Projekt Kooperation Egoismus Ein Schwarzfahrermodell der SBahn Mnchen
Projekt: Kooperation & Egoismus: Ein Schwarzfahrermodell der S-Bahn München Gmb. H
I. Einleitung & Modellbildung II. Berechnung a) Input b) Ausgabe I: Lineare Optimierung c) Ausgabe II: Nash d) Ausgabe III: vollständige Kooperation e) Ausgabe IV: neues Bestrafungssystem III. Abschluss: Schwarzfahren – Ja oder Nein?
I. Einleitung & Modellbildung Unterschiedliche Alltagssituationen mit individuellen Entscheidungsmöglichkeiten: -nicht teilnehmen -teilnehmen und kooperieren -teilnehmen aber nicht kooperieren Unterschiedliche Entscheidungswahl führt zu unterschiedlichem Nutzen bzgl der Gemeinschaft und einem selbst (Altruismus (hier: Kooperation; zahlen) vs. Egoismus (hier: Defektor; schwarz fahren))
I. Einleitung & Modellbildung Das Schwarzfahrermodell: Das Interesse jedes Einzelnen kollidiert mit dem Interesse der Gruppe: Einzelner Mitspieler: will nichts bezahlen Gruppe: will Beförderungssystem aufrecht erhalten Problematik: Verweigern zu viele Personen die Bezahlung, so bricht das System zusammen
I. Einleitung & Modellbildung Begriffe: Spieltheorie Schwarzfahrermodell Kooperatoren Zahlende Fahrgäste Defektoren Schwarzfahrer Bestrafer Kontrolleure Verursachen zusätzliche Kosten; getragen von der Kooperation => altruistische Strafe
I. Einleitung & Modellbildung: Problematik: abstrakt genug für die Mathematik aber exakt genug zwecks sinnvolle Rückschlüsse für die Realität I. Struktur S-Bahn-Netz: • Lokale Unterteilung in Stamm, Zone 1, Zone 2, Zone 3 (Stamm = Donnersberger – Ostbahnhof Zone 3 = Zone 3 + Zone 4) • Temporäre Unterteilung in t=1, 2, 3 (t=1: 05. 00 - 10. 00 Uhr t=2: 10. 00 – 16. 00 Uhr t=3: 16. 00 – 21. 00 Uhr)
I. Einleitung & Modellbildung II. Fahrgastanzahl G • • Kummulierte Zahl aller Zonen; umgelegt auf nur eine Linie 75% Monatskartenbesitzer III. Kontrolleure k • Arbeitszeit: 8 Std. pro Tag • 2 Kontrolleure bilden 1 Team • Im Schnitt durchgehend gleiche Anzahl an Teams pro Zone IV. Schwarzfahrerquote a • Antizipationsfunktion a = f(k): abhängig von k (=> „Lerneffekt“) und konstantem Wert d (=> unbeabsichtigtes schwarzfahren, |d| <<1) Kein perfekter mathematischer Zusammenhang möglich!
I. Einleitung & Modellbildung II. Berechnung a) Input b) Ausgabe I: Lineare Optimierung c) Ausgabe II: Nash d) Ausgabe III: vollständige Kooperation e) Ausgabe IV: neues Bestrafungssystem III. Abschluss: Schwarzfahren – Ja oder Nein?
II. a) Input Beispiel: t=1, Zone=2 Fahrgäste Prüfquote g 12 Schwarzfahrerquote Schwarzfahrer ( ) m teilt als Faktor die Gesamtfahrgäste auf die unterschiedlichen Zeiten/Zonen auf
II. a) Input Fahrt S von 1 2 3 nach rij= S 1 1 40% 15% 5% 0 60% 35% 10% 2 3 0 0 50% 35% 0 0 0 50%
II. a) Input Beispiel: t=1, Zone=2 Gesamtumsatz U = Fahrpreiseinnahmen E – Personalkosten P + Einnahme Bußgelder + -
II. a) Input Fahrgäste: 750. 000 Kontrolleure: 5 4 3 1 f(x)= 0, 27/sqrt(x)
I. Einleitung & Modellbildung II. Berechnung a) Input b) Ausgabe I: Lineare Optimierung c) Ausgabe II: Nash d) Ausgabe III: vollständige Kooperation e) Ausgabe IV: neues Bestrafungssystem III. Abschluss: Schwarzfahren – Ja oder Nein? IV. Anwendung Excel
II. b) Ausgabe I: Lineare Optimierung Verteilung v Anzahl x x 1 x 2 v 1 = (v 1 S, v 11, v 12 v 13) (erwischte Schwarzfahrer; . . . Personalkosten) v 2 = (v 2 S, v 21, v 22 v 23) . . . vn = (vn. S, vn 1, vn 2 vn 3) Problem: Nash-Gleichgewicht? n konvergiert gegen unendlich! . . . xn
II. b) Ausgabe I: Lineare Optimierung Beispiel: t=1, Zone=2 exemplarische Rechnung für eine Bimatrix: x 1=13 x 2=26 v 1 = (0, 385 ; 0, 308 ; 0, 23 ; 0, 07) (91; -2600) (162; -5200) v 2 = (0, 62 ; 0, 31 ; 0, 07 ; 0) (150; -2600) (270; -5200) Verteilung v Anzahl k v 2 dominiert v 1, da bei gleichen Personalkosten immer mehr Schwarzfahrer erwischt werden; untersuche also nur v 2 auf bestmöglichen Umsatz Gesamtumsatz ergibt: U(v 2, x 1) = 303. 000 U(v 2, x 2) = 305. 000
I. Einleitung & Modellbildung II. Berechnung a) Input b) Ausgabe I: Lineare Optimierung c) Ausgabe II: Nash d) Ausgabe III: vollständige Kooperation e) Ausgabe IV: neues Bestrafungssystem III. Abschluss: Schwarzfahren – Ja oder Nein?
