ProgressionsEnglish ProgresiiRomn Final PROGRESII Geometrice Aritmetice ntoarcere PROGRESSION

Progressions-English Progresii-Română Final

PROGRESII Geometrice Aritmetice Întoarcere

PROGRESSION Geometrical Aritmetical Back

PROGRESIILE ARITMETICE

O progresie aritmetică (P. A. ) este un șir (an) cu n ≥ 1, pentru care fiecare termen al său, începând cu al doilea, se obține prin adunarea termenului precedent cu un număr constant, r, numit rație. p. a. : 2; 4; 6; 10; 12; . . . Sau: 2/3; 5/3; 8/3; 11/3; 14/3; … Dacă primul termen al șirului este notat cu a 1 , iar rația cu r. P. a. poate fi scrisă ca: Prin urmare, termenul n este dat de:

Suma primilor n termeni ai progresiei aritmetice, Sn este dată de: Sn = a 1 + a 2 + a 3 +. . . + an Sn = a 1 +(a 1 +r) + (a 1 +2 r) + (a 1 +3 r) +. . . + (a 1 +(n-1)r) Sn = a 1·n +r·[1+2+. . . +(n-1)] Sn = a 1·n +r·[(n-1)·n]/2 sau

Exemplul 1: Pentru șirul 3; 7; 11; 15; . . . Găsiți: a) al 10 -lea termen b) suma primilor 8 termeni Observăm că termenii șirului formeaza o p. a. cu a 1 = 3 și r = 4 Folosim: a) b) a 10 = 3+9· 4=39 . .

Exemplul 2: Pentru șirul 32; 28; 24; 20; . . . Găsiți: a) al 12 -lea termen b) suma primilor 7 termeni Pentru p. a. avem a 1 = 32 și r = -4 Folosim a) b) a 12 =32+11·(-4)=-12 1

Exemplul 3: Calculați a) b) Progresia este: 0 + 2 + 4 + 6 +. . . a) Avem numărul de termeni n = 11 Folosim: b) 1 S 11 =(11/2)·[2· 0+10· 2] =(3· 1 -5)+(3· 2 -5)+(3· 3 -5)+. . . +(3· 12 -5) =3·(1+2+3+. . . +12)-5· 12 =3·S 12 -5· 12 =232 -60 =172 = 110

Exemplul 4: (1) (2) Efectuăm scăderea (2) – (1) a 1+2· 19 a 20 = a 1 + 19·r = -2+ 19· 19=359 3 r = 57 a 1=36 -38 r = 19 a 1=-2

Exemplul 5: Rația unei p. a. se găsește prin diferența dintre un termen si termenul precedent. Un termen oarecare al p. a. este media aritmetică a termenilor alăturați. i) x=0 p. a. : 3, 1, -1 r = 1 -3 = -2 ii) 4 x-1 = 0

Exemplul 7: Să se determine primul termen și rația progresiei aritmetice dacă S 4=10 și S 6=21 Din (1) și (2) Întoarcere

PROGRESII GEOMETRICE

O progresie geometrică (GP) sau seria geometrică este procesul prin care fiecare termen este determinat prin înmulțirea termenului precedent cu un număr constant, denumit rație. p. g 5 + 10 + 20 + 40 + … sau 2 – 4 + 8 – 16 + … Dacă primul termen este notat cu a, iar rația cu r, seria poate fi scrisă ca: a + ar 2 + ar 3 + … Prin urmare, termenul n este dat de:

Suma primilor n termeni, Sn se găsește după cum urmează: Sn = a + ar 2 + ar 3 +…ar n– 2 + ar n– 1 …(1) Multiplicăm prin r: r Sn = ar + ar 2 + ar 3 + ar 4 + …ar n– 1 + ar n …(2) Acum scădem (2) – (1): Factori: De aici: r Sn – Sn = ar n – a Sn (r – 1) = a (r n – 1 )

Exemplul 1: Pentru șirul 2 + 6 + 18 + 54 + … Găsiți a) Al 10 -lea termen. b) Suma primilor 8 termeni a) Considerăm șirul dat o progresia geometrică, avem : a = 2, r = 3 Folosim: an = ar n– 1 a 10 = 2(3 9) = 39 366 = 6560

Examplul 2: Pentu șirul 32 – 16 + 8 – 4 + 2 … Găsiți a) Al 12 -lea termen. b) Suma primilor 7 termeni. a) Considerând șirul dat o p. g. putem indentifica: Folosim: an = ar n– 1 a 12 = 32 a = 32, r = 1 – 2 1 11 1 – – ( ) = 2 64 Putem scrie că: Ne asigurăm ca numitorul este diferit de 0. = 21. 5

