Problema lui Kepler Problema celor 2 monede Avei

Problema lui Kepler

Problema celor 2 monede Aveţi 2 monede identice în contact. 1. Dacă rostogoliţi fără alunecare o monedă în jurul celeilalte, aceasta se va roti în jurul axei sale de n ori. Cât este n? 2. Dar dacă moneda numai alunecă? 3. Cât rotaţii n execută moneda mobilă în jurul celei fixe? 4. Ce curbă descrie un punct de monedă în cazul 1. 5. Dar dacă raportul razelor celor două monede este k? Epicicloidă k=1 epicicloidă k=3 cicloidă k infinit

De ce vedem o singură faţă a Lunii? Înseamnă asta că Luna nu se roteşte? Dacă Luna nu s-ar roti şi-ar schimba faţa pe care ne-o arată. Dacă Luna s-ar roti nu şi-ar schimba faţa pe care ne-o arată doar dacă. . .

. . . s-ar roti în jurul axei sale (perioada de rotaţie T 0) în acelaşi timp cu rotaţia în jurul Pământului (perioada de revoluţie T 1=27. 3217 zile). Avem o mişcare sincronă. T 1 este numit perioadă siderală sau orbitală şi reprezintă timpul după care Luna revine la poziţia sa faţă de stele. Care este perioada după care fazele Lunii se repetă văzute din acelaşi loc de pe Terra? Perioada se numeşte perioadă sinodică sau lunaţie. T 2= 29. 5305882 zile Dacă calculăm pe T din relaţia armonică: 1/T 1=1/T 2 + 1/T care este o adunare între frecvenţe: ω 1 = ω2 + ω obţinem un număr cunoscut: T= 365. 2633 care seamănă izbitor cu perioada de revoluţie a Terrei în jurul Soarelui T= 365. 256363 zile

Datorită mişcării Terrei în jurul Soarelui Există o diferenţă între ziua siderală (perioada de rotaţie după care Terra revine în aceeaşi poziţie faţă de stele) T 1= 23 ore şi 56 minute şi 4 secunde şi ziua solară (perioada după care soarele răsare din nou) T 2 = 24 ore Dacă calculăm pe T din relaţia armonică: 1/T 1=1/T 2 + 1/T obţinem : T= 365. 1 zile a câte 24 ore

Mişcarea Planetelor (Soarele, Luna)(Mercur, Venus, Marte, Jupiter, Saturn) - în greacă planetă înseamnă stea “rătăcitoare”, planeta spre deosebire de stelele fixe putea fi găsită oriunde pe cer. - de obicei planetele se mişcau dinspre Vest spre Est, dar uneori aveau o mişcare retrogradă - Platon: Care mişcări uniforme şi regulate pot explica mişcările planetelor?

Serii armonice între perioade Armonia Lumii

Modelul Epiciclilor lui Hiparh (cca. 190 î. Hr. — cca. 120 î. Hr. ) • Terra este în centru • Soarele şi Luna se mişcă în jurul Terrei (de la vest la est). • Planetele se mişcă cu viteză constantă pe nişte cercuri mici numite epicicli. • Epiciclii orbitează în jurul Terrei cu viteză constantă pe un cerc numit deferentă. Combinarea mişcării orbitale şi a celei epiciclice crează mişcarea retrogradă.

Sistemul lui Ptolemeu (100 -178 d. C. ) • Pentru a explica luminozitatea variabilă a planetelor, Terra este deplasată puţin faţă de centru într-un punct numit excentrică • Epiciclii se mişcă cu viteză constantă pe deferentă când sunt privite dintr-un punct special numit ecuantă

Mişcarea retrogradă explicată cu ajutorul epiciclilor

Elipsele lui Kepler erau o necesitate? Nici vorbă! Mişcarea eliptică a lui Marte poate fi explicată cu un epiciclu în care Marte se mişcă invers (fig. stânga) sau cu o combinaţie de epicicli (fig. dreapta) Kepler a încercat o mulţime de curbe printre care şi curba oviformă, care de asemenea poate fi descrisă cu o combinaţie de epicicli.

N. R. Hanson, The Mathematical Power of Epicyclical Astronomy Epiciclii pot descrie aproape orice curbă închisă plană. Un triunghi, un pătrat. . . curbe cu colţuri De ce?

Adunarea nr. complexe Mişcarea circulară cu centrul în z=c cu raza rho, perioada T şi faza alfa este descrisă de: Sau Dacă z 1 reprezintă traiectoria unui epiciclu, atunci deferenta compusă cu un epiciclu este dat de:

În cazul general mişcarea dată de N epicicli este descrisă de seria Fourier complexă Atunci orice funcţie periodică sau aproape periodică poate fi descrisă de o sumă de N epicicli. Descrierea unei mişcări în termenii deferentelor şi epiciclilor constă în determinarea coeficienţilor aj şi kj din seria Fourier, o metodă foarte modernă şi actuală.

