Program Dinamis Dynamic Programming Program Dinamis Program Dinamis

Program Dinamis (Dynamic Programming)

Program Dinamis • Program Dinamis (dynamic programming): metode pemecahan masalah dengan cara menguraikan solusi menjadi sekumpulan langkah (step) atau tahapan (stage) sedemikian sehingga solusi dari persoalan dapat dipandang dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan.

Pada penyelesaian persoalan dengan metode ini: 1. terdapat sejumlah berhingga pilihan yang mungkin, 2. solusi pada setiap tahap dibangun dari hasil solusi tahap sebelumnya, 3. kita menggunakan persyaratan optimasi dan kendala untuk membatasi sejumlah pilihan yang harus dipertimbangkan pada suatu tahap.

Tinjau graf di bawah ini. Kita ingin menemukan lintasan terpendek dari 1 ke 10.

Prinsip Optimalitas • Pada program dinamis, rangkaian keputusan yang optimal dibuat dengan menggunakan Prinsip Optimalitas. • Prinsip Optimalitas: jika solusi total optimal, maka bagian solusi sampai tahap ke-k juga optimal.

• Prinsip optimalitas berarti bahwa jika kita bekerja dari tahap k ke tahap k + 1, kita dapat menggunakan hasil optimal dari tahap k tanpa harus kembali ke tahap awal. • ongkos pada tahap k +1 = (ongkos yang dihasilkan pada tahap k ) + (ongkos dari tahap k ke tahap k + 1)

• Dengan prinsip optimalitas ini dijamin bahwa pengambilan keputusan pada suatu tahap adalah keputusan yang benar untuk tahap selanjutnya. • Pada metode greedy hanya satu rangkaian keputusan yang pernah dihasilkan, sedangkan pada metode program dinamis lebih dari satu rangkaian keputusan. Hanya rangkaian keputusan yang memenuhi prinsip optimalitas yang akan dihasilkan.

Karakteristik Persoalan Program Dinamis 1. Persoalan dapat dibagi menjadi beberapa tahap (stage), yang pada setiap tahap hanya diambil satu keputusan. 2. Masing-masing tahap terdiri dari sejumlah status (state) yang berhubungan dengan tahap tersebut. Secara umum, status merupakan bermacam kemungkinan masukan yang ada pada tahap tersebut.

Graf multitahap (multistage graph). Tiap simpul di dalam graf tersebut menyatakan status, sedangkan V 1, V 2, … menyatakan tahap.

3. Hasil dari keputusan yang diambil pada setiap tahap ditransformasikan dari status yang bersangkutan ke status berikutnya pada tahap berikutnya. 4. Ongkos (cost) pada suatu tahap meningkat secara teratur (steadily) dengan bertambahnya jumlah tahapan. 5. Ongkos pada suatu tahap bergantung pada ongkos tahap-tahap yang sudah berjalan dan ongkos pada tahap tersebut.

6. Adanya hubungan rekursif yang mengidentifikasikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k memberikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k + 1. 7. Prinsip optimalitas berlaku pada persoalan tersebut.

Dua pendekatan PD • Dua pendekatan yang digunakan dalam PD: maju (forward ) dan mundur (backward ).

• Misalkan x 1, x 2, …, xn menyatakan peubah (variable) keputusan yang harus dibuat masing-masing untuk tahap 1, 2, …, n. Maka, 1. Program dinamis maju. Program dinamis bergerak mulai dari tahap 1, terus maju ke tahap 2, 3, dan seterusnya sampai tahap n. Runtunan peubah keputusan adalah x 1, x 2, …, xn.

2. Program dinamis mundur. Program dinamis bergerak mulai dari tahap n, terus mundur ke tahap n – 1, n – 2, dan seterusnya sampai tahap 1. Runtunan peubah keputusan adalah xn, xn-1, …, x 1.

Langkah-langkah Pengembangan Algoritma Program Dinamis 1. Karakteristikkan struktur solusi optimal. 2. Definisikan secara rekursif nilai solusi optimal. 3. Hitung nilai solusi optimal secara maju atau mundur. 4. Konstruksi solusi optimal.

