Projeto Ensinar Matemtica nas sries iniciais CENP SEESP

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Projeto: Ensinar Matemática nas séries iniciais CENP - SEESP 1

Projeto: Ensinar Matemática nas séries iniciais CENP - SEESP 1

Tema 5 – Unidade 5. 4 Matemática 2

Tema 5 – Unidade 5. 4 Matemática 2

O cálculo e suas novas demandas 3

O cálculo e suas novas demandas 3

Pauta • Cálculo mental e escrito • Cálculo exato e aproximado • Compreensão das

Pauta • Cálculo mental e escrito • Cálculo exato e aproximado • Compreensão das técnicas operatórias • Uso de materiais nas operações • Demandas atuais 4

Objetivos • Refletir sobre a importância da utilização de diferentes tipos de cálculo: cálculo

Objetivos • Refletir sobre a importância da utilização de diferentes tipos de cálculo: cálculo mental e escrito, exato e aproximado; • Discutir as técnicas operatórias; 5

Objetivos • Refletir sobre o uso de materiais na realização das operações; • Discutir

Objetivos • Refletir sobre o uso de materiais na realização das operações; • Discutir possibilidades de trabalho na aula de Matemática tendo em vista novas demandas apresentadas pela sociedade atual. 6

Breve trajetória histórica do ensino de operações 7

Breve trajetória histórica do ensino de operações 7

Período de 1950 -1965 • Ênfase nas técnicas operatórias - sem justificativa; • Prova

Período de 1950 -1965 • Ênfase nas técnicas operatórias - sem justificativa; • Prova real e prova dos noves - formas de verificação de resultados; 8

Período de 1950 -1965 • Cálculos mentais e escritos - treinamentos constantes para decorar

Período de 1950 -1965 • Cálculos mentais e escritos - treinamentos constantes para decorar resultados; • Aprendizagem das operações por etapas – de acordo com grandezas dos números e dificuldades; 9

Período de 1950 -1965 • Resolução de problemas - após técnicas operatórias, como aplicação;

Período de 1950 -1965 • Resolução de problemas - após técnicas operatórias, como aplicação; • Os significados das operações - trabalho restrito. 10

Período de 1966 -1980 • Influência da “Matemática Moderna” - as operações com base

Período de 1966 -1980 • Influência da “Matemática Moderna” - as operações com base na teoria dos conjuntos; • A adição - união de dois conjuntos distintos e a subtração - conjunto complementar; 11

Período de 1966 -1980 • Diagrama de Venn - facilitar a visualização; • O

Período de 1966 -1980 • Diagrama de Venn - facilitar a visualização; • O cálculo mental não era enfatizado. 12

Período de 1980 - 1995 • Em 1980, o National Council of Teachers of

Período de 1980 - 1995 • Em 1980, o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) - “Agenda para Ação”: - ênfase em resolução de problemas; 13

 - importância na realização das operações fundamentais; - uso de computadores; - utilização

- importância na realização das operações fundamentais; - uso de computadores; - utilização das relações com a realidade. 14

No Brasil • Os significados das operações – materiais da Secretaria de Educação de

No Brasil • Os significados das operações – materiais da Secretaria de Educação de São Paulo (Atividades Matemáticas); 15

 • Procedimentos e as regras das técnicas operatórias – uso de materiais: dourado,

• Procedimentos e as regras das técnicas operatórias – uso de materiais: dourado, fichas coloridas, ábacos e de jogos (crítica: variedade perceptiva de materiais); 16

 • Problemas contextualizados e desafiadores - problemas “não convencionais”; • A importância da

• Problemas contextualizados e desafiadores - problemas “não convencionais”; • A importância da exploração de vários procedimentos de cálculo. 17

Tarefa 1 - Discussão • Formar 5 grupos para discussão; • Em seguida, socialização

Tarefa 1 - Discussão • Formar 5 grupos para discussão; • Em seguida, socialização das discussões; • ATP faz uma síntese da socialização; 18

 • Apresentação de 3 DEs; • 10 minutos para discussão e socialização e

• Apresentação de 3 DEs; • 10 minutos para discussão e socialização e 10 minutos para apresentação e fechamento. 19

