Projektas Bendrojo ugdymo mokytoj bendrj ir dalykini kompetencij

Projektas „Bendrojo ugdymo mokytojų bendrųjų ir dalykinių kompetencijų tobulinimas“ Projekto kodas 09. 4. 2 -ESFA-V-715 -02 -0001. Mokyklinės matematikos turinio gilinimas. Kaip tai įmanoma? Metodinės dienos , , Ugdymo turinio aktualijos“ Rimas Norvaiša (Vilniaus universitetas) 2018 m. spalio 4 d. Vytauto Didžiojo universiteto Švietimo akademija, T. Ševčenkos g. 31, Vilnius

Apie ką kalbėsiu? • Ką reiškia mokyklinės matematikos turinio gilinimas? • Kodėl vis daugiau pasaulio šalių siekia gilinti matematikos mokymo turinį? • Kaip eiliniam mokiniui įmanoma suprasti mokyklinę matematiką? • Išvados

Ką reiškia turinio gilinimas? • Kalbėjimas apie matematikos turinio gilinimą gali pasirodyti kaip nesusipratimas. • Didelės dalies mokinių žemi pažymiai rodytų, kad jau dabartinis matematikos turinys yra jiems per daug sudėtingas. • Trumpai kalbant, turinio mokyklinėje matematikoje gilinimą sudaro: • (1) supratimas, kaip tikslas; • (2) samprotavimas, kaip diskursas; • (3) prasmė, kaip rezultatas. • Išsamiau atsakydamas į klausimą bandysiu paaiškinti ką tai reiškia.

Kas negerai su dabartiniu turiniu? • Dabartinė mokyklinė matematika atrodo kaip mažai ar visai nesusijusių formulių, faktų ir sričių rinkinys. • Dažniausiai mokoma kaip rasti teisingą atsakymą naudojant reikalingą procedūrą. • Įrodymu (jei apie jį užsimenama) laikomas formalus samprotavimas, reikalingas teiginio teisingumui patvirtinti, o ne jam suprasti. • Dėl šių priežasčių matematikos mokymasis grindžiamas atmintimi. • Esant tokiai situacijai, kalbėjimas apie mokyklinės matematikos gilinimą gali atrodyti kaip realybės mokykloje nesuvokimas.

Ką reiškia supratimas? • Manau, kad dalis mokytojų supratimu laiko mokinio gebėjimą atlikti visus procedūros žingsnius ir gauti , , teisingą“ atsakymą. Toks supratimas pasiekiamas mokantis procedūras mintinai. • Viduramžiais dalyko supratimas reiškė gebėjimą jį mokyti. Šia prasme supratimas įmanomas tik mokytojui. Matyt tada iš mokinio nebuvo tikimasi dalyko supratimo. • Šiuolaikinis neuromokslas teigia, kad dalyko supratimas yra ryšių su ankstesniu žinojimu mezgimas. • Mokyklinėje matematikoje supratimas pasireiškia gebėjimu naudoti procedūrą naujoje situacijoje, kai sąvoka atpažįstama naujame kontekste.

Kaip konkrečiai pasireiškia supratimas? •

Kaip konkrečiai pasireiškia supratimas? •

Kaip konkrečiai pasireiškia supratimas? • Panašiai procedūra ar teiginys yra suprasti, jei jie pritaikomi naujoje situacijoje. • Pavyzdžiui, dviženklių skaičių daugybos stulpeliu supratimas reiškia gebėjimą paaiškinti kodėl atlikus reikalingus veiksmus gaunamas teisingas rezultatas. Konteksto pasikeitimą iliustruoja kitokia dviženklių skaičių dauginimo procedūra ir gebėjimas paaiškinti kodėl ji veikia. • Panašiai Pitagoro teoremos supratimas reiškia sugebėjimą skirtingose situacijose atpažinti galimybę pritaikyti šią teoremą ieškant nežinomų dydžių ar siekiant nustatyti nežinomus santykius tarp dydžių.

Matematinis samprotavimas kaip diskursas • Samprotavimas matematikoje įmanomas, jei • - kiekviena sąvoka yra apibrėžiama; • - kiekvienas teiginys yra nedviprasmiškas ir formuluojamas taip, kad būtų aišku, kas yra žinoma ir kas nėra žinoma; • - kiekvienas teiginys yra pagrindžiamas logiškai taisyklingu samprotavimu; • - kiekviena nauja sąvoka formuojama turimų žinių pagrindu ir yra naujų žinių struktūros dalimi; • - matematikos žinios yra orientuotos į tikslą (fundamentalias sąvokas).

