Problemlsning i matematikundervisningen Lars Burman bo Akademi Vasa

Problemlösning i matematikundervisningen Lars Burman Åbo Akademi Vasa, Finland

Ett föredrag i fyra delar • Om problemlösning inkl. en internationell utblick med rapport (några axplock) från konferensen Pro. Math 2007 i Lüneburg • ABC-klassificering av problemuppgifter: Användning av en uppgift Betoning av problemlösningsfas Central metod vid lösningen av problemet • Övning i klassificering med arbetsblad. • Några boktips och en inbjudan eller två …

Sju mål inom problemlösning (enl. Charles & Lester & O’Daffer) Målet är att utveckla elevernas • förmåga att tänka • förmåga att välja och använda lämpliga strategier • attityd till problemlösning • förmåga att använda relaterade kunskaper • förmåga att exponera och utvärdera sitt tänkande • förmåga att lösa problem genom att samarbeta • förmåga att hitta det rätta svaret

Problemlösningens roll (enl. Principles & Standards) • en alternativ och viktig metod när läraren introducerar nytt stoff • ett väsentligt redskap för eleverna när de löser uppgifter som kräver något utöver det som de redan behärskar • en nödvändig hjälp när eleverna löser uppgifter som kräver en kombination av flera områden inom matematiken

Tre sätt använda P 1 Frågor och induktivt arbetssätt 2 Speciella problemlösningsuppgifter 3 Olika typer av projektarbeten

1. Frågor, induktivt arbetssätt Klassaktiviteter som utgör övning på P: • Eleverna får föreslå metoder och lösningar (de får tala matematik och tänka högt) • Eleverna får formulera hypoteser, testa dem, dra slutsatser och lösa problem Läraren ställer frågor och berättar inte ”hur det förhåller sig, hur man skall förfara”

Slutsats Karakteristiskt för en god problemlösningsinriktad teoriundervisning är • Utmanande frågor • Inga snabba, färdiga svar • Ofta förekommande induktivt arbetssätt

2. Speciella problemuppgifter Traditionellt har många lärare satt likhetstecken mellan problemlösning och användning av speciella problemuppgifter I problemuppgifter används olika metoder, t. ex. systematisk prövning, uteslutningsmetoden osv. Man kan lätt tänka sig uppgifter som också ger möjligheter att ta in verkliga (vardags-)problem. Ju flera riktiga problem läraren använder, desto lägre är tröskeln för eleverna att använda sig att skolmatematiken i verkligheten sedan. . .

3. Projekt i matematiken Problem med verklighetsbakgrund Problemlösning i vid mening Matematikprojekt Modelleringsprojekt

Projektarbetets roll • projektrubrikerna kan väljas från elevernas intresseområden och från det verkliga livet • projektet ger möjlighet att lösa problem som inte går att lösa på några minuter • projektarbetet ger träning i hela modelleringsprocessen (gäller gymnasiet) • projektarbetet ger träning i att lösa problem i grupp (jämför arbetsgrupper!)

Vi har pratat om. . . 1. Frågor och induktivt arbetssätt 2. Användning av speciella problemuppg. 3. Matematikprojekt, modelleringsprojekt Det mesta som sagts hittills har en nordisk eller anglosaxisk prägel vi skall också titta på vad som händer i den tyska och den finsk-ugriska världen via Pro. Math.

Pro. Math-gruppen • En europeisk grupp, som uppstått när forskare intresserade av problemlösning träffats. Syftet med Pro. Math är att verka för forskning kring problemorientering i matematikundervisningen. • Gruppen arrangerar Pro. Math-konferenser oftast i Tyskland, Finland och Ungern. Senast i september 2007 i Lüneburg

Pro. Math-mål ”real problem solving” ”higher-order thinking” Ny tendens: man formulerar mål som inte använder ordet problemlösning utan som inkluderar p. i ”matematiktillämpningar” eller ”processer inom matematiken”.

Problemlösning i undervisningen En rapport från konferensen Pro Math 2007 i Lüneburg 31. 8 – 1. 9 2007

Undersökning i årskurserna 7 -9 Erkki Pehkonen har gjort en undersökning om problemlösning och argumentation bland elever i årsk. 7 -9 (1434 elever i Finland) Bl. a. har han undersökt problem med att förstå multiplikation och ger ett exempel: Bestäm 491 / 6, när vi vet att 498 / 6 är 83. Det visade sig att det var en minoritet som kunde ge rätt svar och motivera det!

Lärarutbildning i Ungern Tünde Berta presenterade en ny kurs för lärarstuderande som hon utarbetat. Med den kursen vill hon utöka användningen av grafräknare i Ungern. Hon anser att grafräknaren är en didaktisk resurs i utbildningen av lärare. (I Ungern är grafräknare inte tillåtna i slutexamen från gymnasiet!)

