Processi Relativistici e Spazio delle Fasi Processi Relativistici

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Processi Relativistici e Spazio delle Fasi

Processi Relativistici e Spazio delle Fasi

Processi Relativistici (1) • Richiamo: Matrice S e matrice T per transizioni non relativistiche:

Processi Relativistici (1) • Richiamo: Matrice S e matrice T per transizioni non relativistiche: • Estensione a processi relativistici: • H’ e’ densita’ volumetrica d’Hamiltoniana d’interazione Fabrizio Bianchi 2

Processi Relativistici (2) • Commenti: • Equivalenza massa-energia consente creazione e distruzione di particelle.

Processi Relativistici (2) • Commenti: • Equivalenza massa-energia consente creazione e distruzione di particelle. – tramite l’interazione viene distrutto lo stato iniziale e creato lo stato finale. • Gli elementi di matrice sono al minimo del secondo ordine: scattering di 2 particelle richiede interazione di ciascuna con il campo che media l’interazione. – L’interazione avviene tramite lo scambio di particelle virtuali (offmass-shell perche’ non rispettano la relazione E 2=p 2+m 2) • d(4)(pi-pf) garantisce conservazione del 4 -impulso • Sviluppo perturbativo di solito rappresentato pittorescamente tramite diagrammi di Feynman, nella loro versione covariante Fabrizio Bianchi 3

Processi Relativistici (3) • Probabilita’ di transizione per unita’ di tempo: • Estensione al

Processi Relativistici (3) • Probabilita’ di transizione per unita’ di tempo: • Estensione al caso relativistico: • Densita’ di rate d’interazione – Da integrare sullo spazio delle fasi accessibile allo stato finale Fabrizio Bianchi 4

Processi Relativistici (4) • Normalizzazione: 1 particella in volume V • Imponendo condizioni periodiche

Processi Relativistici (4) • Normalizzazione: 1 particella in volume V • Imponendo condizioni periodiche su ciascun lato (L=V 1/3): • Da cui il numero di stati per intervallo di px: Fabrizio Bianchi 5

Processi Relativistici (5) • Per N particelle: • Problema: e’ una espressione non invariante

Processi Relativistici (5) • Per N particelle: • Problema: e’ una espressione non invariante di Lorentz. Infatti: Fabrizio Bianchi 6

Processi Relativistici (6) • Pero’: • E’ invariante. Allora ridefiniamo dn come: • Attenzione:

Processi Relativistici (6) • Pero’: • E’ invariante. Allora ridefiniamo dn come: • Attenzione: il fattore di spazio delle fasi ora contiene N fattori extra 1/Ei che occorre compensare. Si ridefinisce l’elemento di matrice Fabrizio Bianchi 7

Processi Relativistici (7) Fabrizio Bianchi 8

Processi Relativistici (7) Fabrizio Bianchi 8

Processi Relativistici (8) • NB: rate di transizione NON e’ invariante di Lorentz. –

Processi Relativistici (8) • NB: rate di transizione NON e’ invariante di Lorentz. – Integrale e’ somma di quantita’ invarianti – La divisione per Ea o Ea. Eb rende il rate non invariante • Ok per decadimento: inverso del rate e’ la vita media dello stato (instabile) che non e’ ovviamente un invariante (dilatazione dei tempi). • Anche per le reazioni il rate misurato in interazioni/unita’ di tempo non e’ invariate visto che l’unita’ di tempo dipende dal riferimento scelto. • E’ possibile definire una quantita’ invariante: la sezione d’urto totale Fabrizio Bianchi 9

Processi Relativistici (9) • Sezione d’urto totale: • Flusso: Fabrizio Bianchi 10

Processi Relativistici (9) • Sezione d’urto totale: • Flusso: Fabrizio Bianchi 10

Processi Relativistici (10) • M contiene le funzioni d’onda delle paricelle iniziali e finali.