Travel Salesman Problem (TSP) • Tentukan lintasan terpendek dari simpul 1 ke simpul 10:

Penyelesaian dengan Program Dinamis Mundur • Misalkan x 1, x 2, …, x 4 adalah simpul-simpul yang dikunjungi pada tahap k (k = 1, 2, 3, 4). • Maka rute yang dilalui adalah 1 x 2 x 3 x 4 , yang dalam hal ini x 4 = 10.

Pada persoalan ini, • Tahap (k) adalah proses memilih simpul tujuan berikutnya (ada 4 tahap). • Status (s) yang berhubungan dengan masing tahap adalah simpul-simpul di dalam graf.

Perhitungan Maju • Apakah hasilnya sama ? • Coba buktikan……. .

Dynamic Programming (2)

Kasus 2 Badan kesehatan WHO bermaksud untuk menyempurnakan pelayanan kesehatan di negara yang sedang berkembang. Saat ini WHO mempunyai 5 tim kesehatan yang harus ditempatkan ke tiga negara untuk mencapai tujuan tersebut. WHO harus dapat menentukan berapa tim yang akan dialokasikan kepada masing-masing negara sehingga pertambahan umur orang di setiap negara akan maksimal

Kasus 2 : Jumlah Tim Pertumbuhan Umur (ribuan) 1 2 3 0 0 1 45 20 50 2 70 45 70 3 90 75 80 4 105 110 100 5 120 150 130

Solusi : Stage : 3 tahapan State : Jumlah tim yang akan dialokasikan untuk tiap negara

Perhitungan mundur : Negara 3 S 0 1 2 3 4 5 f 3* X 3*

Stage 1 : Negara 3 f 3 S 0 1 2 3 4 0 0 1 0 50 2 0 50 70 3 0 50 70 80 4 0 50 70 80 100 5 0 50 70 80 100 f 3* X 3* 0 0 50 1 70 2 80 3 100 4 130 5 5 130

Stage 2 : Negara 2 f 2 S 0 0 1 2 3 4 5 1 2 f 2* 3 4 5 X 2*

Stage 2 : Negara 2 f 2 S 0 1 2 3 4 0 0 1 50 20 2 70 70 45 3 80 90 95 75 4 100 115 125 110 5 130 125 145 160 f 2* X 2* 0 0 50 0 70 0/1 95 2 125 3 160 4 5 150

Stage 3 : Negara 1 f 1 S 0 0 1 2 3 4 5 1 2 f 1* 3 4 5 X 1*

Stage 3 : Negara 1 f 1 S 0 1 2 3 4 0 0 1 50 45 2 70 95 70 3 95 115 120 90 4 125 140 140 105 5 160 170 165 160 155 f 1* X 1* 0 0 50 0 95 1 120 2 140 1, 2, 3 170 1 5 120

Solusi Optimal : • Negara 1 : 1 tim • Negara 2 : 3 tim • Negara 3 : 1 tim

Kasus : Batasan Kapasitas • Sebuah perusahaan angkutan laut mendapatkan order untuk mengangkut 3 jenis barang dengan data sebagai berikut : Jenis Barang Berat (ton) Nilai (juta) 1 2 40 2 1 20 3 4 70

• Jika kapal yang akan memuat barang tersebut hanya mampu membawa maksimum 6 ton, tentukan barang manakah yang harus diangkut agar memperoleh nilai maksimum tanpa melanggar batasan kapasitas alat angkut.

Solusi : • Stage : 3 tahapan • State : Jenis Barang • Perhitungan maju / mundur

Perhitungan Maju • Stage 1 : Barang 1 • 1 unit = 2 ton • Jumlah unit : 6/2 = 3 unit fx 1 Berat Unit 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 fx 1* X 1

• Stage 1 : Barang 1 fx 1 1 2 3 fx 1* X 1 Berat Unit 0 0 0 1 0 0 0 2 0 40 40 1 3 0 40 40 1 4 0 40 80 80 2 5 0 40 80 80 2 6 0 40 80 120 3 120

• Stage 2 : Barang 2 • 1 unit = 1 ton • Jumlah unit : 6/1 = 6 unit fx 2 Berat Unit 0 1 2 3 4 5 6 fx 2* X 2

