Problemlsen lernen Methoden und Techniken zum mathematischen Problemlsenlernen

Problemlösen lernen Methoden und Techniken zum mathematischen Problemlösenlernen Prof. Dr. Regina Bruder TU Darmstadt Braunschweig 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Ausgangssituation Mathematisches Problemlösen gilt (nicht erst seit TIMSS und PISA) als defizitär, zählt aber nach WINTER zu den drei Grunderfahrungen, die den allgemeinbildenden Charakter des Mathematikunterrichts legitimieren. Worum geht es im MU? Was soll gelernt werden? Warum gerade das? 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Bedeutung für den MU Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, Mathematische Gegenstände. . . als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art. . . begreifen. behalten und Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) angewendet werden können? Erscheinungen der Welt um uns. . . in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H. Winter 1995 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Bedeutung für den MU Vertiefung: Problemlösen - trägt zu einem adäquaten Mathematikbild bei (Mathematik als sich etwas Entwickelndes, Fehler und Irrtümer gehören dazu) - ist ein wichtiges Element, um neues Wissen zu generieren; liefert Einsichten in Wege zur Erkenntnisgewinnung (POINCARE) -hat wertvolle Alltagsbezüge: fördert geistige Beweglichkeit (Kreativität), logisches Strukturieren und Analysieren und vermittelt Metakompetenz (triadisches Denken) durch Strategiewissen 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Grundverständnis • Problemlösen heißt Fragen stellen • Probleme, die nicht verstanden wurden, können auch nicht gelöst werden Worum geht es? • Erfolgreiches Problemlösen setzt solides Basiswissen voraus Was weiß ich alles schon im Zusammenhang mit dem Problem? • Problemlösen hat eine experimentelle Komponente erfordert „Ausprobieren“ Welche Methoden und Techniken stehen mir zur Verfügung? • Problemlösen heißt Schwierigkeiten überwinden 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Grundverständnis Problem solving meint: Aufgabenlösen in einem umfassenden Sinne Aufgaben sind Aufforderungen zum (Lern-) Handeln Eine Aufgabe wird für ein Individuum dann zu einem Problem, wenn sie ungewohnt erscheint und nicht sofort eine erfolgversprechende Lösungsidee parat ist. . . Problemlösen lernen meint insbesondere: Methoden zum Lösen individuell schwieriger Aufgaben kennen und anwenden lernen. . . 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Lernziele im MU Lernziel und Lernchance im MU: Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) Weg zur Umsetzung: 1. Zielkonkretisierung über Teilhandlungen des Problemlösens 2. Theoretisches Konzept zum Problemlösenlernen entwickeln und erproben (DFG-Projekt) 3. Unterrichtskonzept zum Problemlösenlernen in die Aus- und Fortbildung und in Lernmedien integrieren: 4. Begründeter Methodeneinsatz 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Lernziele im MU Die Lernenden - erkennen mathematische Fragestellungen auch in Alltagssituationen und können solche Fragestellungen formulieren • Stadtrundgang mit der Mathematikbrille. . . • Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes. . . - wo wird dabei Mathematik benötigt? • Wo und wie benötigt man im Alltag Strukturieren, Kombinieren, Optimieren, Entscheidungen begründen, Verallgemeinern, Interpretieren. . . 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Lernziele im MU Die Lernenden - können mathematische Fragen finden und formulieren - kennen mathematische Modelle bzw. geeignete Vorgehensweisen zur (kreativen) Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situationsgerecht anwenden 13. 05. 2003 Braunschweig Funktionen, Gleichungen, Visualisierungen ( geometrische Figuren und Beziehungen ), zentrale mathematische Ideen (Approximieren- Optimieren, Algorithmieren. . . ) und heuristische Strategien. . . Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Lernziele im MU Die Lernenden - können mathematische Fragen finden und formulieren - kennen mathematische Modelle und können Vorgehensweisen anwenden - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln - Strategien für selbstreguliertes Lernen (insbesondere Willensstrategien) vermitteln - Erfolgserlebnisse ermöglichen - Binnendifferenzierung - Anlässe für eigenverantwortliches Lernen 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Beispiel (Elementare) Beweisaufgaben. . . a, b, c, d pos. reell c 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt a b d

