PROCESAMIENTO DE SEALES Universidad Tcnica Particular de Loja

PROCESAMIENTO DE SEÑALES Universidad Técnica Particular de Loja Escuela de Electrónica y Telecomunicaciones Carlos Carrión Betancourth EQBYTE. INC dsputpl@gmail. com

Contenido de la presentación • Característica Básicas • Diseño a partir de polos y ceros • Filtros FIR – Método de las ventanas – Método Optimo

Ventajas Filtros Digitales • Pueden tener características no posibles en los filtros análogos, por ejemplo la respuesta en fase lineal. • Su desempeño no depende de las condiciones ambientales. • La respuesta en frecuencia puede ser ajustada por software. Filtros adaptativos. • Varios canales de entrada pueden ser aplicados al mismo filtro. Multiplexación. • Los datos filtrados y no filtrados pueden ser almacenados para su uso futuro. • Pueden diseñarse para muy bajas frecuencias. • Pueden trabajar en un amplio rango de frecuencias solo cambiando la frecuencia de muestreo.

Filtros Ideales Pasabajas -p p Pasaaltas -p Pasabanda p -p p La ganancia es 1 y la respuesta en fase es lineal: q(w) = -wno

Filtros FIR - IIR • Los filtros FIR tienen respuesta en fase lineal. Importante en transmisión de datos, biomedicina, audio, imágenes. Los IIR tienen respuesta en fase no lineal especialmente cerca de los bordes. • Al ser los FIR implementados por ecuaciones no recursivas siempre son estables. La estabilidad de los IIR no está garantizada. • FIR requiere mas coeficientes, entonces mayor memoria, tiempo de procesamiento. • Filtros análogos pueden transformarse a IIR logrando especificaciones similares. Esto no es posible con FIR. • En general FIR es mas difícil de sintetizar algebraicamente.

Filtros FIR – IIR – Ecuación en Diferencias Filtros FIR: Filtros IIR: h(k) = bk

Pasos de diseño • • Especificación de requerimientos. Cálculo de coeficientes. Realización. Análisis de los efectos de palabra finita y análisis de desempeño.

Pasos – Especificación de Requerimientos dp: desviación banda de paso ds: desviación banda de rechazo fp: frecuencia en el borde de banda pasante fs: frecuencia en el borde de banda rechazo

Pasos – Cálculo de coeficientes • Se calculan h(k), k=0, 1…N-1 coeficientes. N es la longitud del filtro. • Se calculan ak, bk para los filtros IIR. Filtros FIR • Método de ventanas: simple, pero sin control sobre los parámetros. • Frecuencia de muestreo: permite implementar FIR recursivos, computacionalmente mas eficientes. • El método óptimo es actualmente muy empleado. Filtros IIR Tradicionalmente consiste en la transformación de un filtro análogo. • Invariante al impulso: la respuesta al impulso del filtro análogo es preservada pero no su respuesta en frecuencia en amplitud. No apropiado para pasa altas y rechaza banda. • Bilineal: filtros eficientes preservando la respuesta en frecuencia y en amplitud del filtro análogo pero no sus propiedades en el tiempo. Muy bueno para filtros selectivos.

Pasos – Análisis número de bits Fuentes de degradación en los cálculos: pueden causar inestabilidad de IIR. • Cuantización de la señal I/O. • Cuantización de los coeficientes • Errores de redondeo en los cálculos. • Overflow

Contenido de la presentación • Característica Básicas • Diseño a partir de polos y ceros • Filtros FIR – Método de las ventanas – Método Optimo • Filtros IIR – Transformación bilineal – Método invariante al impulso

Pasa Bajas Tienen los polos cerca de la circunferencia unidad correspondiente a las bajas frecuencias (cerca de w=0). Los ceros están cerca de la circunferencia unidad cerca de las altas frecuencias (w=p) o x o x x H(z)=1/(1 -0. 9 z-1) y H(z)=1/(1 -(0. 85+j*0. 3)z-1) (1 -(0. 85 -j*0. 3)z-1)

