Projets suivis interactifs Partage dexprience 2009 2010 Benot

Projets suivis interactifs Partage d’expérience 2009 -2010 Benoît Ray Viviane Durand-Guerrier Université d’été de mathématiques de Saint-Flour 23 -26 août 2010

Projets suivis interactifs Plan de l’atelier Présentation générale du dispositif Travail sur trois sujets Extraits de productions d’élèves ; débat Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Genèse Les pratiques existantes de résolution de problèmes : • Problème ouvert, problèmes longs, EXPRIME (IREM de Lyon) • Résolution collaborative, Res. Co (IREM de Montpellier) • Maths en Jeans, laboratoires de mathématiques, Hippocampe (IREM de Marseille) • Concours divers (Olympiades, Kangourou, MSF) Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Genèse (2) Points de convergence/divergence : • organisation temporelle, durée • type de participation (désignés/volontaires) • équilibre du travail groupes/collectif • nature des comptes-rendus (affiches, synthèses…) • rôle du professeur, rôle du ou des chercheurs Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Genèse (3) Des questions liées à la pratique quotidienne • Comment rendre les « devoirs à la maison » plus efficaces (attractivité, densité) ? • Comment introduire des éléments de différenciation dans les travaux hors-classe ? • Comment faire réfléchir les élèves sur leurs erreurs, en modifier le statut ? • Quelles modalités de suivi mettre en place ? Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Genèse (4) Quelles modalités pour un travail hors-classe ? • sujets ambitieux • dimension temporelle • prise en compte des aspirations individuelles • prolonger les actions d’étayage • décourager l’autocensure • valoriser la prise d'initiative, le travail d'équipe • intégrer les TICE pour travailler et communiquer • organiser une communication scientifique Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Modalités de mise en place Histoire singulière de la classe au début des projets : problèmes ouverts, travaux de recherche en groupes, NR, Res. Co, débats, communication par mail Composition des groupes par les élèves : groupes de 3 élèves, classe PCL/LV 3, hétérogénéité Répartition des sujets par le professeur : goûts personnels, orientation souhaitée Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Un premier exemple (fiche élève) Les « projets suivis interactifs » sont des travaux effectués par des élèves réunis en groupes de trois élèves. Ces projets sont effectués en dehors du temps scolaire. Ils sont basés sur un principe d’échange entre les groupes et le professeur. Ces échanges permettent de franchir les obstacles, de guider les élèves dans leurs recherches ou d’approfondir le thème d’étude : chaque sujet est évolutif et comporte une question de départ, à laquelle s’ajouteront des questions d’approfondissement ou des indications en fonction du travail effectué par le groupe. Selon leur nature, ces travaux peuvent être conclus par un dossier et/ou un exposé en classe. Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Un premier exemple (fiche élève) (2) Il n’est pas demandé de narration de recherche, mais toutes les étapes de la recherche doivent apparaître clairement. On évitera en particulier de fournir des réponses non argumentées. L’évaluation de ces projets sera basée sur l’investissement des élèves, la richesse des recherches, la qualité de la rédaction, la prise d’initiative et l’aptitude à prendre en compte les conseils. Chaque élève du groupe doit participer à l’ensemble de la recherche et pourra être interrogé sur toutes les phases du travail. Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Un premier exemple (fiche élève) (3) Les monnaies légendaires des Atlantes Dans le mythique monde de l’Atlantide, englouti pendant la pré-antiquité, l’orichalque avait fait la richesse des légendaires Atlantes comme l’étain fit celle des Phéniciens. Par respect pour ce curieux métal, les Atlantes avaient nommé leur monnaie Orichalque (abréviation ). Très superstitieux, les Atlantes n’utilisaient que les pièces de 7 et 13 … Ce système permet-il de payer n’importe quel prix ? Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Modalités de suivi et d’interaction Des échanges de plusieurs types : • échanges anticipés à dates fixées (écrits, restitution des travaux, relance), principe de variabilité temporelle, 4 à 7 échanges par groupe • échanges en classe hebdomadaires (oraux/écrits, guidage, relance, vérification du travail) • échanges par mails ou en classe (à l’initiative des élèves) Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Modalités de suivi et d’interaction (2) Des échanges à objectifs multiples : • réglage de détails techniques, organisationnels • guidage, recadrage (étayage, pistes de recherche…) • pointage d’erreurs • approfondissements, généralisation Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Modalités d’évaluation • contenu des échanges imposés • moments d’échange en classe • note chiffrée avec partage de points • la synthèse et l’exposé, éléments de valorisation Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Bilan d’expérience • respect du calendrier (rappels hebdomadaires) • échanges par mail (ou demandes orales) spontanés et efficaces, appréciés des élèves • sur 11 sujets : 9 projets aboutis dont 5 travaux de grande qualité, 3 synthèses, 2 exposés, 1 échec complet, 1 échec partiel, 1 projet-plagiat • limites liées à l’investissement individuel, idée du cahier de recherche • problème de l’investissement pour le suivi Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Travail sur trois sujets Nous vous proposons de prendre connaissance des ces trois sujets et des travailler en petit groupe afin de répondre aux questions cidessous : 1. Quelles compétences liées à la démarche d’investigation chacun de ces projets devraient-ils permettre selon vous de travailler ? 2. Quelles connaissances mathématiques sont susceptibles d’être mises en œuvre par des élèves de seconde (fin du second trimestre) et à quelles difficultés peuvent-ils être confrontés ? 3. Quels développements proposeriez-vous pour ces trois projets ? 4. Suite à la brève présentation qui en a été faite, quels sont selon vous a priori les points forts et les points faibles de ce dispositif par rapport à d’autres dispositifs que vous connaissez ? Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Productions d’élèves 3 types de productions : • échanges écrits • pour certains groupes, exposé en classe • pour des travaux particulièrement aboutis, synthèse destinée à être publiée Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Echanges écrits : les oranges d’Abou Samir 1 Combien d’oranges comporte une pyramide à 5 étages ? à 8 étages ? à 10 étages ? 2 Sur le marché de Saïda, Abou Samir a ce matin 2 010 oranges à vendre. Comment doit-il procéder pour former la pyramide la plus haute possible ? S’il lui reste des oranges, peut-il les disposer en plus petites pyramides ? 3 Combien d’oranges comporte une pyramide à 2 010 étages ? à 1 000 étages ? 4 Les oranges sont bien calibrées et ont toutes la forme d’une sphère de rayon 5 cm. Quelle est la hauteur d’une pyramide à 5 étages ? Quelle est la hauteur de la pyramide de la photo ? Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