 Pense no seu dia a dia: O que você faz com mais freqüência

Pense no seu dia a dia: O que você faz com mais freqüência e o que você ensina na escola com mais ênfase em termos de cálculo? • Cálculo mental ou escrito? • Cálculo exato ou aproximado? • Cálculo com lápis e papel ou com calculadora? 20

As novas demandas do cálculo Os cálculos com os números naturais sempre tiveram grande

As novas demandas do cálculo Os cálculos com os números naturais sempre tiveram grande destaque nas aulas de Matemática nas séries iniciais do Ensino Fundamental. 21

Competências de cálculo • Para Abrantes, as competências matemáticas no domínio do cálculo implicam

Competências de cálculo • Para Abrantes, as competências matemáticas no domínio do cálculo implicam utilizar cálculo exato e aproximado, mental e escrito, por calculadora e por estimativa e, ainda, decidir num determinado momento que tipo de cálculo é mais adequado. 22

Um ponto importante • A aprendizagem de um repertório básico de cálculos não se

Um ponto importante • A aprendizagem de um repertório básico de cálculos não se dá pela simples memorização de fatos de uma operação, mas pela realização de um trabalho que envolve a construção, a organização e, como conseqüência, a memorização compreensiva desses fatos. 23

 • Ao construírem e organizarem um repertório básico, os alunos começam a perceber,

• Ao construírem e organizarem um repertório básico, os alunos começam a perceber, intuitivamente, algumas propriedades das operações, tais como a associatividade e a comutatividade. 24

 • Também outras regularidades começam a ser percebidas, tais como observar que nas

• Também outras regularidades começam a ser percebidas, tais como observar que nas multiplicações por dois todos os resultados são pares; que na tabuada do cinco os resultados terminam em zero ou em cinco; etc. ; as operações se relacionam entre si. 25

Tarefa 2 - Interação • Elaborar uma atividade que desenvolva: - cálculo exato; -

Tarefa 2 - Interação • Elaborar uma atividade que desenvolva: - cálculo exato; - cálculo mental; - cálculo aproximado; - cálculo com calculadora; 26

 - cálculo escrito; - cálculo por estimativa; - 5 minutos para elaboração; -

- cálculo escrito; - cálculo por estimativa; - 5 minutos para elaboração; - 20 minutos para apresentação e fechamento. 27

Nem sempre precisamos fazer cálculos exatos Comprei alguns itens em um supermercado. Os preços

Nem sempre precisamos fazer cálculos exatos Comprei alguns itens em um supermercado. Os preços são os seguintes: R$ 1, 99, R$ 2, 18, R$ 3, 46 e R$ 1, 50. É possível pagar essa compra com apenas uma nota de 10 reais? 28

Cálculo mental: 8 + 7 = ? 8+7 8+2+5 10 + 5 = 15

Cálculo mental: 8 + 7 = ? 8+7 8+2+5 10 + 5 = 15 • 8 + 7 = 8 + 8 – 1 = 15 • 8 + 7 = 15 29

Das operações indicadas a seguir, escreva qual dos quatro resultados é mais provável 30

Das operações indicadas a seguir, escreva qual dos quatro resultados é mais provável 30

Operações Resultados 315 : 3 15 105 50 115 600 – 150 550 450

Operações Resultados 315 : 3 15 105 50 115 600 – 150 550 450 500 350 315 + 685 999 900 1000 1100 25 x 32 778 600 805 800 600 : 4 250 200 150 300 72 000 : 80 8 9 900 31

Porque ensinar cálculo mental? Cecília Parra e Irma Saiz 1. As aprendizagens no terreno

Porque ensinar cálculo mental? Cecília Parra e Irma Saiz 1. As aprendizagens no terreno do cálculo mental influem na capacidade de resolver problemas. 32

2. Em nosso enfoque, as noções matemáticas (números e operações) devem atuar, em princípio,

2. Em nosso enfoque, as noções matemáticas (números e operações) devem atuar, em princípio, como ferramentas úteis para resolver problemas. Só então elas poderão ser estudadas em si mesmas, tomadas como objetivo. 33

