Prodotti notevoli 1 I Prodotti Notevoli J J

Prodotti notevoli 1

I Prodotti Notevoli J J J Quadrato di binomio Cubo di binomio Somma per differenza 2

Quadrato di un Binomio Ø Ø Ø Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti 3

Quadrato di binomio: significato algebrico (a+b)2 = (a+b) = = a 2+ab+ab+b 2 = = a 2+2 ab+b 2 4

Quadrato di binomio: la regola (a+b) 2 =a 2 + 2 ab + b 2 Il quadrato di un binomio è un trinomio avente per termini: • il quadrato del 1° monomio • il doppio prodotto del 1° monomio per il 2° • il quadrato del 2° monomio 5

Quadrato di binomio: significato geometrico (a + b)2 (a + b) a ab b 2 ab b (a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2 6

Quadrato di binomio: esempi (2 a+b)2 = (2 a)2+2(2 a)(+b)+(+b)2 = 4 a 2 + 4 ab + b 2 (2 a - b)2 = (2 a)2+2(2 a)(-b)+(-b)2 = 4 a 2 - 4 ab + b 2 (3 a+2 b)2 = (3 a)2 +2(3 a)(+2 b) +(+2 b)2 = 9 a 2 +12 ab +4 b 2 (3 a -2 b)2 = (3 a)2 +2(3 a)(-2 b) +(-2 b)2 = 9 a 2 - 12 ab +4 b 2 (-3 a -2 b)2 = (-3 a)2 +2(-3 a)(-2 b)+(-2 b)2 = 9 a 2 +12 ab +4 b 2 (-3 a+2 b)2 = (-3 a)2 +2(-3 a)(+2 b)+(+2 b)2 = 9 a 2 -12 ab+4 b 2 7

Quadrato di binomio: esercizi @ @ @ @ @ (3 a + 5)2 = (2 a - 3 b)2 = (-2 a – 3 b)2 = (x 2 + 3 y)2 = (5 x – 3 y)2 = (5 a 2 + 2 b 2)2 = (-3 x 3 – 2 y 2)2 = (2 xy – 3 y)2 = (7 ab – 2 a)2 = 9 a 2 + 30 a + 25 4 a 2 - 12 ab + 9 b 2 4 a 2 + 12 ab + 9 b 2 x 4 + 6 x 2 y + 9 y 2 25 x 2 – 30 xy + 9 y 2 25 a 4 + 20 a 2 b 2 + 4 b 4 9 x 6 + 12 x 3 y 2 + 4 y 4 4 x 2 y 2 - 12 xy 2 + 9 y 2 49 a 2 b 2 - 28 a 2 b + 4 a 2 8

Quadrato di binomio: esercizi @ @ @ @ 9

Cubo di un Binomio Ø Ø Ø Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti 10

Cubo di binomio: significato algebrico (a+b)3 = (a+b)2 (a+b) = = (a 2+2 ab+b 2) (a+b) = = a 3+a 2 b+2 ab 2+b 3= = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 11

Cubo di binomio: la regola (a+b) 3 =a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 Il cubo di un binomio è un quadrinomio avente per termini: • il cubo del 1° monomio • il triplo prodotto del quadrato del 1° per il 2° • il triplo prodotto del 1° per il quadrato del 2° • il cubo del 2° monomio 12

Cubo di binomio: significato geometrico (a + b)3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 13

Cubo di binomio: esempi (2 a+b)3 = (2 a)3 +3(2 a)2(+b) +3(2 a)(+b)2 +(+b)3 = = 8 a 3 + 12 a 2 b + 6 ab 2 + b 3 (2 a - b)3 = (2 a)3+3(2 a)2(-b)+3(2 a)(-b)2 +(-b)3 = = 8 a 3 - 12 a 2 b + 6 ab 2 - b 3 (-3 a -2 b)3 = (-3 a)3 +3(-3 a)2 (-2 b)+3(-3 a)(-2 b)2 +(-2 b)3 = = -27 a 3 - 54 a 2 b - 36 ab 2 - b 3 (-3 a +2 b)3 = (-3 a)3 +3(-3 a)2 (+2 b)+3(-3 a)(+2 b)2 +(+2 b)3 = -27 a 3 + 54 a 2 b - 36 ab 2 + b 3 14