1 Combien d’oranges comporte une pyramide à 5 étages ? à 8 étages ? à 10 étages ? Pour une pyramide à 5 étages, le nombre d’orange est tel que : 5² + 4² + 3² +2² + 1² = 55 Pour 8 étages, on prend le nombre d’oranges utilisées pour une pyramide de 5 et on y ajoute 6², 7², 8² : 8² + 7² + 6² + 55 = 204 oranges. On fait de même pour 10 étages : 10² + 9² + 204 = 385 oranges. Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

2 Sur le marché de Saïda, Abou Samir a ce matin 2 010 oranges à vendre. Comment doit-il procéder pour former la pyramide la plus haute possible ? S’il lui reste des oranges, peut-il les disposer en plus petites pyramides ? Par tâtonnement : on ne connaît pas le nombre d’étages donc on compte à partir du sommet. Grâce à la question 1, on peut déjà démarrer à partir de 10 étages. On fait une pyramide de 17 étages (1785 R) donc : il reste 2010 – 1785 = 225 oranges On fait une pyramide de 8 étages (204 R) donc il reste 225 – 204 = 21 oranges On fait une pyramide de 3 étages (14 R) donc il reste 21 – 14 = 7 oranges On fait une pyramide de 2 étages (5 R) donc il reste 7 – 5 = 2 oranges On ne peut plus faire de pyramide. Il reste donc 2 oranges au final. Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Nombre d’étages Nombre d’oranges 10 385 11 506 12 650 13 819 14 1015 15 1240 16 1496 17 1785 18 2109 Projets suivis interactifs + (n+1)²

3 Combien d’oranges comporte une pyramide à 2 010 étages ? à 1 000 étages ? En module, nous avons découvert un logiciel pour algorithmes : Algobox. Dans les exercices de notre TP, il y avait l’algorithme du calcul de (1²+2²+3²+4²+…+N²). Pour une pyramide de 2010 étages, on peut avoir une approximation du nombre d’oranges : selon Algobox, il faudrait 2, 7088874 x 109 oranges pour une pyramide de 2010 étages. Bien sûr, ce logiciel est limité et ne marche pas pour 1 million d’étage. Pour l’instant, cela reste en suspens. Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

4 Les oranges sont bien calibrées et ont toutes la forme d’une sphère de rayon 5 cm. Quelle est la hauteur d’une pyramide à 5 étages ? Quelle est la hauteur de la pyramide de la photo ? Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

(idem pour 10 étages) Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Mêmes questions. . . Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Mêmes questions. . . (…) Viviane Durand-Guerrier (…) Benoît Ray Projets suivis interactifs

Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

(…) Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

5. Dans le début de la recherche, vous avez tenté de trouver une formule donnant le nombre d’oranges en fonction du nombre d’étages : reprenez ce travail en commençant par une courbe, puis tentez de voir s’il ne s’agirait pas de la représentation graphique d’une fonction connue… Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