Pasa Altas Características contrarias de los pasabajas. Se obtienen reflejando los polos y ceros en el eje imaginario. x x o o x x o

Resonadores digitales Son filtros pasa banda formados por 2 polos complejos conjugados en p 1, 2 = re+-jwo , 0<r<1 Esto produce un pico cerca de w 0

Filtros ranura Filtros con uno o mas cortes profundos idealmente nulos perfectos. Empleados para eliminar frecuencias. Se introducen un par de ceros complejos conjugados en la circunferencia unidad con ángulo wo, tal que: z 1, 2 = e+-jwo H(z)=bo(1 - ejwoz-1)(1 - e-jwoz-1) H(z)=bo(1 -2 z-1 coswo+z-2)

Filtro ranura Para reducir el ancho de banda de la banda rechazada se insertan polos en la vecindad del nulo: p 1, 2 = e+-jwo Entonces: H(z)=bo(1 - 2 z-1 coswo+z-2)(1 - 2 rz-1 coswo+r 2 z-2)

Filtro Ranura Ceros en w=p/4, w=p/2

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Filtros FIR • Respuesta en fase lineal • Fáciles de implementar • El diseño de filtros FIR consiste en obtener los valores de h(n) que cumplan los requerimientos del filtro: – Ventana – Óptimo – Frecuencia de Muestreo

Contenido de la presentación • Característica Básicas • Diseño a partir de polos y ceros • Filtros FIR – Método de las ventanas – Método Optimo • Filtros IIR – Transformación bilineal – Método invariante al impulso

Método de la ventana H(w): transformada de Fourier de h(n). Si se conoce H(w) puede obtenerse h(n). h. D(n) HD(w) 1 t -wc wc w H(w) = 1 ; |w|<wc

Filtros ideales Pasabajas: Pasaaltas Pasabanda Rechazabanda

Filtros ideales De la respuesta al impulso puede observarse que los filtros no son realizables al no ser causales. Además los filtros no son FIR por tener una respuesta infinita al impulso. h(n) debe truncarse en un valor M. Pero aparece el fenómeno de Gibbs.

Filtros ideales • Fenómeno de Gibb: Al disminuir el número de armónicos para describir una señal cuadrada => aparecen oscilaciones alrededor de la frecuencia de corte. • Para no truncar abruptamente, primero se multiplica la respuesta ideal al impulso h(n) por una función ventana w(n) de duración finita.

Tabla comparativa ventanas Ventana Df Rectangular 0. 9/N Riple Máx. pasante atenua. d. B rechazo d. B w(n) 0. 7416 21 1 Hamming 3. 1/N 0. 0546 44 0. 5+0. 5 cos(2 pn/N) Hanning 3. 3/N 0. 0194 53 0. 54+0. 46 cos(2 pn/N) Blackman 5. 5/N 0. 0017 74 0. 42+0. 5 cos[2 pn/(N-1)]+ 0. 08 cos[4 pn/(N-1)] Digital Signal Processing, A practica Approach. IFEACHOR, Emmanuel y JERVIS, Barrie. Addison-Wesley. 1993.

Ejemplo 1 Diseñar un filtro pasabajas: - borde frecuencia de paso 1. 5 k - Ancho transición 0. 5 k - Atenuación banda de rechazo > 50 d. B - Frecuencia de muestreo 8 k

Ejemplo 1 h. D(n) = 2 fcsinc(2 nfc) La atenuación se consigue con Hamming o Blackman. Por simplicidad Hamming. Df = 0. 5 k/8 k = 0. 0625 Df = 3. 3/N N = 3. 3/Df N = 3. 3/0. 0625 N = 52. 8 N = 53, número de coeficientes