Examplul 3: a) În primul rând, trebuie să găsim primii câțiva termeni : P. g este : 6 + 12 + 24 + 48 + … Avem a = 6, r = 2 Numărul de termeni, n = = 12 282 b) = (31 – 20 ) + (32 – 20 ) + (33 – 20 ) + …= = (31 + 32 + 33 + …+312 ) – ( 20 + …) de 12 ori – (20 × 12) = 797 160 – 240 = 796 920 11

Examplul 4: Într-o progresie geometrică, al treilea termen este de 36, iar al șaselea termen este 121, 5. Pentru progresia, găsiți primul și al douăzecilea termen. Al 3 -lea termen al p. g este a 3 = 36 Al 6 -lea termen este 121, 5 Folosim : an = ar n– 1 a 6 = 121, 5 ar 2 = 36 …. (1) ar 5 = 121, 5 …. (2) Acum, împărțim ecuația (2) cu ecuația (1): r = 1, 5 r 3 = 3, 375 Înlocuim această valoare în ecuația (1): Acum al 20 -lea termen a 20 = ar 19 a(1, 5)2 = 36 = 16 (1, 5)19 a = 16 = 35, 469 (Până la cel mai apropiat număr întreg)

Exemplul 5: Primii trei termeni consecutivi ai progresiei geometrice sunt x, x + 3, 4 x. Găsiți cele două valori posibile pentru numarul real x. Pentru fiecare valoare găsiți primii trei termeni ai progresiei și rația. Rația unei P. G. se determină prin împărțirea unui termen cu termenul anterior. Orice termen este media geometrică a termenilor alăturați. și Acum , x (4 x) = (x + 3) 4 x 2 = x 2 + 6 x + 9 3 x 2 – 6 x – 9 = 0 Divizăm cu 3 x 2 – 2 x – 3 = 0 (x – 3)(x + 1) = 0 Deci, fie x = 3, Sau x= – 1, Obținem termenii: 3, 6, 12 Obținem termenii: – 1, 2, – 4 cu ratia r = 2 cu ratia r = – 2

Examplul 6: £ 100 sunt investite într-un cont (câștigând 5% dobânda anuală), la începutul fiecărui an. Găsiti suma în cont la sfârșitul celui de-al 8 -lea an. Suma din cont la începutul fiecărui an câștigă dobândă de 5%. adică cantitatea este mărită cu 5%. Pentru a crește o sumă cu 5%, o multiplicăm cu 1, 05 Suma din cont va fi: La sfârșitul primului an = (100 × 1, 05) La începutul anului 2 = 100 + (100 × 1, 05) La sfârșitul anului 2 = [100 + (100 × 1, 05)] × 1, 05 = (100 × 1, 05) + (100 × 1, 052 ) La începutul anului 3 = 100 + (100 × 1, 05) + (100 × 1, 052 ) La sfârșitul anului 3 = {100 + (100 × 1, 05) + (100 × 1, 052 )} × 1, 05 = (100 × 1, 05) + (100 × 1, 052 ) + (100 × 1, 053)

Suma pe care o avem acum: La sfârșitul anului 3 = (100× 1, 05) + (100× 1, 052 ) + (100× 1, 053) Acesta este o p. g. cu a = 100 × 1, 05 = 105 și r = 1, 05 Vrem suma primilor 8 termeni : n = 8 Folosim = 1002, 66 Prin urmare, suma din cont după 8 ani este de £ 1002, 66 întoarcere

GEOMETRIC PROGRESSIONS

Geometric Progression (GP) or Geometric Series is one in which each term is found by multiplying the previous term by a fixed number (common ratio). e. g. 5 + 10 + 20 + 40 + … or 2 – 4 + 8 – 16 + … If the first term is denoted by a, and the common ratio by r, the series can be written as: a + ar + ar 2 + ar 3 + … Hence the nth term is given by:

The sum of the first n terms, Sn is found as follows: Sn = a + ar 2 + ar 3 +…ar n– 2 + ar n– 1 …(1) Multiply throughout by r: r Sn = ar + ar 2 + ar 3 + ar 4 + …ar n– 1 + ar n …(2) Now subtract (2) – (1): Factorise: Hence: r Sn – Sn = ar n – a Sn (r – 1) = a (r n – 1 )

Example 1: For the series 2 + 6 + 18 + 54 + … Find a) The 10 th term. b) The sum of the first 8 terms. a) For the series, we have: Using: un = ar n– 1 a = 2, r = 3 u 10 = 2(3 9) = 39 366 = 6560

Example 2: For the series 32 – 16 + 8 – 4 + 2 … Find a) The 12 th term. b) The sum of the first 7 terms. a) For the series, we have: Using: un = ar n– 1 a = 32, r = u 12 = 32 1 – 2 1 11 1 – – ( ) = 2 64 We can write this as: (This ensures that the denominator is positive). = 21, 5