Matematinis samprotavimas kaip diskursas • Matematinis samprotavimas siekia supratimo, aiškumo, tikslumo ir tuo skiriasi nuo mokymosi, kuriame svarbu tik gebėjimas naudotis standartiniais algoritmais, nesuprantant jų prasmės. • Lyginant su universitetine matematika, mokyklinė matematika turi atitikti mokinio amžiaus galimybes suvokti abstrakcijas ir turi skirti didesnį dėmesį logikai matematikos kontekste. • Taisyklingi logikos naudojimo įpročiai geriausiai formuojasi jauname amžiuje.

Apibendrinant: Ką reiškia turinio gilinimas? • Pirma, visur turinyje klausimas , , Kaip? “ papildomas klausimu , , Kodėl? “ • Antra, ieškant atsakymų į klausimą , , Kodėl? “ formuojamas matematinio samprotavimo diskursas. • Trečia, naujame matematikos kontekste turinio gilinimas yra matematikos supratimo siekimas. • Ketvirta, supratimas suteikia dalykui prasmę. • Prasmės matymas skatina motyvaciją gilintis į dalyką, ir tuo būdu gerina pažangumą daugumai mokinių.

Kodėl kitos pasaulio šalys siekia gilinti turinį? • Tikriausiai norite paklausti: Kokie požymiai rodo, kad kitos pasaulio šalys siekia gilinti turinį? • Svarbiausias požymis yra Ekonominio bendradarbiavimo ir plėtros organizacijos (EBPO) veikla: • (1) nesenai darbą pradėjo mokyklinės matematikos turinio analizės 2030 grupė. Jos darbo tikslu yra skirtingų šalių matematikos programų ir vadovėlių lyginimas siekiant sukurti matematikos mokymo gilinimo rekomendacijas. • (2) būsimame tarptautiniame tyrime PISA 2021 ketvirtis užduočių turėtų būti grindžiamos matematiniu samprotavimu. • Kitokio pobūdžio požymis yra Lenkija ir Zbigniew Marciniak veikla.

Kodėl kitos pasaulio šalys siekia gilinti turinį? • Pagrindinėmis priežastimis yra • technologijų tobulėjimas ir su tuo susijęs tradicinės mokyklinės matematikos turinio neaktualumas, • mokinių pažangumą lemiančių priežasčių tyrimai, • tradicinių profesijų nykimas ir XXI a. kompetencijų ugdymas. • Tiesa, mūsų verslininkai, kalbėdami apie technologijų kaitą, nesiūlo gilinti matematikos turinio.

Grynoji matematika vs taikomoji matematika • EBPO požiūrio į mokyklinę matematiką naujumas pasireiškia grynosios matematikos svarbos pripažinime lyginant su matematikos taikymu. • Grynosios matematikos svarbos pripažinimas yra keletą dešimtmečių trukusios tarptautinių tyrimų statistinės analizės išvada. • Šių tyrimų rezultatai rodo, kad mokinių pažintis su grynąja matematika ir jų pasiekimai matematikoje yra stipriai susiję ir šis ryšys stiprėja visą laiką, kai sunkėja matematikos užduotys. • Tuo tarpu, mokinių pažintis su taikomąja matematika ir jų pasiekimai matematikoje susiję kitokiu ryšiu:

Grynoji matematika vs taikomoji matematika • Mokinių pažintis su grynąja matematika matuojama jų deklaruota patirtimi su tomis matematikos užduotimis, kurios sprendžiamos pamokų metu mokykloje, ir kurioms reikia algebros žinių (tiesinės ir kvadratinės lygtys). • Ši patirtis įvertinama indeksu vadinama normuota skale (jos nuliu yra EBPO vidurkis, o standartinis nuokrypis lygus vienam). • Mokinių pažintis su taikomąja matematika matuojama jų deklaruota patirtimi atitinkamomis matematikos užduotimis, kurios sprendžiamos pamokų metu mokykloje. Užduoties pavyzdys: naudojant traukinių tvarkaraštį, apskaičiuoti kaip ilgai reikia keliauti traukiniu iš vienos vietos į kitą. Kitos užduoties pavyzdys: apskaičiuoti kiek padidės kompiuterio kaina, jei į ją bus įskaičiuoti mokesčiai. • Pažintis su taikomąja matematika taip pat įvertinama analogiška normuota skale, vadinama indeksu.