Ejemplo 1 w(n) = 0. 54+0. 46 cos(2 pn/53), -26<n<26 Se selecciona fc en la mitad de la banda de transición: fc’ = fc + Df fc’ = (1. 5 k + 0. 25 k)/8 k = 1. 75 k/8 k = 0. 21875

Ejemplo 1 Como h(n) es simétrico se calculan solo h(0)…h(26) Para n=0 h. D(0) = 2 fcsinc(2 nfc) = 0. 4375 w(0) = 0. 54+0. 46 cos(2 pn/53) = 1 h(0) = h. D(0)w(0) = 0. 4375 h(1) = h. D(1)w(1) = 0. 31119 h(2) = h. D(2)w(2) = 0. 06012 h(26) = h. D(26)w(26) = 0. 000913

Ejemplo 1 Cálculo de los coeficientes en Matlab: n=-26: 26; fc= 0. 2187; hd = 2*fc*sinc(2*n*fc); w = 0. 54+0. 46*cos(2*pi*n/53); h=hd. *w; [Hf, w]=freqz(h, 1, 128);

Ejemplo 1 fvtool(h, 1); % Filter visualization tool

Ejemplo 1 n=-26: 26; fc= 0. 2187; hd = 2*fc*sinc(2*n*fc); h = hd. *window(@hann, 53); fvtool(h, 1)

Ventana de Kaiser Las ventanas anteriores tienen características fijas. La ventana de Kaiser tiene un parámetro para el control del riple b. Pueden alcanzarse atenuaciones muy altas. b = 0: ventana rectángular b = 5. 44: similar a Hamming b = 0, si A≤ 21 d. B b = 0. 5842(A-21)0. 4+0. 07886(A-21) b = 0. 1102(A-8. 7) si A ≥ 50 d. B si 21 < A< 50 d. B N ≥ (A - 7. 95)/(14. 36 Df)

Ejemplo 2 Banda pasante: 150 -250 Hz Ancho de transición: 50 Hz Atenuación banda rechazo: 60 d. B Frecuencia de muestreo: 1 k

Ejemplo 2 Kaiser: N≥(A-7. 95)/(14. 36 Df) =(60 -7. 95)/(14. 36*50/1000)=72. 49 N=73. b=0. 1102(A-8. 7)=0. 1102(60 -8. 7)=5. 65 fc 1= (150 -25)/1000 = 0. 125 fc 2= (150+25)/1000 = 0. 175

Ejemplo 2 Cálculo en Matlab: n=-36: 36; f 1=0. 275; f 2=0. 125; B=5. 65; hd = 2*f 1*sinc(2*n*f 1) - 2*f 2*sinc(2*n*f 2); w’ = window(@kaiser, 73, 5. 65); h=hd. *w; [Hf, w]=freqz(h, 1, 128); subplot(2, 1, 1); plot(w/(2*pi), 20*log 10(abs(Hf))); grid on; subplot(2, 1, 2); plot(w/(2*pi), unwrap(angle(Hf))); grid on;

Contenido de la presentación • Característica Básicas • Diseño a partir de polos y ceros • Filtros FIR – Método de las ventanas – Método Optimo • Filtros IIR – Transformación bilineal – Método invariante al impulso

Método óptimo Flexible, poderoso, requiere programa de diseño. Diseño: D(w): filtro ideal H(w): filtro seleccionado Se define el error: E(w) = W(w)[H(w) – D(w)] Donde W(w) es un factor de peso. El problema consiste en determinar H(w) dadas E(w) y W(w) para satisfacer D(w). W(w) permite determinar cual porción del filtrto actual es mas importante para el desempeño del filtro entre la banda pasante o la banda de rechazo.

Método óptimo Para diseñar filtrtos óptimos en Matlab: b = gremez(n, f, a, w) La función permite diseñar los siguientes tipos de filtros b = gremez(n, f, a, w) retorna n+1 coeficientes de fase lineal con la respuesta deseada descritas en f y a. w es un vector de pesos, uno por banda, cuando se omite, todas las bandas tienen igual peso.