Cubo di binomio: esercizi @ @ @ @ 8 a 3+12 a 2+6 a+1 (2 a + 1)3 = 27 a 3 -27 a 2 b+6 ab 2 -b 3 (3 a - b)3 = (-2 x - 3 y)3 = -8 x 3 -36 x 2 y-54 xy 2 -27 y 3 a 6+9 a 4 b+27 a 2 b 2+27 b 3 (a 2 + 3 b)3 = 8 a 3 -36 a 2 b+54 ab 2 -27 b 3 (a - 3 b)3 = (a 2 + 2 b 2)3 = a 6+6 a 4 b 2+12 a 2 b 4+8 b 6 (3 a 3 - 2 b 2)3 = 27 a 9 -54 a 6 b 2+36 a 3 b 4 -8 b 6 (2 ab - 3 b)3 = 8 a 2 b 2 -36 a 2 b 3+54 ab 3 -27 b 3 15

Cubo di binomio: esercizi @ @ @ @ 16

Potenza n-esima di binomio: Triangolo di Tartaglia (a+b)0 = 1 (a+b)1 = 1 (a+b)2 = 1 (a+b)3 = 1 (a+b)4 = 1 (a+b)5 = (a+b)6 = 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 1 20 1 4 10 15 1 6 1 In questo prospetto: * ogni riga inizia e termina con 1 * ogni altro numero si ottiene sommando quelli sovrastanti della riga precedente 17

Potenza n-esima di binomio: la regola (a+b)n = an+nan-1 b + ……. + nabn-1+bn La potenza n-esima di un binomio è un polinomio omogeneo di grado n, ordinato e completo secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, i cui coefficienti si ottengono dal Triangolo di Tartaglia. In pratica, si procede nel seguente modo: • si scrive la parte letterale di ogni monomio tenendo conto che è di grado n e le potenze di a decrescono (da n fino a 0) e di b crescono(da 0 ad n) • si calcolano i coefficienti di ogni monomio con il Triangolo di Tartaglia 18

Potenza n-esima di binomio: esempi (a + b)4 = (a)4+4(a)3(+b)+6(a)2(+b)2+4(a)(+b)3+(+b)4 = = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 ab 3 + b 4 (a - b)4 = (a)4+4(a)3(-b)+6(a)2(-b)2+4(a)(-b)3+(-b)4 = = a 4 - 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 - 4 ab 3 + b 4 (2 a+b)5 = =(2 a)5+5(2 a)4(b)+10(2 a)3(b)2+10(2 a)2(b)3 +5(2 a)(b)4+(b)5 =32 a 5+5(16 a 4)(b)+10(8 a 3)(b 2) +10(4 a 2)(b 3) +5(2 a)(b 4)+b 5 =32 a 5 + 80 a 4 b + 80 a 3 b 2 + 40 a 2 b 3 + 10 ab 4 + b 5 (3 a-2 b)4 = =(3 a)4 +4(3 a)3(-2 b)+6(3 a)2(-2 b)2+4(3 a)(-2 b)3+(-2 b)4 = =81 a 4 +4(27 a 3)(-2 b)+6(9 a 2 )(+4 b 2)+4(3 a)(-8 b 3)+16 b 4= = 81 a 4 - 216 a 3 b + 216 a 2 b 2 - 96 ab 3 + 16 b 4 19

Somma per differenza Ø Ø Cerchiamo la regola La regola Esempi Esercizi proposti 20

Somma per differenza: significato algebrico (a+b) (a-b) = = a 2 - ab + ab - b 2 = = a 2 - b 2 21

Somma per differenza: la regola (a+b)(a-b)=a 2 -b 2 Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine 22

Somma per differenza: esempi (2 a+b) = (2 a)2 - (b)2 = 4 a 2 - b 2 (2 a - 5 b) (2 a + 5 b) = (2 a)2 - (5 b)2 = 4 a 2 - 25 b 2 (3 a+2 b) (3 a-2 b) = (3 a)2 - (2 b)2 = 9 a 2 - 4 b 2 (-a +2 b) (-a - 2 b) = (-3 a)2 - (2 b)2 = 9 a 2 - 4 b 2 (4 a + b) (- 4 a + b) = (b)2 - (4 a)2 = b 2 - 16 a 2 (-3 b+2 a) (+3 b+2 a) = (2 a)2 - (3 b)2 = 4 a 2 - 9 b 2 23