PROBLEME DE ALGEBRA REZOLVATE GEOMETRIC Calculul unor sume
PROBLEME DE ALGEBRA REZOLVATE GEOMETRIC
• Calculul unor sume de numere • Calculul produsului, câtului a două numere • Puterile unui număr • Extragerea rădăcinii pătrate dintr-un număr real pozitiv • Calculul mediei geometrice a două numere reale şi pozitive • Inegalitatea mediilor • Împărţirea unui număr în părţi direct proporţionale cu numere date • Rezolvarea unor sisteme de ecuaţii
1 Desenul următor vă sugerează un mod de a construi un segment de lungime ab.
EXERCIŢII a. Justificaţi metoda anterioară. b. Utilizaţi construcţia pentru a găsi o valoare aproximativă a produsului dintre 4, 3 şi 2, 7. Verificaţi rezultatul găsit.
2 Iată un mod de a efectua o împărţire printr- un desen.
EXERCIŢII a. Justificaţi metoda anterioară. b. Utilizaţi construcţia pentru a găsi o valoare aproximativă a câtului dintre 11, 2 şi 3, 8. Verificaţi rezultatul găsit.
3 Un procedeu pentru a construi pătratul unui număr pozitiv n.
EXERCIŢII a. Justificaţi metoda anterioară. b. Utilizaţi construcţia pentru a găsi o valoare aproximativă a lui 2, 82. Verificaţi rezultatul găsit.
4 Iată cum putem „măsura” puterile unui număr h folosind un reper ortogonal. Demonstraţi că: - OC este h 2 - OD este h 3 - OE este h 4 Şi puteţi continua. . . Verificaţi pentru h=1, 2.
5 Aşa „construia” Descartes rădăcina pătrată dintr- un număr real şi pozitiv a
EXERCIŢII a. Justificaţi metoda lui Descartes. b. Utilizaţi construcţia lui Descartes pentru a găsi o valoare aproximativă a lui , , . . . şi apoi comparaţi cu numerele dintr-un tabel de radicali.
6 Un mod de a calcula media geometrică a două numere reale, pozitive a şi b
EXERCIŢII a. Justificaţi metoda anterioară. b. Utilizaţi construcţia pentru a găsi o valoare aproximativă a mediei geometrice dintre numerele 3 şi 5. Verificaţi rezultatul găsit astfel într-un tabel de radicali.
7 O demonstraţie geometrică pentru inegalitatea mediilor
EXERCIŢII a. Justificaţi metoda anterioară. b. Utilizaţi construcţia pentru numerele 2 şi 4. Verificaţi rezultatele găsite.
8 Să împărţim un segment AB de lungime s în părţi proporţionale cu numerele m, n, p.
EXERCIŢII a. Justificaţi metoda anterioară. b. Împărţiţi un segment cu lungimea de 6 cm în părţi proporţionale cu numerele 3, 4, 5. Procedaţi în două moduri: - efectuând o construcţie geometrică; - prin calcul.
9 Găsiţi trei numere, primele două cu suma 50, altele două cu suma 70 şi ultimele două cu suma 60. x+y = 50 y+z = 70 z+x = 60 Soluţie algebrică Soluţie geometrică © 2005 Prof. Silvia Doandeş
Soluţie algebrică x+y = 50 y+z = 70 z+x = 60 2(x+y+z) = 50+70+60 x = 90 – 70 = 20 x+y+z = 90 y = 90 – 60 = 30 z = 90 – 50 = 40
Soluţie geometrică AB = 50 BC = 70 CA = 60
Soluţie inedită dată în secolul al XVI-lea de către un matematician italian • a construit un triunghi ABC, cu laturile AB=50, BC=70, CA=60; • a trasat două bisectoare ale triunghiului şi a aflat punctul O=centrul cercului inscris; • a desenat cercul înscris în triunghi şi a notat punctele de tangenţă cu D, E şi F; • a măsurat AD=20, BD=30, BE=40; Numerele căutate sunt: 20, 30, 40.
10 Ce inegalitate remarcabilă se poate deduce din figura de mai jos? Soluţie
Aria pătratului mare suma ariilor celor patru dreptunghiuri
media aritmetică media geometrică
EXERCIŢII Calculaţi media aritmetică şi media geometrică pentru următoarele perechi de numere: a. 4 şi 9; b. 3 şi 27; c. 5 d. 7 - 3 şi ; şi 7 + 3 .
11 O demonstraţie geometrică pentru inegalitatea celor trei medii
Inegalitatea mediilor
EXERCIŢII Folosiţi inegalitatea mediilor pentru a demonstra inegalităţile:
12 Să calculăm numărul dreptunghiurilor verzi folosind aria dreptunghiului mare
13 Acelaşi calcul pentru figura de mai jos
14 Ce egalitate remarcabilă se poate deduce din figura următoare? Soluţie
Suma primelor n numere naturale nenule
EXERCIŢII Calculaţi următoarele sume: a. 1+2+3+. . . +100= b. 1+2+3+. . . +2004= c. 5+10+15+. . . +185= d. 0, 3+0, 6+0, 9+. . . +21= e. f. 2+ 8+ 18+. . . + 162=
15 Verificaţi calculele pentru figurile:
EXERCIŢII Calculaţi, după modelul anterior, următoarele sume: a. 1+3+5+7+9 = b. 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = c. 1+3+5+7+. . . + 101 =
Ai ajuns la sfârşit. ALEGE ! ÎNAPOI IEŞIRE
- Slides: 36