Programowanie w VBA Metody numeryczne cz 3 Cakowanie

Programowanie w VBA Metody numeryczne część 3. Całkowanie metodą Eulera i Simpsona.

Krztyna teorii Dana jest funkcja f(x). Jeśli jest ona ciągła w przedziale [a, b] i znana jest funkcja F(x) spełniająca warunek: F’(x)=d. F(x)/dx=f(x) to całkę oznaczoną oblicza się ze wzoru: Jeżeli funkcja F(x) nie istnieje lub jest zbyt trudna do wyznaczenia metodami analitycznymi, można do obliczenia całki oznaczonej użyć metody numerycznej. Potrzebne są do tego wartości w punktach funkcji lub wyznaczone takie wartości w wyniku eksperymentu.

Całka i kwadratura Całkowanie numeryczne (kwadratura numeryczna) – obliczenie przybliżonej wartości całki przez sumowanie pól tworzących przybliżony obszar całkowania pod krzywą funkcji. Im większa ilość tych podpól (pionowych "pasków" o szerokości Δx), tym dokładniejsze oszacowanie całki – przy nieskończonej ilości równo rozmieszczonych pól jest to po prostu dokładny obszar całki, taki jak ze wzoru na całkę oznaczoną (czyli suma pól o nieskończenie małej szerokości - dx). Y X a b

Metoda Newtona-Cotesa Polega na podzieleniu zakresu całkowania [a, b] na n równych odcinków h ( h=Δx=(b-a)/n ), gdzie miejsca podziału są nazywane "węzłami" interpolacji (xi). Następnie zliczamy pola kolejnych obszarów ze wspólnego wzoru, znając wartości funkcji w węzłach (lub licząc je na potrzeby całkowania numerycznego). Dokładność wyznaczenia całki zależy od ilości podziałów, a także od tego, ilu węzłów użyjemy do obliczenia pola pojedynczego podpola.

Metoda prostokątów Metoda polega na obliczeniu sumy pól prostokątów utworzonych przez odcinek między węzłami xi+1 i wysokość w połowie tego odcinka: P = ΣPi = h∙Σf(xi+h/2) Y X b xi+3 xi+2 xi+1 (xi+h) xi+h/2 a (xi)

Metoda prostokątów Y X b a (xi) xi+h/2 Y X b xi+1 (xi+h) xi+h/2 a (xi)

Metoda trapezów (Eulera) Metoda polega na obliczeniu sumy pól trapezów utworzonych przez węzły xi i xi+1 oraz wartości w punktach xi i xi+1: P = ΣPi = h/2∙Σ(f(xi)+f(xi+1)) Y X b xi+3 xi+2 xi+1 (xi+h) a (xi)

Metoda trapezów (Eulera) Y X b a (xi) Y X b xi+1 (xi+h) a (xi)

Metoda parabol (Simpsona) Metoda polega na obliczeniu sumy pól pod parabolami utworzonymi na trzech kolejnych węzłach xi, xi+1 i xi+2: P = ΣPi = h/3∙Σ(f(xi)+4∙f(xi+1)+f(xi+2)) Y X b xi+3 xi+2 xi+1 (xi+h) a (xi)

Y Metoda parabol (Simpsona) Nie da się z dwóch węzłów X b a (xi) Y X b xi+1 (xi+h) a (xi)

Wzory Metoda prostokątów: P = ΣPi = h∙Σf(xi+h/2) Metoda Eulera: P = ΣPi = h/2∙Σ(f(xi)+f(xi+1)) → h/2∙((f(a)+f(b))+2∙Σf(xi)) Metoda Simpsona: P = ΣPi = h/3∙Σ(f(xi)+4∙f(xi+1)+f(xi+2)) → h/3∙((f(a)+f(b))+4∙Σf(xśrodkowe)+2∙Σf(xzewnętrzne)) Podobieństwo wzorów nie jest przypadkowe: wszystkie są zbudowane na członach wielomianu Lagrange'a (ogólna metoda Newtona-Cotesa).

Dokładność a potrzeba Jakiej dokładności rzeczywiście trzeba? d = 8, 6 km O = 27 km Obliczenia inżynierskie: ε = 3 mm / 27 km → 7 cyfr znaczących Obliczenia teoretyczne: ε = ułamki J vs. dziesiątki MJ → → 8 -9 cyfr znaczących

Błędy oszacowania • Im mniejsze zakresy (odległości między węzłami), więc im więcej podziałów – tym dokładniejszy wynik; • Z powyższego wynika, że im równiejszy podział, tym lepiej (równe podprzedziały); • Im wyższego stopnia wielomian przybliża całkę wielomianu wyższego stopnia, tym dokładniejszy wynik (zasadniczo metoda Simpsona jest lepsza od Eulera) – dla danej liczby podziałów i kryterium zbieżności; • Im mniejsza krzywizna funkcji, tym dokładniejszy wynik przy danej liczbie podziałów;