Problemlösen lernen Grundverständnis • Nicht nur anspruchsvolle Lernanforderungen stellen sondern auch zu deren Bewältigung befähigen - u. a. durch heuristische Bildung und Entwicklung der Selbstregulation • Verbindungen herstellen zwischen alltäglichem Problemlösen und fachspezifischen Problemlösestrategien sowie zwischen den mathematischen Inhalten • Wahlmöglichkeiten im Schwierigkeitsgrad der Aufgaben 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Theoretischer Hintergrund • Wesentliche Bedingungen für das Entstehen von Lernhandlungen: Lernaufgaben (Handlungsaufforderungen - was ? warum das? ) Orientierungsgrundlagen für die erforderlichen Handlungen (wie kann ich vorgehen? ) • Unterrichtsrealität: - zu wenig kreativitätsfördernde Lernanforderungen einerseits und - andererseits genügt es nicht, die Lernenden mit Problemen nur zu konfrontieren und dann zu hoffen, dass diese auch bewältigt werden ! 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Theoretischer Hintergrund Komponenten der Lerntätigkeit (Lompscher, Kossakowski) Motivation Produkte Interessen, Einstellungen Inhalt Verlauf Sach- Denk- Norm- operationen Wert. Verfahrens- Verlaufs- kenntnisse qualitäten Ziele Zielqualität 13. 05. 2003 Braunschweig Ergebnisse Inhaltsqualität Prozessqualität Regina Bruder TU Darmstadt Ergebnisqualität

Problemlösen lernen Motivation Produkte Inhalt Verlauf Theoretischer Hintergrund • Reduktion: Vereinfachen, Veranschaulichen, Teilprobleme oder Beispiele betrachten Verlaufsqualitäten Ziele Ergebnisse • Reversibilität: Umkehren von Gedankengängen Beweglichkeit Bewusstheit Selbständigkeit Planmäßigkeit Aktivität Erscheinungsformen • Aspektbeachtung: gleichzeitiges Beachten mehrerer Aspekte, die Abhängigkeit von Dingen erkennen und gezielt variieren • Aspektwechsel: Wechsel von Annahmen und Kriterien; loslassen; Sachverhalt umstrukturieren 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Theoretischer Hintergrund Merkmale geistiger Beweglichkeit Reduktion - vereinfachen, veranschaulichen, Teilprobleme oder Beispiele betrachten Reversibilität - Umkehren von Gedankengängen Aspektbeachtung - eine Idee konsequent weiter verfolgen 19 17 25 33 41 49 Aspektwechsel - loslassen und einen neuen Blickwinkel wählen 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Wirkprinzip von Heuristik Mangelnde geistige Beweglichkeit in bestimmten Kontexten wird teilweise kompensiert durch BEWUSSTES Erlernen solcher Vorgehensweisen und Techniken die zu vergleichbaren Ergebnissen führen wie unbewusste Denkverläufe bei ausgeprägter geistiger Beweglichkeit 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Wirkprinzip von Heuristik Wie wirken heuristische Strategien? „Selbsterfahrung“ mit einem Kreativitätstraining: Was kann man alles mit einem Mauerstein anfangen? Finden Sie in 1 min möglichst viele verschiedene Verwendungsmöglichkeiten! 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Strategie: Wirkprinzip von Heuristik Was weiß ich über einen Mauerstein? Welche Eigenschaften hat er? Was kann ich daraus ableiten? Größe, Form, Gewicht (Masse), Materialeigenschaften Lerneffekt: Ein ähnliches Beispiel-Pappe, Tasse, Bleistift. . . 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Eine heuristische Strategie: Vorwärtsarbeiten Was ist gegeben? Was weiß ich über das Gegebene? Was kann ich daraus ermitteln? 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Fragen stellen lernen Aufgabe: Stellen Sie sich vor, Sie sind zur mathematischen Beratung bei FERRERO eingestellt und werden heute in der HANUTA-Abteilung erwartet. Welche Fragen könnte man an eine HANUTA-Waffel stellen, zu deren Beantwortung Mathematik erforderlich ist? 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Fragen stellen lernen Wie findet man möglichst viele mathematisch interessante Fragen? –„Vorwärtsarbeiten“: Eigenschaften des Objekts nutzen Was weiß ich über das Gegebene? Ziel: Lernen, die mathematische Brille aufzusetzen und Mathematik auch im Alltag zu „entdecken“ 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Grundidee - Konzept Trainingskonzept Jeder Beweglichkeitsaspekt kann durch bestimmte heuristische Elemente „gefördert“ werden (Kompensationsansatz!) Zuordnung von Heurismen zu den Beweglichkeitseigenschaften POLYA, SEWERIN 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Heuristische Bildung Reduktion: Heuristische Hilfsmittel: informative Figur, Tabelle, Gleichung Heuristische Prinzipien und Strategien: Fallunterscheidung, Zerlegung Claudia nimmt die Hälfte der Murmeln aus ihrem Sack und behält sie für sich. Dann gibt sie zwei Drittel der Murmeln, die noch im Sack waren, Peter. Sie hatte jetzt sechs Murmeln übrig. Wie viele Murmeln waren am Anfang im Sack gewesen? Claudias Murmeln 13. 05. 2003 Braunschweig Peters Murmeln Regina Bruder TU Darmstadt 6 übrig