3. O trabalho com o cálculo mental habilita para uma maneira de construção do

3. O trabalho com o cálculo mental habilita para uma maneira de construção do conhecimento que, ao nosso entender, favorece uma melhor relação do aluno com a Matemática. 34

4. O trabalho com cálculo pensado deve ser acompanhado de um aumento progressivo de

4. O trabalho com cálculo pensado deve ser acompanhado de um aumento progressivo de cálculo automático. 35

A aquisição de destrezas de cálculo mental • Promove o desenvolvimento da compreensão numérica

A aquisição de destrezas de cálculo mental • Promove o desenvolvimento da compreensão numérica porque encoraja a procura de processos mais fáceis baseados nas propriedades dos números e das operações. (Abrantes) 36

Características • São variáveis: os procedimentos utilizados podem ser diversos; • São flexíveis e

Características • São variáveis: os procedimentos utilizados podem ser diversos; • São flexíveis e adaptam-se de acordo com os números; • São ativos: os alunos escolhem um método consciente ou inconscientemente; 37

 • São holísticos, no sentido de que usam o número como um todo,

• São holísticos, no sentido de que usam o número como um todo, e não como dígitos; • Começam freqüentemente com o primeiro número; • Exigem compreensão; • Dão uma aproximação inicial da resposta porque os dígitos da esquerda são considerados primeiro. 38

No trabalho com os fatos fundamentais da multiplicação deve-se levar em conta: • A

No trabalho com os fatos fundamentais da multiplicação deve-se levar em conta: • A regularidade das tabuadas do 5 e do 10; • A facilidade de dobrar; • Multiplicar por 4 é dobrar duas vezes seguidas; 39

 • Multiplicar por 8 é dobrar três vezes; • A comutatividade; • As

• Multiplicar por 8 é dobrar três vezes; • A comutatividade; • As curiosidades da tabuada do nove. 40

Exemplos 41

Exemplos 41

Uso da calculadora • A calculadora como instrumento, e não como substituição do cálculo

Uso da calculadora • A calculadora como instrumento, e não como substituição do cálculo escrito; • Mesmo com o uso da calculadora, é preciso desafiar o aluno a raciocinar e a fazer cálculos mentais. 42

Tarefa 3 - Interação Agora você vai usar a calculadora e: • Analisar quais

Tarefa 3 - Interação Agora você vai usar a calculadora e: • Analisar quais os objetivos de cada situação; • Para que série vocês indicariam essa proposta; • Quais variações seriam possíveis. 43

Tarefa 3 - Interação Agora você vai usar a calculadora e analisar quais os

Tarefa 3 - Interação Agora você vai usar a calculadora e analisar quais os objetivos das situações: 1. No visor da calculadora está o número 529. Que número aparecerá se adicionarmos 1? 44

2. Usando apenas as teclas 1 e 0 e as teclas das operações, faça

2. Usando apenas as teclas 1 e 0 e as teclas das operações, faça aparecer no visor os seguintes números: 347, 444 e 5398. 3. No visor de uma calculadora está o número 374309. Como substituir esse número por 324309 sem "apagá-lo"? 45

4. Quatro passos para o zero Material: calculadora Nº de participantes: duplas Desenvolvimento: •

4. Quatro passos para o zero Material: calculadora Nº de participantes: duplas Desenvolvimento: • Escolha um número de 4 algarismos para os alunos colocarem em suas calculadoras. 46

- A tarefa deles é reduzir esse número a zero em apenas quatro passos.

- A tarefa deles é reduzir esse número a zero em apenas quatro passos. - Eles podem usar todas as quatro operações (+, -, x ou : ) e número de dois algarismos. - Ganha quem primeiro atingir o zero. 47

5. Usando sua calculadora, determinar o quociente inteiro e o resto da divisão: 1325

5. Usando sua calculadora, determinar o quociente inteiro e o resto da divisão: 1325 : 12. 48

6. Coloque o 1 no visor; agora, usando a mesma divisão sucessivas vezes, faça

6. Coloque o 1 no visor; agora, usando a mesma divisão sucessivas vezes, faça aparecer no visor 0, 5; 0, 25; 0, 125. Por quanto dividiu? Quantas vezes? 49