Processi Relativistici (10) • M contiene le funzioni d’onda delle paricelle iniziali e finali. • Decadimenti: • Reazioni: Fabrizio Bianchi 11

Processi Relativistici (11) Fabrizio Bianchi 12

Processi Relativistici (11) Fabrizio Bianchi 12

Invarianti e Non • N. B. : • σ : Sez. d'urto totale e’

Invarianti e Non • N. B. : • σ : Sez. d'urto totale e’ invariante di Lorentz – Significato classico: Area efficace intercettata dal proiettile – Area: Non dipende dal riferimento (grandezza trasversale) • Γ : Rate totale di decadimento: non e’ invariante di Lorentz – Vita media: t = 1/Γ – Dipende dal riferimento (v. dilatazione dei tempi) Fabrizio Bianchi 13

Spazio delle Fasi (1) • Supponiamo che M non dipenda dagli impulsi delle particelle

Spazio delle Fasi (1) • Supponiamo che M non dipenda dagli impulsi delle particelle finali. Esce dall’integrale che quindi si riduce al puro fattore di spazio delle fasi: • Spesso evidenza effetti dinamici rilevata confrontando le distribuzioni statistiche osservate con quelle previste dal solo spazio delle fasi. • Rn e’ funzione dell’energia totale (uguale in stati iniziale e finale) ed e’ una misura del peso statistico totale della configurazione dello stato finale. – Possibile limitare l’integrazione ad alcuni dei gradi di liberta’ dello stato finale, ottendo distribuzioni statistiche di Rn rispetto ad una o piu’ variabili dello stato finale Fabrizio Bianchi 14

Spazio delle Fasi (2) • Proprieta’ dell’elemento invariante di spazio delle fasi: Fabrizio Bianchi

Spazio delle Fasi (2) • Proprieta’ dell’elemento invariante di spazio delle fasi: Fabrizio Bianchi 15

Spazio delle Fasi a Due Corpi (1) • L’integrale totale sullo spazio delle fasi

Spazio delle Fasi a Due Corpi (1) • L’integrale totale sullo spazio delle fasi a 2 corpi: • Integrando su p 2 (usando la d): • L’argomento della d e’ un invariante e si puo’ calcolare in qualsiasi riferimento. Nel CM: Fabrizio Bianchi 16

Spazio delle Fasi a Due Corpi (2) • Quindi: • Poiche’: Fabrizio Bianchi 17

Spazio delle Fasi a Due Corpi (2) • Quindi: • Poiche’: Fabrizio Bianchi 17

Spazio delle Fasi a Due Corpi (3) • R 2(E) si puo’ scrivere: Fabrizio

Spazio delle Fasi a Due Corpi (3) • R 2(E) si puo’ scrivere: Fabrizio Bianchi 18

Spazio delle Fasi a Due Corpi (4) • Il rate totale e’: • Per

Spazio delle Fasi a Due Corpi (4) • Il rate totale e’: • Per ottenere la distribuzione angolare occorre dividete il rate differenziale per il rate totale: • Spazio delle fasi e’ fattore puramente statistico -> distribuzione angolare uniforme. Fabrizio Bianchi 19

Spazio delle Fasi a Tre Corpi (1) Fabrizio Bianchi 20

Spazio delle Fasi a Tre Corpi (1) Fabrizio Bianchi 20

Spazio delle Fasi a Tre Corpi (2) Fabrizio Bianchi 21

Spazio delle Fasi a Tre Corpi (2) Fabrizio Bianchi 21

Spazio delle Fasi a Tre Corpi (3) • Eseguendo l’integrazione su cosq 13 (si

Spazio delle Fasi a Tre Corpi (3) • Eseguendo l’integrazione su cosq 13 (si riporta ad un’integrazione che elimina la d visto che cosq 13 dipende da E 2): • Le variabili angolari non sono vincolate e si integrano subito. Rimane: • Dove l’integrale e’ esteso alla regione cinematicamente permessa (Dalitz Plot !). Il rate differenziale: • E’ costante e mostra che, in assenza di effetto dell’elemento di matrice, la popolazione statistica del DP e’ uniformemente distribuita. Fabrizio Bianchi 22

p-p -> p+p-n • In assenza di effetti dinamici: Dalitz Plot uniforme – Nel

p-p -> p+p-n • In assenza di effetti dinamici: Dalitz Plot uniforme – Nel plot dati ad un energia nel CM di circa 3. 8 Ge. V • Addensamenti e rarefazioni nei dati sono segno di forti effetti dinamici • E’ equivalente presentare il plot in termini di masse invarianti al quadrato o di energie: Fabrizio Bianchi 23