Example 3: a) Firstly, we need to find the first few terms: The series is: 6 + 12 + 24 + 48 + … We have a = 6, r = 2 The number of terms, n = = 12 282 b) = (31 – 20 ) + (32 – 20 ) + (33 – 20 ) + … = (31 + 32 + 33 + …) – ( 20 + …) A Geometric Series – (20 × 12) 12 of these = 797 160 – 240 = 796 920 11

Example 4: In a Geometric Series, the third term is 36, and the sixth term is 121. 5. For the series, find the common ratio, the first term and the twentieth term. The third term is 36 i. e. u 3 = 36 The sixth term is 121. 5 Using: un = ar n– 1 i. e. u 6 = 121. 5 ar 2 = 36 …. (1) ar 5 = 121, 5 …. (2) Now, divide equation (2) by equation (1): r = 1, 5 So r 3 = 3, 375 Substitute this value into equation (1): Now the 20 th term, u 20 = ar 19 a(1. 5)2 = 36 = 16 (1, 5)19 a = 16 = 35 469 (To the nearest integer)

Example 5: The first three terms of a geometric progression are x, x + 3, 4 x. Find the two possible values for the common ratio. For each value find these first three terms, and the common ratio. The ratio of a G. P. is found by dividing a term by the previous term: Now, x (4 x) = (x + 3) 4 x 2 = x 2 + 6 x + 9 3 x 2 – 6 x – 9 = 0 Divide by 3: x 2 – 2 x – 3 = 0 (x – 3)(x + 1) = 0 So, either x = 3, or x = – 1, giving the terms: 3, 6, 12 with ratio r = 2 giving the terms: – 1, 2, – 4 with ratio r = – 2

Example 6: £ 100 is invested into an account (earning 5% compound interest per annum), at the start of every year. Find the amount in the account at the end of the 8 th year. The amount in the account at the start of each year earns 5% interest. i. e. The amount is increased by 5%. To increase an amount by 5%, multiply by 1. 05 The amount in the account: At the end of the 1 st year = (100 × 1. 05) At the start of the 2 nd year = 100 + (100 × 1. 05) At the end of the 2 nd year = [100 + (100 × 1. 05)] × 1. 05 = (100 × 1. 05) + (100 × 1. 052 ) At the start of the 3 rd year = 100 + (100 × 1. 05) + (100 × 1. 052 ) At the end of the 3 rd year = {100 + (100 × 1. 05) + (100 × 1. 052 )} × 1. 05 = (100 × 1. 05) + (100 × 1. 052 ) + (100 × 1. 053)

The amount we now have: At the end of the 3 rd year = (100× 1. 05) + (100× 1. 052 ) + (100× 1. 053) This is a GP With a = 100 × 1. 05 = 105 and r = 1. 05 We want the sum to 8 terms, i. e. n = 8 = 1002, 66 Hence, the amount in the account after 8 years is £ 1002, 66 Back

An arithmetic progression (A. P. ) is a string (an), n ≥ 1 where each new termafter the first is obtained by adding the preceding term with a number r called ratio. p. a. : 2; 4; 6; 10; 12; . . . Sau: 2/3; 5/3; 8/3; 11/3; 14/3; … If the first term of the string is denoted by a and the ratio by r, the progression can be written as: Therefore, the n-th term is given by:

ARITHMETIC PROGRESS

The sum of the first n terms of the progression, S is given by: Sn = a 1 + a 2 + a 3 +. . . + an Sn = a 1 +(a 1 +r) + (a 1 +2 r) + (a 1 +3 r)+. . . +(a 1 +(n-1)r) Sn = a 1·n +r·[1+2+. . . +(n-1)] Sn = a 1·n +r·[(n-1)·n]/2 sau

Example 1: For the string: 3; 7; 11; 15; . . . Find: a) The 10 th term b) The sum of the first 8 terms Note that the terms of the string make an arithmetic progression with: a 1 = 3 and r=4 We use: a) b) a 10 = 3+9· 4=39

Example 2: For the string: 32; 28; 24; 20; . . . Find: a) The 12 th term b) The sum of the first 7 terms For this progression we a 1 = 32 și r = -4 We use: a) b) a 12 =32+11·(-4)=-12 . .

Example 3: a) Determine a) b) The progression is: 0 + 2 + 4 + 6 +. . . We have the terms count n = 11 We use: b) S 11 =(11/2)·[2· 0+10· 2] =(3· 1 -5)+(3· 2 -5)+(3· 3 -5)+. . . +(3· 12 -5) =3·(1+2+3+. . . +12)-5· 12 =3·S 12 -5· 12 =232 -60 =172 = 110

Example 4: (1) (2) We make the drop: (2) – (1) . . 3 r = 57 r = 19

Example 5: The ratio of an arithmetic progression id found by lowering a term with the previous one. Any term, excepting the first and last ones, is equal with the arithmetic mean of the adjacent terms. i) x=0 p. a. : 3, 1, -1 r = 1 -3 = -2 ii) 4 x-1 = 0

From (1) and (2) Back