(…) Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

(…) Nous avons testé avec tous les points du tableau et cela fonctionne. Cette équation est vraie pour tous les points appartenant à cette courbe. On peut maintenant trouver le nombre d'orange nécessaire en fonction du nombre d'étages de la pyramide. Par exemple, pour 1 000 d’étages : Y = 1 0003 + 1 0002 + 1 000 Y = 5, 000005 x 1017 Pour 1 000 d’étages, nous avons donc 5, 000005 x 1017 oranges. Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Synthèse : perdus dans le désert ? Un groupe de touristes qui faisait une balade dans le désert s’est égaré et se retrouve, à midi, en plein milieu d’une zone rocailleuse difficile. Le point sur la position a cependant pu être fait et le groupe sait où il se trouve, ainsi que la ville qu’il devait rallier et une route qui y mène. La voiture consomme 12 L / 100 km sur route et deux fois plus dans la rocaille, et ses vitesses respectives sur ces sols sont de 80 km / h et 30 km / h. 1 Il reste 40 L d’essence dans le réservoir. Qu’en pensez-vous ? 2 40 litres d’essence suffisent à rallier la ville, mais quels sont tous les chemins possibles ? Quel est le plus sûr, le plus confortable ? 3 Mêmes questions en faisant intervenir une fonction. Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

1 Il reste 40 L d’essence dans le réservoir. Qu’en pensez-vous ? Nous avons calculé le chemin le plus court grâce au théorème de Pythagore : l'hypoténuse serait le plus court chemin. hypoténuse² = 100² + 150² donc hypoténuse = 180, 28 km Ensuite, nous avons étudié le cas où les touristes n'auraient roulé que sur la zone rocailleuse (au pire) car si les touristes arrivent à bon port dans ces conditions, ils peuvent y arriver avec n'importe quelle autre. Nous avons donc calculé le temps qu'ils auraient mis et leur consommation pour ce cas-là, à l'aide de produits en croix. consommation = 24 L au 100 km donc pour 180, 28 km, ils consommeraient = (24 180, 28)/100 = 43, 28 La voiture n'ayant que 40 L d'essence, ne pourrait y parvenir. temps = 30 km pour 1 h donc pour 180, 28 km ils auraient mis 180, 28/30 = 6, 01 h Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Pour terminer notre étude, il faudrait savoir combien de kilomètres rocailleux contient la route. On pourrait ainsi calculer pour 50% de chemin rocailleux et de chemin normal. Ainsi qu'avec 3/4 et 1/4, mais on pourrait juste donner plusieurs solutions. Peut-être est-ce ça qu'ils attendent ? Ou faut-il calculer pour 40 L d'essence exactement pas 1 L de moins ? Faut-il donner un intervalle comprenant tous les résultats possibles ? Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

2 40 litres d’essence suffisent à rallier la ville, mais quels sont tous les chemins possibles ? Quel est le plus sûr, le plus confortable ? On a calculé le nombre de litres d'essence consommés en se rapprochant de 40 L en fonction de la distance de la zone rocailleuse et celle de la zone sur route : (distance rocailleuse consommation) + (distance route consommation) = nombre de litres consommés au total Les voyageurs arrivent à destination avec 40 L dans le réservoir si la zone plate est comprise entre 27, 2266 et 27, 227 km. Nous avons fait des recherches par tâtonnement mais nous n'avons pas réussi à trouver 40 L exactement. Mais prend-on en compte les x, 00008 ? ou x, 00002 ? Grâce au graphique, on aurait pu trouver une fonction ou le maximum de la courbe, lorsqu'elle dépasse 40 L. Doit-on tenir compte du temps ? Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