Grynoji matematika vs taikomoji matematika • Ryšys tarp mokinių pažinties su grynąja matematika ir jų pasiekimais, bei mokinių pažinties su taikomąja matematika ir jų pasiekimais išreiškiamas kiekybiškai. • Pavyzdžiui, pažinties su grynąja matematika indekso padidėjimas vienu vienetu, Lietuvos vidutinio moksleivio įvertinimą PISA pasiekimų skalėje padidina 36 taškais. • Tuo tarpu, pažinties su taikomąja matematika indekso padidėjimas vienu vienetu, Lietuvos vidutinio moksleivio įvertinimą PISA pasiekimų skalėje padidina tik 8 taškais. • Rezultatai statistiškai reikšmingi visoms tirtoms šalims.

Matematikos turinys EBPO požiūriu • Mokyklinės matematikos turinio centre yra matematinis samprotavimas ir problemų sprendimas (!). Kaip EBPO supranta problemų sprendimą? Tai sprendimų paieška sudėtingose ir kompleksinėse situacijose. Tai gebėjimas užsiimti pažintine paieška siekiant suprasti ir išspręsti tokias situacijas, kurios metodų ir sprendimų atžvilgiu nėra akivaizdžios. Jis yra daugiaplanis ir daugiamatis, apima tarpasmeninių, vidinių asmeninių ir socialinių santykių sritis. Mūsų programoje problemų sprendimas – žinomų metodų taikymas.

Matematikos turinys EBPO požiūriu • Visas matematikos turinys turėtų koncentruotis aplink 6 pagrindines idėjas: • Skaičių sistema ir jų algebrinės savybės; • Matematika kaip abstrakčių sąvokų ir simbolinių išraiškų sistema; • Matematika kaip hierarchinė struktūra; • Funkciniais sąryšiais tarp dydžių; • Matematinis modeliavimas kaip akiniai į realųjį pasaulį; • Dispersija kaip statistikos esmė.

PISA 2021 • Pirma, pakeista matematinio raštingumo samprata taip, kad jos svarbiausiu punktu tapo matematinis samprotavimas: • Mathematical literacy is an individual’s capacity to reason mathematically and to formulate, employ, and interpret mathematics to solve problems in a variety of real-world contexts. It includes concepts, procedures, facts and tools to describe, explain and predict phenomena. It assists individuals to know the role that mathematics plays in the world and to make the well-founded judgments and decisions needed by constructive, engaged and reflective 21 st Century citizens. 　

PISA 2021 • Antra, numatyta, kad ketvirtadalis būsimojo tyrimo užduočių bus grindžiama matematiniu samprotavimu. • Užduoties pavyzdys: paaiškinti nurodytų dviejų dviženklių skaičių sandaugą išreikštą trimis skirtingais nestandartiniais būdais. • Kitas pavyzdys. Remiantis daugiau kaip 100 metų miesto istorija žinoma, jog kas dieną yra vienas šansas iš penkių, kad netoli miesto esančiame miške gyvenantys rudieji lokiai pasirodo žmonėms prie miesto šiukšlyno. Jūsų mobilusis telefonas gavo miesto žinutę, kad lokiai pasirodė vakar. Todėl nusprendėte nebandyti pamatyti lokių sekančias keturias dienas. • Ar toks sprendimas išmintingas; kodėl taip arba kodėl ne? • Kaip planuotumėte kelionės laiką, jei norėtumėte pamatyti lokius?

Kaip mokiniui įmanoma suprasti matematiką? • Pirma, mokytojas turi puikiai išmanyti samprotavimu pagrįstą elementariąją matematiką. • Antra, mokytojas turi žinoti naujausius pasiekimus mokymo metodų efektyvumo srityje. • Mūsų mokytojai iki šiol neturi prieigos lietuvių kalba nei prie pirmojo dalyko, nei prie antrojo dalyko. Anglų kalba šiais klausimas egzistuoja milžiniškas kiekis literatūros. • Pirma tema kalbu nuo 2013 metų kai pasirodė matematinio ugdymo gairės. Antra tema pradėjau kalbėti pastaruoju metu. Iki šiol mano kalbos nedavė apčiuopiamų rezultatų.

Neuromokslai ir mokymo metodų efektyvumas • Toliau kalbėsiu apie mokymo(si) metodus grindžiamus naujausiais rezultatais gautais tiriant žmogaus smegenų veiklą mokantis matematikos. • Tokie rezultatai padeda suprasti kaip vyksta mokymasis žmogaus smegenyse, kas padeda ir kas tam trukdo. • Pastaruosius kelis dešimtmečius, atsižvelgdami į smegenų veiklos mechanizmą, mokslininkai aktyviai ieško efektyvių matematikos mokymo(si) metodų.

