PROGRESSO ARITMTICA P A Matemtica Discreta Observe as

PROGRESSÃO ARITMÉTICA P. A. Matemática Discreta

Observe as seqüências numéricas: 2 4 12 6 8. . . 9 6 5 3. . . 5 5 5. . .

Essas seqüências foram construídas de forma que cada termo (número), a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante.

Observe a construção da primeira seqüência: Escolhemos um número para ser o primeiro termo da seqüência: 2 Adicionamos a ele um número qualquer e obtemos o segundo termo: Para obter os demais termos, vamos adicionando algebricamente sempre o mesmo valor ao número anterior: +2 +2 +2

Seqüências desse tipo, nas quais cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante, são chamadas de Progressões Aritméticas Essa constante, que indicaremos por r, é denominada razão da P. A.

Assim na progressão aritmética, (2, 4, 6, 8, . . . ) temos r = 2 e a P. A. é dita crescente. (12, 9, 6, 3, . . . ) temos r = -3 e a P. A. é dita decrescente. (5, 5, . . . ) temos r = 0 e a P. A. é dita constante.

Termo Geral da Progressão Aritmética Vamos agora encontrar uma expressão que nos permita obter um termo qualquer de uma Progressão Aritmética (PA), conhecendo apenas o primeiro e a razão. Seja a 1 o primeiro termo e r a razão da P. A. O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a razão: a 2 = a 1 + r O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a razão: a 3 = a 2 + r Como: a 2 = a 1 + r tem-se que : a 3 = a 1 + r logo, a 3 = a 1 + 2 r

O valor do quarto termo será o terceiro mais a razão: a 4 = a 3 + r Como a 3 = a 1 + 2 r a 4 = a 1 + 2 r + r temos que : logo a 4 = a 1 + 3 r Continuando assim podemos perceber que qualquer termo de uma PA pode ser expresso da seguinte forma: an = a 1 + (n – 1). r onde “n” indica a qual termo estamos nos referindo.

Essa “fórmula” poderá ser usada sempre quisermos encontrar an, a 1, n ou r. Veja alguns exemplos: 1) Sendo a 1 = 3 e r = -2, calcule o décimo termo. Como queremos o décimo termo temos que n = 10. Substituindo na fórmula do termo geral teremos: a 10 =3 + (10– 1). (-2) a 10 = 3 + 9. (-2) a 10 = 3 - 18 a 10 = - 15

2) Determine o primeiro termo de uma P. A. de razão 3 e 200 termo igual a 30. Aplicando na fórmula temos: 30 = a 1 + (20– 1). 3 30 = a 1 + 19. 3 30 = a 1 + 57 a 1 = - 27

3) Calcule a razão da P. A. sabendo que a 1 = 5 e a 14 = - 21. Substituindo os valores na fórmula temos: - 21 = 5 + (14 – 1). r - 21 = 5 + 13. r - 21 – 5 = 13. r - 26 = 13. r r=-2

4) Calcule o número de termos da P. A. finita: (50, 47, 44, . . . , 14). Primeiro calculamos a razão: Substituindo na fórmula: 14 = 50 + (n – 1). (-3) 14 – 50 = (n -1). (-3) -36 = (n – 1). (-3) n - 1 = -36 / (-3) 12 = n - 1 Logo, n = 13 r = 47– 50 r = -3

SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA FINITA Observe a P. A. finita: Notamos que a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Consideremos a P. A. finita de razão r: (a 1, a 2, a 3, . . . , an-2, an-1, an) A soma dos seus termos pode ser escrita por: Portanto, Sn = (a 1 + an) + ( a 1 + an ) +. . + ( a 1 + an)) n/2 parcelas iguais a (a 1 + an)

Então: em que: * a 1 é o primeiro termo; * an é o enésimo termo; * n é o número de termos; * Sn é a soma dos n termos.

Veja alguns exemplos de utilização da fórmula da soma dos termos de uma P. A. 1) Calcule a soma dos 50 primeiros termos da P. A. (2, 6, . . ). Nessa P. A. infinita, os 50 primeiros termos formam uma P. A. finita, na qual a 1 = 2, r = 4 e n= 50 Devemos calcular an ou seja a 50: a 50 = 2 + 49. 4 = 2 + 196 = 198 Aplicando a fórmula da soma temos: Logo, S 50 = 5000

2) Em relação a seqüência dos números naturais ímpares, vamos calcular a soma dos 20 primeiros termos. A seqüência é (1, 3, 5, 7, . . . ) com r = 2. Calculando a 20 temos: a 20 = 1 + 19. 2 = 1 + 38 Então, a 20 = 39 Assim: Logo, S 20 = 400