II. c) Ausgabe II: Nash Reale Schwarzfahrerquote nicht identisch mit dem Nash-Gleichgewicht! Gründe: -wahre Größen nicht bekannt -ethisch (Moral-Betrug) -Peinlichkeitsfaktor -etc
II. c) Ausgabe II: Nash Beispiel: t=1, Zone 2 kontrollieren zahlen (-4, 40 ; -C 2 +4, 40 nicht zahlen (-40 nicht kontrollieren ) ( -4, 40 ; +4, 40 ) ; -C 2 + (20 -4, 40) ) ( 0 ; -4, 40 )
I. Einleitung & Modellbildung II. Berechnung a) Input b) Ausgabe I: Lineare Optimierung c) Ausgabe II: Nash d) Ausgabe III: vollständige Kooperation e) Ausgabe IV: neues Bestrafungssystem III. Abschluss: Schwarzfahren – Ja oder Nein?
II. d) Ausgabe III: vollständige Kooperation Nur Kooperatoren, keine Defektoren => jeder Fahrgast zahlt => Kontrolleure unnötig => Gewinn steigt => wird eingesetzt um Fahrpreis zu senken => erwartete Zahlung der Gemeinschaft wird geringer
II. d) Ausgabe III: vollständige Kooperation Beispiel: t=1, Zone=2 Liegt nun der neue Umsatz höher als der alte, so lässt sich der Fahrpreis bei gleichbleibendem Gewinn senken um den Faktor u/u‘. u entspricht dabei dem ursprünglichen Gewinn, der gleich bleiben soll!
II. d) Ausgabe III: vollständige Kooperation Problematik: Umsetzung in die Realität (Homo Oeconomicus) „Teufelskreis“ beginnt wieder: mehr Defektoren steigender Fahrpreis weniger zusätzlicher Gewinn Resultat: In der Praxis ist das Bestrafungssystem unerlässlich!
I. Einleitung & Modellbildung II. Berechnung a) Input b) Ausgabe I: Lineare Optimierung c) Ausgabe II: Nash d) Ausgabe III: vollständige Kooperation e) Ausgabe IV: neues Bestrafungssystem III. Abschluss: Schwarzfahren – Ja oder Nein?
II. e) Ausgabe IV: neues Bestrafungssystem bisher: 40 € Bußgeld bei sofortiger Zahlung keine unbedingte Speicherung der Personendaten => Fahrgast steht jedes mal wieder vor der selben Entscheidung ob zahlen oder schwarz fahren; Keine Veränderung der Nash-Werte! (folglich ist eine Iteration dieses Spiels unnütz) neu: gestaffeltes Bußgeld-System (bsp. : Österreich) hier: (q+1)*40 € Bußgeld fällig, für q = Anzahl wie oft man zuvor schon erwischt wurde Speicherung der Personendaten bei jedem Fall => Fahrgast steht in Abhängigkeit von q jedesmal wieder vor einem neuen „Spiel“ mit anderen Nash-Gleichgewichten!
II. e) Ausgabe IV: neues Bestrafungssystem Beispiel: t=1, Zone=2 q=2 kontrollieren zahlen (-4, 40 ; -C 2 +4, 40 nicht zahlen (-120 ; -C 2 + (60 -4, 40) ) ( 0 g 12 = 4, 40 / 120 = 4% a 12 = -C 2 / (0, 5 * 120) = 11% nicht kontrollieren ) ( -4, 40 ; +4, 40 ) ; -4, 40 )
I. Einleitung & Modellbildung II. Berechnung a) Input b) Ausgabe I: Lineare Optimierung c) Ausgabe II: Nash d) Ausgabe III: vollständige Kooperation e) Ausgabe IV: neues Bestrafungssystem III. Abschluss: Schwarzfahren – Ja oder Nein?
III. Abschluss: Schwarzfahren – Ja oder Nein? Zum Abschluss noch die Antwort auf die Frage, die wahrscheinlich für den studentischen Zuhörer als wirtschaftlichen und mathematischen Spieler am interessantesten ist: Was kostet Schwarzfahren in München und wann sollte man in jedem Fall ein Ticket kaufen? - vielleicht eher eine Frage der Wahrscheinlichkeitsrechnung als der Spieltheorie, aber in Zusammenhang zu diesem Projekt wird sich der ein oder andere (ohne Moral handelnde) sicher genau diese Frage das nächste Mal stellen : )
Danke für ihre Aufmerksamkeit
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