Paperfolding Reimund Albers ansåg ”paperfolding” vara en matematik för den digitala tidsåldern. Vad är då paperfolding? Jo, man viker pappersremsor och söker regler och mönster. Ex. efter vikning 4: LLRLLRR LLLRRLRR Varför är paperfolding så intressant? Jo, man möter problem som intresserar från årskurs 5 upp till universitetsnivån. Dessutom menar Albers att detta är en lämplig inkörsport till den digitala världen.

ABC

Varför klassificera uppgifter? Några teser som svar: • ”Vi har inte så mycket tid till förfogande att vi kan slösa med den vare sig när det gäller presentation av nytt stoff eller när det gäller övning” • ”Det finns uppgifter som är bättre än andra att använda i undervisningen – det gäller bara att hitta dem!” (rika uppgifter!)

Tre sätt att klassificera uppg. • Användning av en uppgift och om uppgiften innehåller ett problem: • Betoning av problemlösningsfas • Central metod vid lösníng av problemet ger ABC-klassificering

Olika typer av uppgift • Standarduppgift • Tillämpningsuppgift • Problemuppgift ”Rika uppgifter”

Uppgifters olika funktion • Introducerande funktion • Övande, befästande funktion • Utvärderande funktion (Repeterande funktion)

Användningen av en uppgift • • • Introducerande uppgift Övande uppgift Repeterande uppgift Utvärderande uppgift Speciell problemuppgift Uppgift lämplig för grupp

Betoning av problemlösningsfas • • • Startfas Genomförande (systematiskt) Flera lösningar Öppen uppgift Konstruktion av uppgift

Central problemlösningsmetod • • Användning av regel Användning av figur Prövning Uteslutning ”Nysta bakåt” Delproblem Helhetsuppfattning (mönster)

Användning av en uppgift 1 2 3 4 5 6 Uppgift lämplig för introduktion Uppgift lämplig för övning Uppgift lämplig för repetition Uppgift lämplig för utvärdering Speciell problemuppgift Uppgift lämplig för lösning i grupp

Betoning av problemlösningsfas 1 2 3 4 5 Betoning av startfasen Systematiskt genomförande Flera lösningar finns Öppen uppgift Konstruktion av uppgift

Central problemlösningsmetod 1 2 3 4 5 6 7 Användning av regel Användning av figur Prövningsmetoden Uteslutningsmetoden ”Nysta bakåt” metoden Lösning av delproblem Helhetsuppfattning, mönster

ÖVNING

Sammanfattning Mera medvetet val av uppgifter: • Lämpliga uppgifter för olika tillfällen! • Utökat inslag av problemuppgifter? ! • Mångsidig övning av olika faser och metoder i problemlösningsprocessen!

Nordisk matematiktävling för åk 8 Tävling med rötter i Norge: Kapp. Abel Kvalificeringsomgång 1: 8 p. u. Kvalificeringsomgång 2: 8 p. u. Projektarbete: Matematik och djur Semifinal: ”stafett”: 8 p. u. Nationell final: 5 p. u. Nordisk final: 5 p. u.

Problemlösning i klass I kvalificeringsomgångarna samarbetar eleverna i klassen så att - man delar in sig i grupper och ser till att alla uppgifter görs av åtm. några grupper - man diskuterar sig fram till ”klassens svar” på alla uppgifter och då skall man kunna övertyga de andra om att man har en riktig eller den bästa lösningen

Några boktips • Eva Taflin: Matematikproblem i skolan - för att skapa tillfällen till lärande Doktorsavhandling, Dalarnas universitet • Tomas Højgaard Jensen: Udvikling af matematisk modelleringskompetence som matematikundervisningens omdrejningspunkt – hvorfor ikke? Doktorsavhandling, RUC, Roskilde • Tine Wedege & Jeppe Skott: Changing views and practices? A study of the Kapp. Abel mathematics competition

Vad händer i Vasa? • Ämneslärarstuderande får i kursen Arbetsmetoder i matematikundervisningen lära sig använda problemuppgifter och projektarbete i undervisningen. De är medarrangörer i den nationella finalen i matematiktävlingen • Pro. Math arrangeras i Vasa 28 -31. 8 2008 VÄLKOMMEN MED!

http: //www. vasa. abo. fi/users/lburman/ Jag lägger i nästa vecka ut • Powerpoint-presentation • Om valet av uppgifter i matematikundervisningen, ingår i Festskrift tillägnad professor Ole Björkqvist

TACK för uppmärksamheten