Problemlösen lernen Heuristische Bildung Reversibilität: Heuristische Prinzipien und Strategien: Rückwärtsarbeiten Was müsste ich kennen, um die gesuchte Größe bestimmen zu können? Ein Mann geht Äpfel pflücken. Um mit seiner Ernte in die Stadt zu kommen, muss er 7 Tore passieren. An jedem Tor steht ein Wächter und verlangt von ihm die Hälfte seiner Äpfel und einen Apfel mehr. Am Schluss bleibt dem Mann nur ein Apfel übrig. Wie viele hatte er am Anfang? 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen kombiniertes VA-RA + a=2 cm => Heuristische Bildung Zwei Metallwürfel mit gegebener Kantenlänge von 2 cm und 4 cm werden zu einem Quader zusammen geschmolzen. Welche ganzzahligen Maße könnte ein solcher Quader erhalten? Gesamtvolumen Oberfläche. Gesamt b= 4 cm 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Heuristische Bildung Aspektbeachtung Invarianzprinzip Suche in Unterschiedlichem das Gemeinsame! Was bleibt gleich? Bildungsvorschrift bei Zahlenfolgen Treffpunktaufgaben: Ort ist gleich Altersaufgaben: Altersdifferenz bleibt gleich Extremalprinzip 13. 05. 2003 Braunschweig In einem Käfig sind Fasanen und Kaninchen. Man zählt 24 Köpfe und 62 Beine. Wie viele Tiere von jeder Art sind im Käfig? Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Heuristische Bildung Aspektbeachtung Symmetrieprinzip Für positive reelle a, b, c gilt: 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c) > 3/(a+b+c) Aus einem Halbkreis soll das flächengrößte Trapez herausgeschnitten werden. Systematisches Probieren 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Aspektwechsel: Transformationsprinzip Variiere die Bedingungen! Heuristische Bildung - eine andere Modellierung finden - aus der vorgegebenen Struktur herausgehen Betrachte Gegebenes und Gesuchtes in verschiedenen Zusammenhängen! Zerlege, ergänze oder verknüpfe mit Neuem! 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt α+β=45°

Problemlösen lernen Unterrichtskonzept Methodik zur Ausbildung von Problemlösekompetenzen Gewöhnen an heuristische Methoden und Techniken (Reflektion) Bewusstmachen einer speziellen Heuristik anhand eines markanten Beispiels (Strategiebereitstellung) einübendes reflektiertes Übertragen (Kontexterweiterung der Strategieanwendung) 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Unterrichtskonzept Trainingsaufbau- Unterrichtskonzeption • den Sinn und Nutzen von heuristischen Strategien erfahren • Vorstellen „neuer“ Strategien an einem Musterbeispiel (Eselsbrückeneffekt) • bewusste Strategieanwendung auf Wahlaufgaben (drei Schwierigkeitsgrade) mit variierenden Kontexten • Vorstellen alternativer Lösungswege (mit verschiedenen heuristischen Hilfsmitteln) • Übungen mit Vorgehensreflexion und Erkennen individueller Präferenzen bei der Strategieanwendung • Zuordnen passender Strategien zu Problemaufgaben, ohne sie zu lösen • Erarbeiten individueller Problemlösemodelle mit der Fragetechnik 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Teilhandlungen ausbilden Tipps zum Textverständnis: Lies die folgende Aufgabe zunächst durch. Stelle dir vor, dein Freund hat ab und zu Probleme mit Textaufgaben und versteht diese Aufgabe nicht. Du möchtest ihm helfen. Formuliere dazu Fragen, die man sich stellen sollte, wenn man eine Aufgabe verstehen möchte. Wie kann man sich klar machen, worum es in der Aufgabe geht? Wohnwagen-Aufgabe Familie Maier verbrachte dieses Jahr ihre Sommerferien in Österreich. Bei der Straße von Innsbruck nach Zehfeld ist auf 2, 2 km ein Höhenunterschied von 330 m. Familie Maier macht Campingurlaub mit einem 6 m langen Wohnwagen. Auf der Beschreibung des Anhängers stand, dass ein PKW mit Anhänger nur eine Steigung von 12% schafft. Durfte Herr Maier mit seinem 90 PS Auto die Straße von Innsbruck nach Zehfeld fahren? 