PROBLEMAS DE GEOMETRA Hay problemas geomtricos que nos

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA Hay problemas geométricos que nos dejan perplejos porque la respuesta es elemental, pero a menudo nos complicamos de un modo inverosímil. Veamos algunos ejemplos Alejandro García Piedrafita y Sergio Álvarez Mesonero

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA 1 EL RADIO DEL CÍRCULO Teniendo en cuenta la figura, hallar el radio del círculo. Alejandro García Piedrafita y Sergio Álvarez Mesonero

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA 1 EL RADIO DEL CÍRCULO Teniendo en cuenta la figura, hallar el radio del círculo. Solución Dado que la diagonal de 8 cm. tiene la misma longitud que el radio del círculo, la respuesta es 8 cm. Alejandro García Piedrafita y Sergio Álvarez Mesonero

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA 2 EL LADO DEL ROMBO En una plaza circular de R=9 m. se quiere construir un estanque de forma rómbica, según la figura. ¿Cuánto mide el lado del rombo? Alejandro García Piedrafita y Sergio Álvarez Mesonero

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA 2 EL LADO DEL ROMBO En una plaza circular de R=9 m. se quiere construir un estanque de forma rómbica, según la figura. ¿Cuánto mide el lado del rombo? Solución Basta con darse cuenta de que el lado AC es el radio de la circunferencia y AE y BD son diagonales de un rectángulo. Por lo tanto, son iguales en longitud. Lado del rombo = 9 m. Alejandro García Piedrafita y Sergio Álvarez Mesonero

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA 3 EL ÁNGULO DE LAS DIAGONALES ¿Cuántos grados mide el ángulo que forman las dos diagonales de las caras del cubo? Alejandro García Piedrafita y Sergio Álvarez Mesonero

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA 3 EL ÁNGULO DE LAS DIAGONALES ¿Cuántos grados mide el ángulo que forman las dos diagonales de las caras del cubo? Solución 60°. Basta observar de que se trata de un triángulo equilátero ABC trazando la diagonal BC de la otra cara. Alejandro García Piedrafita y Sergio Álvarez Mesonero

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA 4 GOLPE DE VISTA Dos circunferencias secantes tienen por centros P y Q. El segmento PQ mide 3 cm. Por uno de los puntos (O) donde se cortas las circunferencias trazamos una recta paralela al segmento PQ. Sean M y N los puntos donde corta dicha recta a las circunferencias. ¿Cuánto mide MN? Alejandro García Piedrafita y Sergio Álvarez Mesonero

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA 4 GOLPE DE VISTA Dos circunferencias secantes tienen por centros P y Q. El segmento PQ mide 3 cm. Por uno de los puntos (O) donde se cortas las circunferencias trazamos una recta paralela al segmento PQ. Sean M y N los puntos donde corta dicha recta a las circunferencias. ¿Cuánto mide MN? Solución MN = 6 centímetros. Trazando desde P y Q perpendiculares al segmento MN, obtenemos los puntos R y S. Como MR=RO y NS=SO y RS=PQ, surge la respuesta. Alejandro García Piedrafita y Sergio Álvarez Mesonero

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA 7 CUADRADOS QUE SE CORTAN Tenemos dos cuadrados iguales superpuestos, de manera que un vértice de uno está siempre en el centro del otro. ¿En qué posición el área comprendida entre los dos cuadrados es la mayor posible? Alejandro García Piedrafita y Sergio Álvarez Mesonero

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA 7 CUADRADOS QUE SE CORTAN Tenemos dos cuadrados iguales superpuestos, de manera que un vértice de uno está siempre en el centro del otro. ¿En qué posición el área comprendida entre los dos cuadrados es la mayor posible? Solución El área comprendida entre ambos siempre es la cuarta parte de la de un cuadrado. Los triángulos ABC y CDE son iguales. Alejandro García Piedrafita y Sergio Álvarez Mesonero

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA 8 SEMEJANZA DE RECTÁNGULOS Si el ancho de un marco es igual en sus dos direcciones, horizontal y vertical, como sucede casi siempre, el rectángulo constituido por el cuadro completo y el rectángulo de la tela pintada ¿serán semejentes? Alejandro García Piedrafita y Sergio Álvarez Mesonero

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA 8 SEMEJANZA DE RECTÁNGULOS Si el ancho de un marco es igual en sus dos direcciones, horizontal y vertical, como sucede casi siempre, el rectángulo constituido por el cuadro completo y el rectángulo de la tela pintada ¿serán semejentes? Solución No lo son, puesto que las fracciones: b/a y (b+2 h)/(a+2 h) son siempre distintas, salvo en el caso del cuadrado (a=b). Alejandro García Piedrafita y Sergio Álvarez Mesonero

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA 10 SEMEJANZA DE RECTÁNGULOS A una circunferencia pueden inscribirse y circunscribirse cuadrados como muestra la figura adjunta. Sabiendo que el área del cuadrado inscrito es de cuatro unidades de superficie, ¿qué área tiene el cuadrado grande? Alejandro García Piedrafita y Sergio Álvarez Mesonero

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA 10 SEMEJANZA DE RECTÁNGULOS A una circunferencia pueden inscribirse y circunscribirse cuadrados como muestra la figura adjunta. Sabiendo que el área del cuadrado inscrito es de cuatro unidades de superficie, ¿qué área tiene el cuadrado mayor? En lugar de inscribir el cuadrado como mostraba la figura anterior, hagámoslo girar 45 hasta la posición que muestra la figura siguiente. Se observa que el área del cuadrado mayor es el doble que la del inscrito; es decir, 8 unidades. Alejandro García Piedrafita y Sergio Álvarez Mesonero

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA 30 VENTANA DIVIDIDA EN DOS. Una ventana cuadrada mide 1 metro de lado. Como estaba orientada al sur y entraba demasiada luz se disminuyó su tamaño a la mitad, tapando parte de ella. Tras ello la ventana seguía teniendo forma cuadrada y tanto su anchura como su altura seguían siendo de 1 metro. ¿Puede Vd. dar una explicación de tan extraño fenómeno? Solución La siguiente figura muestra la solución. Alejandro García Piedrafita y Sergio Álvarez Mesonero

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA 31 MONEDAS IGUALES DANDO VUELTAS. Dos monedas idénticas A y B parten de la posición que indica la figura. La moneda B permanece en reposo, mientras que la A rueda alrededor de B, sin deslizar, hasta que vuelve a su posición inicial. ¿Cuántas vueltas habrá dado la moneda A? Solución La moneda A da dos vueltas. ¿No se lo cree Vd. ? Tome las dos monedas y lo comprobará. Alejandro García Piedrafita y Sergio Álvarez Mesonero

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA 42 ÁREA DEL CUADRADITO Tenemos un cuadrado de 10 cm. de lado. ¿Cuánto vale el área del cuadradito sombreado si A, B, C y D son los puntos medios de los lados del cuadrado? Alejandro García Piedrafita y Sergio Álvarez Mesonero

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA 42 ÁREA DEL CUADRADITO Tenemos un cuadrado de 10 cm. de lado. ¿Cuánto vale el área del cuadradito sombreado si A, B, C y D son los puntos medios de los lados del cuadrado? Solución La simple observación de la siguiente figura muestra que el área del cuadradito es la quinta parte del área del cuadrado. Es decir, 20 cm 2. Alejandro García Piedrafita y Sergio Álvarez Mesonero