per t e d. V/dt 0 per t , cosicché C = 0. Inoltre, per determinare K si pone V = 1 per t = 0 (picco del solitone normalizzato), e d. V/dt = 0 per t = 0 , ottenendo così K=1/2.

Equazione di Schrödinger non lineare: soluzione solitonica Pertanto, essendo f(x) = Kx = x/2 e C = 0 , se si integra l’equazione si ottiene la soluzione da cui il SOLITONE FONDAMENTALE