• Stage 2: Barang 2 fx 2 Berat Unit 0 0 0 1 0 20 2 40 20 40 3 40 60 4 80 60 80 5 80 100 6 120 100 1 2 3 4 5 fx 2* X 2 0 0 20 1 40 0, 2 60 1, 3 80 0, 2, 4 100 1, 3, 5 120 0, 2, 4, 6 6 120

• Stage 3 : Barang 3 • 1 unit = 4 ton • Jumlah unit : 6/4 = 1. 5 ~ 1 unit fx 3 Berat Unit 0 1 2 3 4 5 6 0 1 fx 3* X 3

• Stage 3 : Barang 3 fx 3 1 fx 3* X 3 Berat Unit 0 0 0 1 20 20 0 2 40 40 0 3 60 60 0 4 80 70 80 0 5 100 90 100 0 6 120 110 120 0

Solusi Optimal ALTERNATIF 1 2 Jenis Barang Unit 1 3 6 2 2 0 0 3 0 0 Nilai Maksimal 3 Berat Unit Berat 4 1 2 0 0 2 2 4 4 6 6 0 0 0 120 Juta Rupiah

Dynamic Programming (3)

Penganggaran Modal (Capital Budgeting) • Sebuah perusahaan berencana akan mengembangkan usaha (proyek) melalui ketiga buah pabrik (plant) yang dimilikinya. Setiap pabrik diminta mengirimkan proposal (boleh lebih dari satu) ke perusahaan untuk proyek yang akan dikembangkan. Setiap proposal memuat total biaya yang dibutuhkan (c) dan total keuntungan (revenue) yang akan diperoleh (R) dari pengembangan usaha itu. Perusahaan menganggarkan Rp 5 milyar untuk alokasi dana bagi ketiga pabriknya itu.

• Tabel berikut meringkaskan nilai c dan R untuk masing-masing proposal proyek. Proposal proyek bernilai-nol sengaja dicantumkan yang berarti tidak ada alokasi dana yang diberikan untuk setiap pabrik. Tujuan Perusahaan adalah memperoleh keuntungan yang maksimum dari pengalokasian dana sebesar Rp 5 milyar tersebut.

Solusi : • Stage : 3 tahapan • State : Jumlah dana proyek yang dialokasikan pada tiap pabrik

Perhitungan maju • Pabrik 1 fx 1 Dana 0 1 2 3 4 5 P 1 P 2 P 3 fx 1*

Pabrik 1 fx 1 P 2 P 3 fx 1* 0 P 1 5 P 2 Dana P 1 0 0 1 0 5 2 0 5 6 6 P 3 3 0 5 6 6 P 3 4 0 5 6 6 P 3 5 0 5 6 6 P 3

Pabrik 2 fx 2 Dana 0 1 2 3 4 5 P 1 P 2 P 3 P 4 fx 2*

Pabrik 2 fx 2 P 3 P 4 fx 2* Dana P 1 0 0 0 P 1 1 5 5 P 1 2 6 8 8 P 2 3 6 13 9 13 P 2 4 6 14 14 12 14 P 2/P 3 5 6 14 15 17 17 P 4

Pabrik 3 fx 3 Dana 0 1 2 3 4 5 P 1 fx 3* P 2 x 3*

Pabrik 3 fx 3* 0 P 1 Dana P 1 P 2 0 0 1 5 3 5 P 1 2 8 8 8 P 1/P 2 3 13 11 13 P 1 4 14 16 16 P 2 5 17 17 17 P 1/P 2

Solusi Optimal ALT 1 Proyek ALT 2 Dana Proyek ALT 3 Dana Proyek Dana Pabrik 1 P 2 1 P 3 2 P 2 1 Pabrik 2 P 4 4 P 2 2 P 3 3 Pabrik 3 P 1 0 P 2 1

Integer (1/0) Knapsack Pada persoalan ini, 1. Tahap (k) adalah proses memasukkan barang ke dalam karung (knapsack) (ada 3 tahap). 2. Status (y) menyatakan kapasitas muat karung yang tersisa setelah memasukkan barang pada tahap sebelumnya. Dari tahap ke-1, kita masukkan objek ke-1 ke dalam karung untuk setiap satuan kapasitas karung sampai batas kapasitas maksimumnya. Karena kapasitas karung adalah bilangan bulat, maka pendekatan ini praktis.

