Progressioni aritmetiche descrizione elementare Problema quanti mattoni k
Progressioni aritmetiche descrizione elementare
Problema= quanti mattoni (k) sono necessari per costruire una scala dal piano a 1=0 a livello a 8 = 16 ? K=2 Usando mattoni di diverso colore per ogni gruppo verticale quanti mattoni per ogni gruppo si devono usare ? 16 14 12 10 8 6 4 2 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9
Problema= quanti mattoni (k) sono necessari per costruire una scala dal piano a 1=0 a livello a 8 = 16 ? K=2 Altezza totale mattoni Sn= n*(a 1+an)/2 9*(0+16)/2= 72 Numero mattoni 72/ 2 = 36 K 16 14 12 a 1=0 k=0 a 2=1 k=2 a 3=2 k=4 a 4=3 k=6 a 5=4 k=8 a 6=5 k=10 a 7=6 k=12 a 8=7 k=14 a 9=8 k=16 sn = 36 k 10 8 6 4 2 0 a 1 a 2 a 3 0 1 2 a 4 a 5 3 4 a 6 5 a 7 6 Mattoni per scalino e altezza a 8 a 9 7 8 mattoni k
Problema= quanti mattoni (k) sono necessari per costruire una scala dal piano a 1=0 a livello a 5 = 16 ? Altezza totale mattoni Sn= n*(a 1+an)/2 5*(0+16)/2= 40 Numero mattoni 40/ 4 = 10 K K=4 16 a 1=0 k=0 a 2=1 K=4 a 3=2 k=8 a 4=3 k=12 a 5=4 k=16 sn = 10 k 12 8 8 6 4 4 0 a 1 a 2 a 3 0 1 2 a 4 3 Mattoni per scalino e altezza a 5 4 mattoni k
Problema= quanti mattoni (k) sono necessari per costruire una scala dal piano a 1=4 a livello a 3 = 16 ? Altezza totale mattoni Sn= n*(a 1+an)/2 4*(4+16)/2= 40 K=4 16 Numero mattoni 40/ 4 = 10 K Sottraendo 4 mattoni della base: 6 k 12 8 Mattoni per scalino e altezza 4 a 1=0 k=4 a 2=1 K=8 a 3=2 k=12 a 4=3 k=16 sn = 6 k 0 a 1 a 2 a 3 0 1 2 a 4 3 mattoni k
concludendo n n n Il numero di mattoni necessario varia In funzione del livello iniziale dal quale si inizia la costruzione a 1 e dal livello finale an E dallo spessore dei mattoni k
La differenza tra due termini contigui risulta costante : ragione , k Ogni termine si può ottenere aggiungendo la ragione al termine precedente 16 14 12 10 8 6 2 4 Ragione k 2 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 an(8) termini
Ogni termine può essere ottenuto aggiungendo al primo, k , un numero di volte pari alla differenza tra l’indice del termine e l’indice del primo termine a 1 Es. a 6 = a 1 + (6 -1)*k……. a 8= a 1 + (8 -1)*k an = a 1 +(n-1)*k 16 14 12 10 8 6 2 4 Ragione k 2 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 an(8)) termini
Il termine ennesimo della progressione aritmetica si può calcolare con la formula an = a 1 + (n-1)*k a 6 = 2 + (5)*2 = 12. a 8= 2 + (7)*2=16 a 8=2+7 k =16 16 14 a 7 = 2+6 k=14 12 a 6=2+5 k=12 10 a 5=2+4 k=10 8 A 4=2+3 k=8 6 2 4 2 a 1 Ragione k 2 2 a 3 2 a 4 2 a 5 2 a 6 2 2 a 7 a 8 termini
Il primo termine , a 1, della progressione aritmetica si può calcolare con la formula a 1 = an - (n-1)*k a 1 =a 8 - (8 -1)*2 = 16 – (7)*2 = 2 16 a 1= a 5 -(5 -1)*k = 10 -(4)*2=2 14 12 10 8 6 2 4 Ragione k 2 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 termini
Conoscendo il valore dei termini estremi della progressione a 1, an, e il numero dei termini, n, è possibile calcolare la ragione k k = (an –a 1) / (n-1)… (a 8 -a 1) /(n-1) = (16 -2)/(8 -1)= 14/7=2 K =(a 6 -a 1)/(n-1) = (12 -2)/(6 -1)=10/5 = 2 16 14 12 10 8 6 2 4 Ragione k 2 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 termini
Conoscendo il valore dei termini estremi della progressione a 1, an, e la ragione k è possibile calcolare il numero totale dei termini n n = ((an-a 1)/k)+1 N = ((a 8 -a 1)/k)+1 = (16 -2)/2)+1 = 8 16 14 12 10 8 6 2 4 Ragione k 2 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 termini
Osservazione: la somma dei termini equidistanti dagli estremi è costante ed è uguale alla somma dei termini estremi (a 1+a 9)=(a 2+a 8)=(a 3+a 7)=(a 4+a 6)=16 K=2 16 16 16 10 16 16 2 0 a 1 12 10 6 4 14 8 6 4 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9
Osservazione: la somma dei termini equidistanti dagli estremi è costante ed è uguale alla somma dei termini estremi (a 1+a 9)=(a 2+a 8)=(a 3+a 7)=(a 4+a 6)=16 K=2 Sn = 16*4+8 = 72 …Sn = n*((a 1+a 9/2) =9*8= 72 16 16 16 10 16 16 2 0 a 1 12 10 6 4 14 8 6 4 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9
La somma di n termini si ottiene moltiplicando il numero n dei termini per la semisomma degli estremi Sn = n * ((a 1+an)/2) K=2 Sn = n*((a 1+a 9/2) =9 *((0+16/2)=72 16 16 16 10 16 16 2 0 a 1 12 10 6 4 14 8 6 4 2 a 3 a 4 a 5 36 k * 2 = 72 a 6 a 7 a 8 a 9
Inserimento di h medi aritmetici tra due termini assegnati x, y : h=3 Calcolo la ragione con la formula k = (an-a 1)/(n-1) numero termini totale risulta 2 ( x, y) + h = h+2 quindi (n-1) = (h+2 -1) = h+1 k = (y –x) /(h+1) K =(y-x)/(h+1) = (14 -6)/(3+1) = 2 m 1= x+k =6+2=8 m 3 m 2=x+2 k=6+2*2=10 m 2 m 1 m 3=x+3 k=6+3*2=12 X=6 6 Y=14 8 10 12 14
Inserimento a 8=y+k = 14+2 di 3 medi = 16 aritmetici tra due termini assegnati interni a 9=y di + una 2 k =progressione 14+2*2 =18 aritmetica : x=6, y=14 completare a 10 = y + la 3 kprogressione = 14+3*2=20 per un totale di 10 termini K =(y-x)/(h+1) = (14 -6)/(3+1) = 2 m 1= x+k =6+2=8 m 2=x+2 k=6+2*2=10 m 3=x+3 k=6+3*2=12 m 3 m 2 a 2=x-k=6 -2=4 m 1 a 1=x-2 k=6 -4=2 a 1 a 2 X=6 a 4 a 5 a 6 a 3 2 4 6 Y=14 a 8 a 9 a 10 18 20 a 7 8 10 12 14 16
Fine descrizione arrivederci
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