Projeto de Iniciao Cientifica Simulao e Modelagem de

Projeto de Iniciação Cientifica: • Simulação e Modelagem de sistemas Dinâmicos Prof. : Coordenador do Projeto: • Prof. Dr. Sérgio Luiz Garavelli Prof. Orientador do Projeto: • Prof. Dr. Paulo Eduardo de Brito Aluno Pesquisador e Apresentador: • Rodrigo Alves Dias

Motivação: • Estudo de Propriedades Magnéticas. • Exemplos de Propriedades: • O Ferromagnetismo • Ant-Ferromagnetismo • Diamagnetismo • Paramagnetismo • Visando Aplicações em diversas áreas cientificas como exemplo : • Medicina. • Industria Computacional na Produção de Chips.

Introdução ao Modelo de Ising: • Materiais Ferromagnéticos: • Corrente Elétrica no Fio Gera um Campo Magnético em sua volta. • Movimento de Elétrons em volta de um átomo ou de uma molécula Gera um minúsculo Campo Magnético orientado em cada átomo(Spin). N N • Muitos Átomos ou Moléculas na rede Muitos Spins que vão interagir. Spins gerados Aleatoriamente. S Átomo S Imã

• Altas Temperaturas (Acima da Crítica) Alta Agitação. • Magnetização Média aproximadamente zero. Spins Desorientados. • Baixas Temperaturas (Abaixo da Crítica). • Magnetização Resultante diferente de zero (Spins Paralelos). Spins Orientados.

• Materiais Anti -Ferromagnéticos: • Baixas Temperaturas (Abaixo da Crítica). • Magnetização Resultante igual a zero e Spins Orientados (Spins Anti-Paralelos). Spins Orientados. • Explicação teórica detalhada destas e outras propriedades magnéticas • Necessitam tratamento baseado na mecânica quântica.

• Explicação Modelo de Ising : • A energia de interação entre os Spins é dada por: • J = Constante de acoplamento entre os Spins: • J>0 (Spins tendem a se alinhar Paralelamente) • J<0 (Spins tendem a se alinhar Anti-Paralelamente) • Si = Spin interagente. Pode ser +1 Spin Up (Para Cima) ou -1 Spin Down (Para Baixo) Sj = Spin Vizinho interagente. • <i, j>=Indica Soma Interação só com os Primeiros Vizinhos. • H =Campo Magnético Externo Aplicado. No nosso caso H=0.

• Implementação Numérica (Método de Metropolis): i) Para se obter a configuração do sistema no passo n + 1, um átomo da rede é escolhido ao acaso e seu spin é invertido. ii) A energia do sistema Ef , associada a esta nova configuração, é então calculada. iii) Calcula-se a variação da energia do sistema E=Ef-En, onde En é a energia do sistema no n-ésimo passo. (a)Se a energia do sistema diminui, esta nova configuração é aceita. (b)Se a energia do sistema aumenta, a nova configuração é aceita com probabilidade P = exp(-( E)/T). E= +2 J Si Sj iv) A configuração do sistema no passo n + 1 corresponderá àquela obtida com a mudança do spin do átomo escolhido ao acaso se a nova configuração for aceita segundo as regras descritas no item (iii). Caso ela seja rejeitada, a configuração do passo n + 1 será a mesma que o sistema possuía no passo n. Os passos (i) até (iv) são repetidos um grande número de vezes afim de se obter um resultado o mais próximo possível de uma observável.

• Exemplo Calculo da energia: Si= -1 En = -J Si Sj J = 1. En = -1( Si Sj )= -1 (-1 -1) = +4 En+1 = -1( (-Si ) Sj )= -1 (+1+1) = -4 Si= +1 E = En+1 - En= -4 -(+4) = -8 Aceito essa nova configuração. Se E > 0 Aceito a nova configuração se: exp(- E / T) < P(E) < 1/2. Si= -1

• Condições de Contorno: • Usamos condições de contorno periódicas: (Toroidais) • Observáveis Termodinâmicas e Magnéticas Medidas: • Magnetização Média: • Susceptibilidade Magnética: • Energia Média: • Capacidade Térmica:

• Explicação Modelo de Ising Diluído: • Todo o método de interações e as propriedades termodinâmicas medidas e descritas anteriormente são as mesmas. • Rede amorfa É uma rede com sítios não magnético. • Está relacionada com a densidade da rede. • Há desordem nos estados Spin. Mas não há desordem nas localizações dos Spin. • Sistema denominado Resfriado, ou (“Quenched”).

• Resultados do Ising Puro: • Temperatura Crítica Teórica Tc. Teo=2. 2692 J/KB • Temperatura Crítica Mod. Ising Tc. Ising= 2. 2715 J/KB.

• Expoente Crítico Magnétização: • M ( T - Tc ) -Bc Bc. Ising = 0. 1088 • Bcteorico = 1/8 = 0. 125

• Resultados do Ising Diluído: • Densidade Crítica Téorico c. Téo = 0. 59 c. Ising = 0. 5 0. 6