PROGRESSO GEOMTRICA P G MATEMTICA DISCRETA OBSERVE AS

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA P. G. MATEMÁTICA DISCRETA

OBSERVE AS SEQÜÊNCIAS: 2 4 8 16. . -2 -6 -18. . . -72 24 -8. . . 5 5. . .

Essas seqüências foram construídas de forma que cada termo, a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por uma constante. SEQÜÊNCIAS DESSE TIPO SÃO CHAMADAS DE PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS. Essa constante , que indicaremos por q, é denominada razão da progressão geométrica.

Assim na progressão geométrica: (2, 4, 8, 16, . . ) temos q = 2 e a P. G. é crescente. (-2, -6, -18, . . ) temos q = 3 e a P. G. é decrescente. (-72, 24, -8, . . . ) temos q = e a P. G é alternante. (5, 5, . . ) temos q = 1 e a P. G. é constante.

FÓRMULA DO TERMO GERAL DA Progressão Geométrica Seja (a 1, a 2, a 3, . . . , an) uma P. G. de razão q. Temos: a 2 = a 1. q a 3 = a 2. q logo, a 3 = a 1. q. q a 3 = a 1. q 2 a 4 = a 3. q logo, a 4 = a 1. q 2. q a 4 = a 1. q 3

Continuando assim podemos perceber que qualquer termo de uma P. G. pode ser expresso da seguinte forma: an = a 1. qn-1 Onde n indica a qual termo estamos nos referindo.

Exemplos de aplicação da fórmula: 1) Determine o décimo termo da P. G. (1, 3, 9, . . ) Sabemos que a 1 = 1 e q = 3. Assim, substituindo na fórmula podemos escrever: a 10 = 1. 310 -1 a 10 = 1. 39, portanto a 10 = 19683

2) Numa P. G. o 40 termo é igual 64 e o 10 termo é igual a 1. Determine a razão da P. G. e, em seguida, obtenha seu 80 termo. Como a 4 = a 1. q 3, temos: 64 = 1. q 3 Logo, q 3 = 64 então q = 4. Usando novamente a fórmula do termo geral, vamos determinar o 80 termo: a 8 = a 1. q 7 a 8 = 1. 47 a 8 = 16 384

Soma dos n primeiros termos de uma P. G. Para calcularmos a soma, usaremos a seguinte fórmula:

Veja alguns exemplos: 1) Calcule a soma dos cinqüenta primeiros termos de (3, 6, 12, . . . ). Substituindo na fórmula, temos: S 50 = 3. (250 – 1)

2) Quantos termos da P. G. (2, 6, 18, . . . ) devem ser considerados para que a soma resulte em 19682? Substituindo na fórmula, temos: 3 n – 1 = 19682 3 n = 19 683 Logo, n = 9 3 n = 3 9