Prof dr A Achterberg IMAPP www astro ru
Prof. dr. A. Achterberg, IMAPP www. astro. ru. nl/~achterb/ Newtoniaanse Kosmologie College 2: Hubble’s wet, schaalfactor & roodverschuiving & Friedmann’s vergelijking
Wat is de vorige keer behandeld? �Waarnemingen die de basis vormen van het - Oerknalmodel Vluchtsnelheid verre sterrenstelsels Kosmische Achtergrondstraling Voorwereldlijke Nucleosynthese �Hubble’s wet en de leeftijd van het heelal �Roodverschuiving
Hubble’s interpretatie: Doppler Effect
Belang van H 0 : leeftijd en horizon afstand Leeftijd heelal:
Belang van H 0 : leeftijd en horizon afstand Leeftijd heelal: Horizonschaal: De lichtsnelheid is eindig: c~300, 000 km/s! Je kunt niet verder kijken dan
H 0 ~ 68 km/s per Mpc Historische bepalingen Hubble constante H 0
Geboorte idee van een evoluerend heelal • Lichtsnelheid (c) is een universele constante; - snelheden zijn niet simpel op te tellen of af te trekken. • Ruimte en tijd zijn “dynamisch” en niet vast: - afstandsmeting en gemeten kloksnelheid hangen af van de toestand van de waarnemer; • Zwaartekracht (massa) bepaalt de geometrische eigenschappen van ruimte-tijd.
Dynamische heelalmodellen
Klassieke Friedmann modellen: Friedman-Lemaitre model:
Kan Newtoniaanse Kosmologie eigenlijk wel? Verschillen Newton/Einstein (Algemene Relativiteit) Newton Einstein (ART) Ruimte is: Vast, vlak, absoluut en onveranderlijk Dynamisch, kan worden vervormd: ruimte-kromming! Tijd is: Universeel: voor iedere waarnemer gelijk Hangt af van status waarnemer: - zijn/haar snelheid; - sterkte zwaartekracht Lichtsnelheid (c) is: Oneindig Universeel, gelijk aan c Universele expansie is: Beweging door vaste ruimte: expansie heeft altijd een middelpunt Uitzetten van de ruimte zelf: er is géén middelpunt!
Hoe ver kom je “op zijn Newtons”: • Hubble’s wet: Ja, met subtiel andere interpretatie; • Friedmann’s vergelijkingen: idem; • Kromming heelal: Strikt genomen: nee! • Horizon begrip: Vereist slechts acceptatie eindige lichtsnelheid+ eindige leeftijd heelal • Beschrijving materie in een uitdijend heelal : Ja, met behulp van een klein beetje quantummechanica; • Donkere energie: Ja, door introductie vacuümdichtheid;
Deel 2 a: Hubble’s wet als het gevolg van een schaaltransformatie De vergelijking die ons vertelt hoe het heelal uitdijt!
The ‘rubber ruler’ analogie voor Hubble’s wet:
Theorie: Rubberen meetlat analogie suggereert: Iedere (voldoend grote) afstand in een uitdijend heelal is te schrijven als: Pas op: R(t) is niet “ de straal van het heelal”: R(t) is dimensieloos!
Consequenties simpele aanname: • Afstandsverhoudingen veranderen niet; • Expansie is in alle richtingen even snel (isotropie); • Expansie is overal even snel (uniformiteit); • Te bewijzen: het leidt tot Hubble’s wet!
Sterrenstelsel B waarneemtijdstip t 2 > t 1 waarneemtijdstip t 1 Waarnemer Sterrenstelsel A Schaalfactorverhouding!
De ballonanalogie (in twee dimensies!)
Hubble’s wet als een gevolg van uniforme expansie:
Hubble’s wet als een gevolg van uniforme expansie:
Hubble’s wet als een gevolg van uniforme expansie:
Hubble’s wet als een gevolg van uniforme expansie: Conclusie:
Conclusie: Aanname D(t)=a. R(t) leidt automatisch tot Hubble’s wet V(t) = H(t)D(t) !