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Lernprotokoll Tipps zum Textverständnis Erst lesen und verstehen – dann Lösungsversuche starten! Überlege, was man alles falsch machen kann ! Bei der Würfelknetaufgabe haben wir die Strategien „Vorwärtsarbeiten“ und „Rückwärtsarbeiten“ geübt. Wie geht man vor, wenn Vorwärtsarbeiten anwendet? man die Strategie Wie geht man vor, wenn man die Strategie Rückwärtsarbeiten anwendet? Wo kann man diese Strategien sinnvoll anwenden? 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Empirische Untersuchung Lassen sich Selbstregulations- und Problemlösekompetenzen durch eine Kombination beider Komponenten fördern? 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Empirische Untersuchung 1. Hauptstudie 2000 mit 249 Schüler/innen an drei Gymnasien Kl. 8 über 6 Trainingseinheiten zu je 90 min (mit Kontrollgruppe) Vierfaktorielles Design: - Selbstregulationstraining - Problemlösetraining - kombiniertes Training Selbstregulation und Problemlösen - Monitoring (operationalisiert in Lerntagebüchern) 2. Hauptstudie 2001 mit 83 Schüler/innen Kl. 8 - Kombi-Training mit verstärkter Selbstregulation - Kombi-Training mit verstärktem Problemlösen - Problemlösetraining alle Gruppen mit Monitoring 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Erweitertes Konzept Beispiele: fünfte Einheit: - am Beispiel von Textaufgaben bewusst machen, dass sich Gedanken und Einstellungen auf die Lernleistung auswirken. - Strategien zum Umgang mit negativen Gedanken kennen lernen. sechste Einheit: die Bedeutung der Fehleranalyse innerhalb der Selbstregulation erkennen und lernen, Misserfolge auf - falsche Zielsetzung, - falschen Strategieeinsatz oder - zu geringe Anstrengung zurückzuführen. 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Effekte des Problemlösetrainings Signifikanter Leistungszuwachs im Test ! Bewusster Hilfsmitteleinsatz, Stabilität der Effekte bei Nach-Nachtest ! Weniger Angst vor mathematischen Anforderungen signifikant höhere Bearbeitungsquote Veränderter Umgang mit Fehlern und gewachsene Selbstreflektion (mit Lerntagebuch) 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Effekte Veranschaulichung der signifikanten Interaktion Zeit x PL für die Gesamtpunktzahl – 1. Hauptuntersuchung 249 Probanden, nach 6 Trainingseinheiten -leistungsschwächere Schüler profitieren besonders -der Schüleranteil, der schwierige Aufgaben nicht zu bearbeiten versucht, halbiert sich 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Offene Fragen Schwierigkeitsgrad der Aufgaben muss individuell von der Notwendigkeit einer Strategieanwendung überzeugen (Differenzierungsproblem) Kaum Vorerfahrung der Lernenden bzgl. Selbstbeobachtung und Vorgehensreflektion (altersbedingte Begrenztheit ? ) Erlebte Unterschiede zwischen Training und Unterricht behindern weitere Übertragung (manche Testanforderungen stehen dagegen) 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Ausblick Lernen, Verstehen, Behalten und Anwenden können Unterrichtsmethoden für nachhaltiges Lernen lmodulare Arbeitsplanung lgeleitete Instruktion l. Aufgabenkonzept l. Anwendungslinien lpermanente Wiederholung l. Methodenreflexion (Heuristik) l. Teilhandlungen ausbilden l. Lernprotokolle 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Theoriegewinn Theoretischer Erkenntnisgewinn entsteht insbesondere durch Erkenntnissynthese über die Disziplingrenzen hinweg und durch gegenstandsspezifische Interpretationen vorliegender Erkenntnisse. -Die Interpretation fundamentaler mathematischer Ideen und von Heurismen (POLYA, SEWERIN) aus der Begabtenförderung für Mathematik für schulische Lerninhalte und -das Herstellen von Verbindungen zum Problemlösen im Alltag begründet einen Katalog relevanter Heurismen für den MU (Ziele und Inhalte) -Eine Synthese aus Erkenntnissen des Tätigkeitsmodells des Lernens mit Heurismen liefert einen (erfolgreichen) Trainingsansatz (Methodik- Rahmenorientierung) 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Aktuelles Projekt Langfristiges Ziel: Implementation des Trainingskonzeptes in den „normalen“ MU -Entwicklung eines Unterrichtskonzeptes mit 8 Versuchslehrern -Gestaltung und Evaluation einer LV Problemlösen an der TUD im SS 2003 -Evaluation eines Ausbildungskonzeptes für Referendare ab Herbst 2003 -Entwicklung und Evaluation eines Fortbildungskonzeptes für Problemlösen und Selbstregulation im Kontext von Hausaufgaben ab 2004 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt

Problemlösen lernen Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit 13. 05. 2003 Braunschweig Regina Bruder TU Darmstadt