Programski paket Mathematica i primena u elektrostatici Maturski

Programski paket Mathematica i primena u elektrostatici Maturski rad Nenad Živić

Šta je Mathematica? • Mathematica je programski paket koji se koristi na poljima matematike, fizike, inženjerstva itd. • Mathematica je moćan alat koji se koristi za izračunavanja, programiranje i grafički prikaz funkcija • Mathematica sadrži hiljade operacija, što je čini pogodnom za najrazličitije namene

Mogućnosti programskog paketa Mathematica • Rad ovog programskog paketa odvija se kroz dve celine – radnog okruženja (notebook) i jezgra, gde se izvode sva izračunavanja (kernel) • U liniji In[n] korisnik unosi svoju naredbu, a Mathematica vraća rezultat u liniji Out[n] • Mathematica obrađuje sve podatke redom, tako da je moguće uneti više naredbi odjednom i ostaviti ih Mathematici da ih reši

Aritmetičke operacije • U Mathematicu je integrisan veliki broj osnovnih matematičkih funkcija, kao što su eksponencijalna i logaritamska funkcija, trigonometrijske i hiperboličke funkcije i druge • Takođe, integrisane su naredbe za generaciju random brojeva, zaokruživanje brojeva. . .

Aritmetičke operacije - primeri In[1] : = 11*(7 -2) Out[1] = 55 In[2] : =Sqrt[3]*Sqrt[12] Out[2] =6 In[10] : = Sum[Exp[i*3], {i, 1, 5}]//N Out[10] = 3. 4403 × 106

Manipulisanje izrazima • U Mathematici je takođe moguće manipulisati izrazima na različite načine, sređivati ih, uvoditi pretpostavke, vršiti transformacije. . . • Najosnovnije funkcije u ove svrhe su Expand (do kraja razvija izraz), Factor (vrši faktorizaciju polinoma), Collect (sređuje polinom u obliku stepena dominantne promenljive) i Simplify (vrši sve moguće transformacije nad izrazom)

Manipulisanje izrazima - primeri In[4] : = Expand[(3+x)(x+y)+(x+y)2] Out[4] = 3 x + 2 x 2 +3 y + 3 xy + y 2 In[5] : = Factor[1 + x 2 + 4 y 2 + x(2 + 4 y)] Оut[5] = (1 + x + 2 y)2 In[6] : = Simplify[Sin[x]^2 + Cos[x]^2] Out[6] = 1

Grafika • Naredbom Plot može se nacrtati grafik bilo koje funkcije oblika y=f(x) In[7] : = Plot[Arc. Tan[x], {x, -10 , 10}] Out[7] =

Grafika • Naredbom Plot 3 D može se nacrtati trodimenzionalni grafik funkcije In[8] : = Plot 3 D[{x^2 + y^2, -y^2 - x^2}, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}] Out[8] =

Grafika • Takođe, postoje funkcije Contour. Plot i Contour. Plot 3 D (crta bilo kakvu krivu, tj. jednačina koju unesemo ne mora biti funkcija) i Parametric. Plot 3 D (i x i y i eventualna z koordinata zavise od promenljivog parametra t) • Pomoću ovih funkcija moguće je crtati bukvalno bilo kakvu krivu ili figuru u koordinatnom sistemu

Grafika - primeri • Evo i primera nekih grafika dobijenih funkcijama Parametric. Plot i Contour. Plot 3 D:

Diferenciranje i integracija • Mathematica je u stanju da rešava izvode (D), integrale (Integrate) i diferencijalne jednačine (DSolve), što je čini moćnom alatkom u naučne ali i u edukativne svrhe • Ukoliko neki integral ili diferencijalnu jednačinu nije moguće analitički rešiti, može se posegnuti za numeričkim rešavanjem (NIntegrate i NDSolve)

Diferenciranje i integracija primeri In[9] : = D[x^2] Out[9] = 2 x In[10] : = DSolve[{y’[x] + 2 y[x] == x^2, y[0] == 0}, y[x], x] Out[10] = {{y[x] → ¼ e-2 x (-1 + e 2 x – e 2 xx + 2 e 2 xx 2 ) }} In[11] : = Integrate[Log[x^2], {x, 0, 10}] Out[1] = 20 (-1 + Log[10])

Osnove elektrostatike • Elektrostatika je nauka koja se bavi proučavanjem naelektrisanih stacionarnih ili sporih čestica • Među naelektrisanim česticama deluje Kulonova sila čiji se intenzitet računa po formuli:

Osnove elektrostatike • Svaka naelektrisana čestica oko sebe emituje električno polje oblika: • Linije sile električnog polja – to su linije provučene kroz električno polje tako da se tangenta na liniju u svakoj tački poklapa sa vektorom jačine polja u toj tački

Osnove elektrostatike • Linije sile, po dogovoru, izviru iz pozitivnog a uviru u negativno naelektrisanje

Raderfordovo rasejanje • Raderfordovo rasejanje je zapravo kretanje naelektrisane čestice projektila u polju druge nelektrisane čestice – tzv. čestice mete.

Modeliranje rasejanja • Modeliranje Raderfordovog rasejanja svodi se na numeričko resavanje diferencijalne jednačine koja opisuje kretanje naelektrisane čestice, i grafički prikaz tog rešenja pomoću funkcija Plot i Manipulate

Funkcija Manipulate • Manipulate je funkcija za interaktivnu vizuelizaciju i najčešće ima oblik Manipulate[expr, {u, umin, umax}] • Na slici je manipulacija funkcijom Sin(ax+b)

Funkcija Manipulate • Funkcijom Manipulate mozemo menjati broj čestica prijektila, vrednosti naelektrisanja, poziciju mete itd.

Funkcija Manipulate • Naravno, mozemo se ‘igrati’ brojem čestica, njihovom početnom brzinom i drugim parametrima. . .

Zakljucak • Videli smo kako koristeći programski paket Mathematica možemo bez previše programerskog znanja modelirati jedan fizički proces • Dakle, Mathematicu očigledno mogu koristiti i početnici i ljudi koji se ozbiljno bave naukom, što je čini jedinstvenim i sveobuhvatnim paketom

HVALA NA PAŽNJI (APLAUZ)