PROFESORA GLADYS ZORRILLA OBJETIVOS 1 Identificar los teoremas

PROFESORA: GLADYS ZORRILLA

OBJETIVOS: • 1) Identificar los teoremas de Thales en su forma particular y general. • 2) Aplicar los teoremas de Thales en ejercicios prácticos y problemas de planteo.

Nació alrededor del año 640 AC en Mileto, Asia Menor (ahora Turquía). Era un hombre que se destacó en varia áreas como: comercio, ingeniería, astronomía y geometría. Fue considerado uno de los siete sabios de Grecia Una anécdota contada por Platón: “Una noche Thales estaba observando el cielo y tropezó. Un sirviente lo Levantó y le dijo: cómo pretendes entender lo que pasa en el cielo, si no puedes ver lo que está a tus pies”.

Se cuenta que comparando la sombra de un bastón y la sombra de las pirámides, Thales midió, por semejanza, sus alturas respectivas. La proporcionalidad entre los segmentos que las rectas paralelas determinan en otras rectas dio lugar a lo que hoy se conoce como el teorema de Thales.

Puesto que los rayos del Sol inciden paralelamente sobre la Tierra, se pueda observar que: Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes Podemos, por tanto, establecer la proporción H =h s S De donde H= h • S s de la pirámide) (altura de bastón) Pirámide H(altura h s (sombra Rayos solares S (sombra pirámide)

Aplicaciones de esta idea… Calcula la altura del siguiente edificio Escribimos la proporción x y al resolverla tenemos 3 • x = 5 • 15 x = 75 3 X = 25 m 3 m 12 m 15 m

1 ER TEOREMA PARTICULAR DE THALES: Al cortar los lados de un ángulo por dos paralelas, los segmentos que intersecan los lados son proporcionales. HIPÓTESIS: L 1 // L 2 TESIS:

EJEMPLO 1: En la figura L 1 // L 2 // L 3 , T y S transversales, calcula la medida del L 1 trazo x Ordenamos los datos en la proporción, de acuerdo al teorema de Thales Es decir: 8 24 = x 15 Y resolvemos la proporción 24 • x = 8 • 15 X =8 • 15 24 X = 5 L 2 T x S 8 24 15 L 3

EJEMPLO 2: En la figura L 1 // L 2 // L 3 , T y S son transversales, calcula x y el trazo CD L 3 L 2 Formamos la proporción 3 2 = x+4 x+1 L 1 D Resolvemos la proporción 3(x + 1) = 2(x + 4) 3 x + 3 = 2 x + 8 T x+4 C 3 x - 2 x = 8 - 3 X=5 Luego, como CD = x + 4 S 3 CD= 5 + 4 = 9 2

2 DO TEOREMA PARTICULAR DE THALES: Al cortar los lados de un ángulo por dos paralelas, los segmentos que se forman desde el vértice a los puntos de intersección de las paralelas son proporcionales entre sí. HIPÓTESIS: L 1 // L 2 TESIS:

• EJEMPLO 1: En el dibujo: Si L 1 // L 2 // L 3, entonces AC mide? . Aplicando Thales, tenemos: S T D A B C X 3 L 1 E L 2 5 X-2 12 F L 3

• EJEMPLO 2: En el dibujo: Si L 1 // L 2 // L 3, entonces el valor de x es? . 15 x +60 –x 2 -4 x = 18 x –x 2 -72 +4 x

3 ER TEOREMA PARTICULAR DE THALES: Al cortar los lados de un ángulo por dos paralelas, éstas son entre sí como los segmentos medidos desde las paralelas al vértice. HIPÓTESIS: L 1 // L 2 TESIS:

• EJEMPLO : En el dibujo: Si L 1 // L 2 , entonces el valor de BC es? .

Triángulos de Thales En dos triángulos de Thales, sus lados, tienen la misma razón de semejanza A De acuerdo a esto, en la figura BC// ED, entonces, con los lados de los triángulos AED y ABC ocurre: AE ED = AB BC E O también AE = AB ED BC B A esta forma de tomar los trazos, se le llama “la doble L” D C

EJEMPLO: En el triángulo ABC, DE//BC. Calcule x y el trazo AE Por que x+3+x = 2 x+3 Formamos la proporción x+3 8 C 2 x+3 = 12 D Resolvemos la proporción 8 8(2 x + 3) = 12( x + 3) 16 x + 24 = 12 x + 36 16 x – 12 x = 36 – 24 4 x = 12 12 A x+3 E X = 12 = 3 4 Por lo tanto, si AE = x + 3 = 3 + 3 = x 6 B

"Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales entre sí. En el dibujo: Si L 1 // L 2 // L 3, // L 4 , T y S transversales, los segmentos a, b, c, d , e y f son proporcionales T Es decir: a = c b d a b c S L 1 d L 2 e L 3 f L 4

HIPÓTESIS: L 1 // L 2 TESIS:

q Ejemplo 1: En la siguiente figura L 1//L 2. Si BP = 6 cm. , CP = 4 cm. , CD = 3 cm. , AB = ? X 6 4 3

q Ejemplo 2: Para calcular el ancho de un río, Juana usó una cuerda de 30 metros como se ve en el dibujo, y midió la distancia d = 6 metros y h = 4 metros. ¿Cuál es el ancho del río? . X h d

Teorema de la bisectriz de un ángulo interior de un triángulo La bisectriz de un ángulo interior de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos, cuyas medidas son proporcionales a la de los lados del correspondiente ángulo del triángulo. C b a b A v u B

Ejemplo 1: En un ABC, CD es bisectriz del ángulo en C ; a = 8 cm , b = 20 cm y c = 14 cm. Calculemos u y v. b A v c D a u B C

Ejemplo 2: En un ABC con CD bisectriz del ángulo ACB ; a = 25 cm , b = 35 cm y u = 20 cm. Calcula v C y c. a b A v D u c B

Teorema de la bisectriz de un ángulo exterior de un triángulo La bisectriz de un ángulo exterior de un vértice del triángulo divide exteriormente al lado opuesto en la razón de los lados que forman el ángulo interior adyacente. C b A c a B u D v v=c+u

Ejemplo : En un ABC, con CB bisectriz del ángulo exterior en C ; a = 6 cm , b = 12 cm y AB = 8 cm. Calcula u. C b A a B v u D