3 Mêmes questions en faisant intervenir une fonction Pour faire intervenir une fonction, nous allons noter "X" la valeur de route plate en moins. Donc pour la route plate, cela se note 150 X. On va utiliser Pythagore, ce qui donne : hypoténuse = 100 X 150 - X Avec cette expression, on a la valeur du trajet en kilomètres, or on veut sa consommation en litres. Il suffit d'ajouter la consommation correspondante à chaque expression, la fonction ainsi exprimée est : On décide tout d'abord de tracer cette fonction. On trace ensuite la droite d'expression y = 40, pour donner ainsi tous les chemins possibles en ayant 40 L d'essence. On peut donc dire à partir du graphique tous les chemins possibles sont compris dans [22 ; 101, 2]. Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Concernant le chemin le plus sûr (où l'on utilise le moins de carburant), on va cher la valeur minimale de la courbe, ici pour X = 57 et X = 58 la consommation est de 38, 785 L (valeur exacte du tableau de données de la calculatrice). Pour le chemin le plus confortable (où il y a le maximum de route plate possible), il faut un chemin où il y a le plus de route plate, autant dire lorsque X est minimum tout en étant inférieur à 40 L de consommation. C'est donc pour X = 22. Finalement, attendent-ils d'avoir le chemin le plus sûr, le plus confortable ou veulent-ils le chemin le plus court ? Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Annexes Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Répartition des sujets Intitulé Type de groupe 1 Perdus dans le désert 2 Effectif PCL 3 Tempête sur l’échiquier mixte 3 3 Triangles à côtés entiers PCL 3 4 Les supporters LV 3 3 5 Les oranges d’Abou Samir PCL 3 6 Nombres premiers (1) PCL 2 7 Nombres premiers (2) PCL 3 8 Alice et Bob mixte 3 9 Les monnaies des Atlantes PCL 3 10 Les chiffres arabes LV 3 2 11 Etudes statistiques LV 3 4 Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Problèmes techniques et organisationnels Quelquestions par e-mail : • Bonsoir monsieur , C’est Jenny et Eva , on ne souvient pas comment il faut faire quand dans le graphique quand les chiffres des abscisses sont 1 a la place de 0 , et 2 a la place de 1 ect. . comment fait on pour changer ? merci d'avance • Désolé de vous déranger, mais pour le DM en groupe on a un petit souci, Emma est coincée en Tunisie jusqu'à demain (vendredi). Normalement elle aurait dû revenir en début de semaine et on se serait vu dans le même temps […] Est-ce qu'il serait possible d'avoir un peu plus de temps ? Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Problèmes techniques et organisationnels (sujet : recherche des plus petits nombres jumeaux supérieurs à 100 000) On a réussi à créer un algorithme mais les capacités du logiciel sont assez restreintes. Il y a trop de boucle en gros. L' algorithme est assez simple, c'est le même que pour les premiers liés mais au lieu de n allant de 2 à 1000, on a 100000 à 200000 (d'où l'excès de boucles) puis ensuite au lieu de prendre k<---n+4 on met k<----n+2 Voilà mais on n'arrive tout de même pas à afficher les 2 premiers nombres premiers jumeau supérieurs à 100000. . . Dans Algobox, les boucles sont limitées à un total de 1 000 d’itérations. Votre algorithme testant la primalité peut être allégé : il n’est pas indispensable de cher des diviseurs jusqu’à n, on peut arrêter avant (où ? pourquoi ? ). De plus, vous cherchez des jumeaux de 100 000 à 200 000 ! Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Guidage (sujet : recherche d’un algorithme de test de primalité) Sengdao et moi n'avons trouvé que cet algorithme. On a remarqué qu'il ne donnait pas que les nombres premiers. Comme la première phase du devoir est indispensable pour faire la deuxième, je ne sais pas si on pourra vous rendre la phase 2 à temps. Dans votre algorithme, vous demandez l'affichage de i lorsque i divise n : votre algorithme donne donc la liste des diviseurs de l'entier n (entre 2 et n). A la fin, il faudrait afficher un message ("n est premier" ou "n n'est pas premier") après avoir vérifié que n n'est divisible par aucun entier i. N'oubliez jamais de faire "tourner" votre algorithme "à la main" pour être sûr de ce qu'il fait. . . Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Guidage Travail demandé : Déterminer le nombre de triangles de périmètre 2010 dont les côtés sont des nombres entiers (cas des périmètres 15 et 100 traités auparavant). Constat : La grandeur de 2010 ne permet pas de traiter ce cas à la main. Il faudrait faire un algorithme, mais on ne voit pas comment procéder. Proposition : • Ecrivez un algorithme permettant de compter le nombre de décompositions différentes d’un entier sous la forme de la somme de trois entiers. • En procédant comme dans la première phase, déduisez-en un algorithme permettant de compter le nombre de triangles de périmètre 2010. Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs

Pointage d’erreurs Sujet : Triangles à côtés entiers Combien existe-t-il de triangles de périmètre 25, dont les côtés sont des nombres entiers ? Pour chaque valeur jusqu’à 23 on a fait toutes les combinaisons possibles pour arriver à 25 : … … Viviane Durand-Guerrier … … Benoît Ray Pour être vraiment convaincants, tentez de construire le premier des triangles que vous décrivez… Projets suivis interactifs

Approfondissement, généralisation Travail réalisé au préalable : Nombre de triangles à côtés entiers de périmètre 25, puis 100. Proposition d’approfondissement : Déterminer le nombre de triangles de périmètre 2010 dont les côtés sont des nombres entiers. Proposition de généralisation : Utilisez la représentation graphique possible d’Algobox pour représenter le nombre de triangles de périmètre n en fonction de n. Que ce graphique semble-t-il suggérer ? Approfondissez. Viviane Durand-Guerrier Benoît Ray Projets suivis interactifs