Sobre o uso da calculadora • Até o final da década de 1970, fazíamos

Sobre o uso da calculadora • Até o final da década de 1970, fazíamos todas as contas no papel e, quando possível, as resolvíamos “de cabeça”. 50

 • Para construir uma calculadora foi preciso dispor de componentes eletrônicos de tamanhos

• Para construir uma calculadora foi preciso dispor de componentes eletrônicos de tamanhos muito pequenos. • A partir dos anos 80, as calculadoras eletrônicas foram se tornando cada vez menores e mais rapidamente difundidas. 51

 • O teclado de uma calculadora simples é constituído de pequenas teclas nas

• O teclado de uma calculadora simples é constituído de pequenas teclas nas quais se inscrevem diferentes símbolos: - os algarismos de 0 a 9; - o ponto que toma o lugar da vírgula nas representações de números decimais; 52

 - os símbolos das operações aritméticas: +, - , x e : ;

- os símbolos das operações aritméticas: +, - , x e : ; - outros símbolos. • Embora as calculadoras facilitem nossa vida hoje, elas não podem substituir nossa capacidade de fazer contas por escrito e, principalmente, mentalmente. 53

 • Muitas vezes, professores das séries iniciais sentem-se receosos em usar a calculadora

• Muitas vezes, professores das séries iniciais sentem-se receosos em usar a calculadora por temerem que seus alunos fiquem "preguiçosos" para realizarem cálculos escritos ou mentais. 54

 • Esse problema se resolve quando combinamos com as crianças em que momentos

• Esse problema se resolve quando combinamos com as crianças em que momentos vamos usar a calculadora e em que momentos vamos prescindir dela. • Além disso, é importante criar atividades desafiadoras de uso da calculadora. 55

Tarefa 4 - Interação • As próximas telas apresentam alguns procedimentos de cálculo. 56

Tarefa 4 - Interação • As próximas telas apresentam alguns procedimentos de cálculo. 56

 • As DEs farão a análise de um procedimento de acordo com a

• As DEs farão a análise de um procedimento de acordo com a indicação do formador e depois a apresentarão. As outras DEs podem concordar ou não com a explicação dos colegas e apresentar sua posição. • Tempo: 5 minutos para discussão e 20 minutos para apresentação 57

1. Explique os procedimentos utilizados no cálculo de 957 – 198 DEs: _ 8

1. Explique os procedimentos utilizados no cálculo de 957 – 198 DEs: _ 8 ¹ 4 9 5 ¹ 7 1 9 8 7 5 9 58

2. Explique os procedimentos utilizados no cálculo de 2000 – 458 DEs: 2 0

2. Explique os procedimentos utilizados no cálculo de 2000 – 458 DEs: 2 0 0 0 -1 _ 4 5 8 1 5 4 2 1 9 9 9 _ 4 5 8 +1 1 5 4 1 59

3. Explique os procedimentos utilizados no cálculo do produto de 96 por 28. DEs:

3. Explique os procedimentos utilizados no cálculo do produto de 96 por 28. DEs: 90 + 6 1800 + + 20 720 120 840 + + 8 48 + 48 2688 60

4. Explique os procedimentos utilizados no cálculo do produto 96 x 28 9 6

4. Explique os procedimentos utilizados no cálculo do produto 96 x 28 9 6 DEs: x 2 8 4 8 + 7 2 0 1 8 0 0 2 6 8 8 61

Com relação ao cálculo escrito • Quando tratamos de cálculo escrito, nos referimos a

Com relação ao cálculo escrito • Quando tratamos de cálculo escrito, nos referimos a procedimentos usados para se chegar ao resultado de uma operação. 62

Exemplo: 426 + 385 400 20 6 +300 80 5 700 11 63

Exemplo: 426 + 385 400 20 6 +300 80 5 700 11 63

 • Em seguida, são feitas as conversões, ou seja, 11 unidades correspondem a

• Em seguida, são feitas as conversões, ou seja, 11 unidades correspondem a uma dezena e uma unidade, e 110 dezenas correspondem a uma centena e uma dezena. • Conversão das unidades em dezenas: 700 + 100 +10 + 1 = 700 +110+ 1. 64