Conclusie: Aanname D(t)=a. R(t) leidt automatisch tot Hubble’s wet V(t) = H(t)D(t) ! Consequenties: 1. De Hubble constante is i. h. a. helemaal niet constant! 2. De keuze van de schaalfactor R(t) is nogal arbitrair: een schaaltransformatie R(t) λR(t) , a a/λ verandert niets!
Deel 2 b: Friedmann’s vergelijking De vergelijking die ons vertelt waarom en hoe snel het heelal uitdijt!
Friedmann’s wet via Newtons wetten voor beweging en zwaartekracht (!) • Deze afleiding gebruikt Newtonse Zwaartekracht; • Friedmann gebruikt Algemene Relativiteitstheorie; • Vergelijking ziet er hetzelfde uit, maar. . . . • . . . de interpretatie is anders!
Test-sterrenstelsel met massa m, op de rand van een uniform gevulde en expanderende bol met massa M en straal r(t)=a. R(t).
Een test-sterrenstelsel met massa m, op de rand van een uniform gevulde, expanderende bol met massa M en straal r(t)=a. R(t). Belangrijke grootheid: massa-dichtheid in de bol
Twee mogelijke methodes van aanpak: 1. Wet van energiebehoud 2. Bewegingsvergelijking
Newtoniaanse afleiding m. b. v. energiebehoud: Test-sterrenstelsel met massa m :
Energie-behoud: Hubble’s wet: Massa in bol:
Energie-behoud: Hubble’s wet: Massa in bol:
Energiebehoud + Hubble’s wet geeft dus: Alexander Friedmann
Type oplossingen (globale indeling)
Schaalfactor (afstand tussen sterrenstelsels) Standaardheelal (Friedmann, 1922/24) ijl (open) heelal vlak heelal (dit vereist de speciale kritische dichtheid) dicht (gesloten) heelal “Leeftijd” t-t 0 (in miljarden jaren)
Betekenis van de parameter k: Relativiteitstheorie: k > 0 (E < 0) het teken van k bepaalt de geometrie van het heelal k < 0 (E > 0) k = 0 (E = 0)
Speciale klasse modellen: vlakke modellen met k=0. Friedmann’s vergelijking wordt:
Speciale klasse modellen: vlakke modellen met k=0. Friedmann’s vergelijking wordt: Voor de oplossing heb je een dichtheidswet nodig, b. v. :
Expliciete oplossing voor ρ ~ -3 R :
Kritische Dichtheid: de speciale dichtheid van het vlakke model
De Omega-parameter(s) 1. Meet Ω en je kent de toekomst van het heelal! 2. Een vlak heelal heeft altijd Ω=1
Schaalfactor R(t) Kosmologische classificatie van Friedmann modellen: Lage dichtheid Ω<1 Ω=1 Kritische dichtheid Ω >1 Hoge dichtheid tijd: H 0 t
Nogmaals de roodverschuiving tijd Afstand bij ontvangst van het foton
Uit de definitie van roodverschuiving: Berekening voor kleine afstand!
Uit de Doppler formule + Hubble wet:
Twee uitdrukkingen voor roodverschuiving: van tijdsafgeleide: Doppler formule + Hubble: Definitie van de Hubble ‘constante’:
Eerste subtiele verschil tussen Newton’s/Einstein’s zienswijze: Newton/Doppler: de snelheid van de bron is een snelheid door de vaste ruimte: λ=(1+z)λem geldt meteen vanaf het emissie-tijdstip in het ruststelsel van de waarnemer! Einstein/Doppler: de ruimte zelf expandeert, de bron “staat stil”! De roodverschuiving bouwt geleidelijk op tijdens de reis van het foton!
stilstaand sterrenstelsel Golflengte wordt geleidelijk langer “bewegend” sterrenstelsel t. g. v. expansie heelal
Samenvatting: In een uitdijend heelal met schaalfactor R(t):
- Slides: 52