Kodėl verta kalbėti apie neuromokslininkų tyrimus? • Neuromokslų teorijos formuoja požiūrį į ugdymą, kuris skiriasi nuo mūsų edukologijos mokslo požiūrio. • Edukologijos požiūris išreiškiamas dviem skirtingomis paradigmomis: mokymo ir mokymosi. Pirmoji paradigma laikoma tradicine ir pasenusia, o antroji paradigma laikoma šiuolaikine. • Perėjimas iš mokymo paradigmos į mokymosi paradigmą yra kelis dešimtmečius vykstančios švietimo reformos teorinis pagrindas. • Tai, kas vyksta realioje klasėje dažniausiai labai skiriasi nuo edukologijos mokslo teorinių konstrukcijų.

Kodėl verta kalbėti apie neuromokslininkų tyrimus? • Mokymo ir mokymosi paradigmos yra Lietuvoje adaptuotos pasaulyje paplitusių mokymo teorijų versijos. • Mūsų išskirtinumas yra tas, kad mūsų mokytojai nežino labai gausios abiejų paradigmų kritikos ir joms prieštaraujančių tyrimų rezultatų. • Pavyzdžiui, 2013 metų PISA tyrimo rezultatai parodė, kad , , tyrimais grindžiamas mokymas“ nėra pats geriausias. • Tiksliau kalbant jis neigiamai koreliuoja su mokinių pasiekimais gamtos mokslų srityje (raudonai apibraukta lentelės apačioje). Tuo tarpu teigiamą koreliaciją turi , , mokytojo vadovaujamas mokymas“ (raudonai apibraukta lentelės viršuje).

Inquiry-based instr. vs teacher-directed instr.

Evoliucinės proto vystymosi teorijos išvados • Žmogaus protas evoliucijos eigoje įgijo specifinių įgimtų savybių. • Vaizdžiai kalbant, vaiko protas turi įgimtus pastolius padedančius lengvai konstruoti tam tikras žinias ir gebėjimus (kalbėjimas, klausymas, bendravimas) • Tokios žinios yra biologiškai pirminėmis. Jas vaikas įsisavina nesąmoningai ir be didelių pastangų. • Vaikui žaidžiant ir tyrinėjant aplinką pastolių daugėja. Tačiau skaityti, rašyti, skaičiuoti padedančių įgimtų pastolių vaikas neturi. Tokios žinios susijusios su kultūra ir yra biologiškai antrinėmis. • Kontekstas, kuriame įsisavinamos biologiškai antrinės žinios yra mokykla. Šiuo požiūriu mokykla yra evoliuciją ir kultūrą siejantis tiltas.

Evoliucinės proto vystymosi teorijos išvados • Evoliucija nesuteikė mūsų protui savybių, kurios įgalintų mokyklines žinias įsisavinti be jokių pastangų. • Tuo tarpu svarbiausios mokyklinės žinios, būdamos biologiškai antrinėmis, yra kokybiškai skirtingos. • Naivu tikėtis, kad mokyklines žinias vaikas konstruos pats, jei tik jam bus sudaryta tinkama aplinka. • Skirtingai nuo biologiškai pirminių žinių įsisavinimo, mokytojo kryptingas mokymas gali būti neišvengiama priemonė. Šiuo atžvilgiu mūsų švietime siekiama įgyvendinti mokymosi paradigma, prieštarauja evoliucinės proto vystymosi teorijos išvadoms.

Pažintinės įkrovos teorija (neuromokslai) • Ši teorija suteikia dar daugiau argumentų prieštaraujančių mokymosi paradigmai. • Už žmogaus pažintinę veiklą yra atsakingi ilgoji atmintis ir darbinė atmintis. Visą ką žmogus moka yra ilgojoje atmintyje. Bet kurio mokymo tikslu yra ilgosios atminties keitimas. Jei ilgoji atmintis nepakito, tai nieko nebuvo išmokta. • Tačiau sąmoningai apžvelgti ar tiesiogiai keisti ilgąją atminti žmogus negali. Sąmoninga veikla vyksta tik per darbinę atmintį.

Pažintinės įkrovos teorija (neuromokslai) • Darbinė atmintis turi šias svarbias savybes: • Pirma, naujos informacijos kiekis darbinėje atmintyje ir jos saugojimo laikas yra labai riboti. Pavyzdžiui, neatkartojama informacija darbinėje atmintyje išlieka iki 30 sekundžių. • Antra, informacija atėjusi į darbinę atmintį iš ilgosios atminties savo kiekiu ir išsaugojimo trukme yra neribota. • Trečia, tuo metu kai darbinė atmintis naudojama naujos informacijos paieškai, ji nėra pasiekiama ir negali prisidėti prie žinių kaupimo ilgojoje atmintyje.