 • Conversão das dezenas em centenas: 700 + 10 + 1 = 800

• Conversão das dezenas em centenas: 700 + 10 + 1 = 800 + 11 • Visualizando com material dourado: 65

 345 – 158 300 40 5 -100 50 8 Ou seja: 300 30

345 – 158 300 40 5 -100 50 8 Ou seja: 300 30 15 - 100 50 8 7 66

Ou seja 200 130 15 - 100 50 8 100 80 7 Visualizando com

Ou seja 200 130 15 - 100 50 8 100 80 7 Visualizando com material dourado: 67

 3 4 5 - 1 5 8 Ou seja 3 4 15 (acrescentaram-se

3 4 5 - 1 5 8 Ou seja 3 4 15 (acrescentaram-se 10 unidades) - 1 6 8 (acrescentaram-se 1 dezena) - 7 3 14 15 (acrescentaram-se 10 dezenas) - 2 6 8 (acrescentaram-se 1 centena) - 1 8 7 68

14 x 13= 10 + 4 X 10 + 3 30 + 12 100

14 x 13= 10 + 4 X 10 + 3 30 + 12 100 + 40 100 + 70 + 12 182 14 X 13 42 140 182 69

 623 500 123 100 23 20 3 5 100 20 4 124 70

623 500 123 100 23 20 3 5 100 20 4 124 70

Uso do material dourado • A importância do quadro de valor de posição. •

Uso do material dourado • A importância do quadro de valor de posição. • A importância do registro após o uso do material. • Uso do material dourado no sentido da compreensão do algoritmo e do SND. 71

Outra demanda atual Problema: Os alunos de uma escola participaram de uma pesquisa. Em

Outra demanda atual Problema: Os alunos de uma escola participaram de uma pesquisa. Em uma das questões eles tiveram que escolher o esporte favorito. O gráfico, a seguir, indica as preferências pelos esportes indicados. Veja: 72

nº de alunos futebol basquete vôlei outros 73

nº de alunos futebol basquete vôlei outros 73

Agora responda às questões: • Quantos alunos participaram da pesquisa? • Quantos alunos escolheram

Agora responda às questões: • Quantos alunos participaram da pesquisa? • Quantos alunos escolheram o vôlei? • Qual a porcentagem dos alunos que escolheram o vôlei? 74

Retomando o Problema • Que outras questões você faria aos seus alunos a respeito

Retomando o Problema • Que outras questões você faria aos seus alunos a respeito desse gráfico? 75

 • Como essa atividade pode levar os alunos a compreender a correspondência entre

• Como essa atividade pode levar os alunos a compreender a correspondência entre o número de alunos e o percentual? • E se o número de pessoas fosse 1200 em vez de 100, como vocês calculariam 20%? 76

O uso de um gráfico permite: • Comunicar mais facilmente os dados de uma

O uso de um gráfico permite: • Comunicar mais facilmente os dados de uma pesquisa; • Apresentar globalmente uma informação; 77

 • Possibilidade de leitura rápida; • O destaque de aspectos relevantes da informação;

• Possibilidade de leitura rápida; • O destaque de aspectos relevantes da informação; • A produção de textos escritos. 78

Para ensinar porcentagem • O significado de 10% como a décima parte de. .

Para ensinar porcentagem • O significado de 10% como a décima parte de. . . • Se calculados 10%, como determinar 20%, 30% ou 5%? 79

 • Como calcular 50%? e 25%? • O significado de 1% como a

• Como calcular 50%? e 25%? • O significado de 1% como a centésima parte de. . . • E para calcular 3%? 80

Proposta ATP - Tarde • Leitura e síntese do texto de Cecília Parra e

Proposta ATP - Tarde • Leitura e síntese do texto de Cecília Parra e Irma Saiz sobre cálculo mental. • Elaborar junto com o grupo de professores de cada série um jogo que envolva cálculo mental e/ou calculadora. 81

Proposta Professores para a próxima vídeo • Desenvolver com as crianças o jogo elaborado

Proposta Professores para a próxima vídeo • Desenvolver com as crianças o jogo elaborado hoje à tarde, fazer uma análise e trazer para a discussão com o grupo da Diretoria. 82

Bom trabalho e até o próximo encontro. 83

Bom trabalho e até o próximo encontro. 83