• Misalkan ketika memasukkan objek pada tahap k, kapasitas muat karung sekarang adalah y – wk. • Untuk mengisi kapasitas sisanya, kita menerapkan prinsip optimalitas dengan mengacu pada nilai optimum dari tahap sebelumnya untuk kapasitas sisa y – wk ( yaitu fk-1(y – wk)).

Penyelesaian dengan Program Dinamis • Tahap (k) adalah proses mengalokasikan dana untuk setiap pabrik (ada 3 tahap, tiap pabrik mendefinisikan sebuah tahap). • Status (xk) menyatakan jumlah modal yang dialokasikan pada setiap tahap (namun terikat bersama semua tahap lainnya). • Alternatif (p) menyatakan proposal proyek yang diusulkan setiap pabrik. Pabrik 1, 2, dan 3 masing-masing memiliki 3, 4 dan 2 alternatif proposal.

• Selanjutnya, kita bandingkan nilai keuntungan dari objek pada tahap k (yaitu pk) plus nilai fk 1(y – wk) dengan keuntungan pengisian hanya k – 1 macam objek, fk-1(y). • Jika pk + fk-1(y – wk) lebih kecil dari fk-1(y), maka objek yang ke-k tidak dimasukkan ke dalam karung, tetapi jika lebih besar, maka objek yang ke-k dimasukkan.

• fk(y) adalah keuntungan optimum dari persoalan 0/1 Knapsack pada tahap k untuk kapasitas karung sebesar y. • f 0(y) = 0 adalah nilai dari persoalan knapsack kosong (tidak ada persoalan knapscak) dengan kapasitas y, • fk(y) = - adalah nilai dari persoalan knapsack untuk kapasitas negatif. Solusi optimum dari persoalan 0/1 Knapsack adalah fn(M).

Latihan • Perencanaan perkotaan menyampaikan satu usulan tentang alokasi terbaik dari stasiun pemadam kebakaran untuk tiga daerah. Satu daerah dapat diberikan dari 0 s/d 3 stasiun. Karena keterbatasan dana, jumlah stasiun terpaksa dibatasi sampai 5 saja. Berikut data mengenai kerusakan harta benda (jutaan rupiah) berkaitan dengan pengalokasian stasiun tiap daerah. Daerah Jumlah stasiun tiap daerah 0 1 2 3 1 2, 0 0, 9 0, 3 0, 2 2 0, 5 0, 3 0, 2 0, 1 3 1, 5 1, 0 0, 7 0, 3

Solusi • Stage : 3 • State : Jumlah stasiun pemadam kebakaran

Daerah 1 Stasiun fx 1* 0 1 2 3 0 2. 0 - - - 2 0 1 2. 0 0. 9 - - 0. 9 1 2 2. 0 0. 9 0. 3 - 0. 3 2. 0 0. 9 0. 3 0. 2 3 4 2. 0 0. 9 0. 3 0. 2 3 5 2. 0 0. 9 0. 3 0. 2 3

Daerah 2 Stasiun fx 2* 0 1 2 3 0 2. 5 - - - 2. 5 0 1 1. 4 2. 3 - - 1. 4 0 2 0. 8 1. 2 2. 2 - 0. 8 0 3 0. 7 0. 6 1. 1 2. 1 0. 6 1 4 0. 7 0. 5 1. 0 0. 5 1/2 5 0. 7 0. 5 0. 4 2/3

Daerah 3 Stasiun Fx 3 fx 3* 0 1 2 3 0 4. 0 - - - 4. 0 0 1 2. 9 3. 5 - - 2. 9 0 2 2. 3 2. 4 3. 2 - 2. 3 0 3 2. 1 1. 8 2. 1 2. 8 1 4 2. 0 1. 6 1. 5 1. 7 1. 5 2 5 1. 9 1. 5 1. 3 1. 1 3

Solusi optimal Daerah 1 : 2 stasiun Daerah 2 : 0 stasiun Daerah 3 : 3 stasiun Total kerusakan harta benda : Rp. 1. 100. 000