Pažintinės įkrovos teorija (neuromokslai) • Pažintinės įkrovos teorijos požiūriu vieni mokymo būdai yra labiau efektyvūs, kiti mažiau. Žmogaus pažintinė struktūra leidžia prognozuoti, kad išspręstais pavyzdžiais (worked example) grindžiamas mokymas naujokui yra efektyvesnis už problemų sprendimu grindžiamą mokymą. • Šią prognozę empiriškai pagrindžia išspręsto pavyzdžio efektas (worked example effect). Taip vadinamas eksperimento rezultatas, kada problemą sprendžiantis mokinys vėliau analogiškas problemas naujoje situacijoje sprendžia blogiau už tą, kuris mokėsi nagrinėdamas analogišką išspręstą pavyzdį. • Prisiminkime, gebėjimas panaudoti išmoktą procedūrą naujoje situacijoje reiškia jos supratimą!

Pažintinės įkrovos teorija (neuromokslai) • Kaip išspręsto pavyzdžio efektą aiškina pažintinės įkrovos teorija? • Tarkime, kad problemą bando spręsti naujokas, nežinantis panašios problemos sprendimo. Tokiu atveju jo darbinė atmintis neranda išorinėje atmintyje nieko tokio, kas galėtų padėti rasti sprendimą. • Lieka vienintelis dalykas – aklai ieškoti kelio link sprendimo. Tokia paieška sąmoningai užsiima darbinė atmintis. Dėl darbinės atminties ribotumo paieškos procesas nepalieka jokios kitos veiklos galimybių, įskaitant naujos informacijos kaupimą ilgojoje atmintyje. • Tokiu būdu naujokas gali ilgą laiką užsiimti sprendimo paieška ir nieko iš to neišmokti.

Pažintinės įkrovos teorija (neuromokslai) • Tuo tarpu išspręsto pavyzdžio nagrinėjimas atlaisvina darbinę atmintį, nes nereikia ieškoti sprendimo. • Šiuo atveju darbinė atmintis nukreipta sprendimo žingsnių aiškinimuisi ir įsisavintos informacijos perkėlimui į ilgąją atmintį. • Naujokas mokosi atpažinti esminius problemos sprendimo žingsnius. • Taip naujokas plečia tam tikrų uždavinių sprendimo metodų bagažą ir gilina savo žinias. • Išspręstu pavyzdžiu grįstas naujokų mokymas pastoviai pranoksta mokymą, kuriame užduoties sprendimą ieško pats mokinys.

Pažintinės įkrovos teorija (neuromokslai) • Išspręsto pavyzdžio efekto aiškinime svarbu tai, kad sprendėjas yra naujokas, o ne ekspertas. • Jei besimokančiojo žinių bagažas didėja, tai išspręsto pavyzdžio efektas dingsta ir galiausiai pasikeičia priešingu. • Tai reiškia, kad problemos sprendimas turinčiam pakankamą kompetenciją yra efektyvesnė mokymosi priemonė už išspręsto pavyzdžio nagrinėjimą. • Taip yra todėl, kad, turinčiam pakankamą kompetenciją spręsti problemą, išspręsto pavyzdžio nagrinėjimas yra didesnė našta darbinei atminčiai negu žinomo sprendimo radimas ilgojoje atmintyje.

Išvados • Anksčiau ar vėliau mokyklinės matematikos programą teks gilinti, bet dabar to daryti mes nesame pasiruošę. • Pirma, parinkdami mokymo turinį mokytojai labiausiai linkę vadovautis Bendrosiomis programomis (beveik visi) ir vadovėliais (keturi penktadaliai). • Antra, neturime priemonių ir laiko masiniu būdu reikšmingai kelti matematikos mokytojų kvalifikaciją. • Trečia, programos gilinimas turėtų užtrukti ne trumpiau kaip 10 metų ir pradėti reikėtų nuo pilotinių mokyklų.

Išvados • Ateityje turėtume keisti matematikos mokytojų rengimo studijų programą. • Pirma, tokios programos dalimi turėtų būti elementarioji matematika paruošianti būsimą mokytoją pagilintai matematikos programai. • Antra, tokios programos dalimi turėtų būti neuromokslų pasiekimai edukologijos srityje. • Trečia, reikėtų atsisakyti stereotipo, kad matematiką mokykloje gali mokyti kiekvienas baigęs universitetinės matematikos studijas ir įgijęs pedagoginių žinių.