Mecanismul din Anthikytera vechi de peste 2000 ani, găsit în 1901 de scufundătorii greci. Complexitatea sa este echivalentă cu cea a mecanismelor de ceas care au stat la baza Revoluţiei industriale din sec. XVIII Este cel mai vechi calculator aritmetic

Reconstrucţia mecanismului de la Antikythera Mişcarea Soarelui şi Lunii şi a celor 5 planete

Mecanismul pentru perioada lui Venus de T=0. 61518 ani tereştri Se obţine din raportul numărului de dinţi X=40 şi Y=64: T =Y/ (X + Y) = 5/ (5 + 8) = 0. 61538 Cu alte cuvinte într-o perioadă de 8 ani tereştri Venus are 5 perioade sinodice În imagine se observă 5 petale, iar curba se închide după 8 rotaţii complete. În realitate perioada T este un număr iraţional şi orbita nu este o curbă închisă.

5 cicluri venusiene (perioada sinodica Venusiana cu T 2=584 zile) sunt egale cu 8 ani terestri (T=365 zile) 5 x 584=8 x 365 Perioada siderala 1/T 1=1/T 2 + 1/T T 1= 225 zile

Nume Descrierea Stea a zeului Mercur Stilbôn (briliant) Hermes Venus Phôsphoros (aducător de lumină) Afrodita Marte Pyroeis (focos) Ares Jupiter Phaethôn (radiant) Zeus Saturn Phainôn (strălucitor) Kronos Tony Freeth, Alexander Jones, The Cosmos in the Antikythera Mechanism

Perioada sinodică T Mercur 3 T=1 an 17. 62 zile Jupiter 1 T=12 ani -4. 58 zile 7 T=83 ani Venus 5 T=8 ani 2. 45 zile Saturn 1 T=29 ani 5. 76 zile 2 T=59 ani Marte 7 T=15 ani 19. 11 zile 42 T=79 ani 8. 4 min Soarele nu are un epiciclu, el se mişcă pe un cerc

Modelul lui Ptolemeu: perioada deferentei şi epiciclului Terra Mercur Venus Marte Jupiter Saturn Avem o mişcare comună pt. toate planetele (primul termen) Există anumite coincidenţe care nu pot fi explicate

Se pot elimina 5 epiciclii prin adăugarea unei singure deferente Scăzând primul termen din toate relaţiile obţinem: Terra Mercur Venus Marte Jupiter Saturn Acestă transformare este o transformare de simetrie şi reprezintă trecerea de la sistemul de referinţă inerţial geocentric la cel heliocentric Copernic (1473 -1543)

T 2 perioada sinodica Semnul se schimbă când trecem de la planetele inferioare la cele exterioare T=365 zile (an terestru) Perioada siderala 1/T 1=1/T 2 + 1/T Planeta Perioada sinodică siderală (zile) (zile/ani) Mercur 116 88/ 0. 24 Venus 584 225/ 0. 61 Marte -780 687/1. 88 Jupiter -4333 399/11. 8 6 Saturn -10765 378/29. 4 5

Modelul Heliocentric a lui Copernic Planetele inferioare (Mercur şi Venus) sunt întotdeauna în vecinătatea Soarelui. Ptolemeu a trebuit să admită că ele sunt întrun fel “legate” de Soare. De ce ele sunt legate, în timp ce planetele superioare (Jupiter, Marte, Saturn) nu sunt? Modelul heliocentric explică natural diferenţa dintre planetele inferioare şi superioare.

Johannes Kepler (1571 -1630) Discipol şi ginere a lui Tycho Brahe, Johannes Kepler a avut acces la moartea sa la cele mai complete şi precise date din acea perioadă.

Legile lui Kepler Distanţa Soare-Terra este 1 Unitate Astronomică (1 U. A. ) După îndelungi calcule Kepler renunţă la orbitele circulare • Planetele se mişcă în orbite eliptice cu Soarele într-unul din focare

Legile lui Kepler • • Planetele parcurg arii egale în timpi egali Rezultă din conservarea momentului cinetic al planetei L=mr x v flash

Legile lui Kepler 3) Perioda orbitei P (în ani) la pătrat este egală cu 4) a axa semi-majoră a orbitei (în U. A. ) la cub: 5) P 2 = a 3 Aceste legi au fost deduse empiric, din datele experimentele. Kepler nu ştia de ce sunt îndeplinite.

Starea fizicii Newton Ce se ştia pe vremea lui Newton: • Corpurile cu mase diferite cad cu aceeaşi viteză • Corpurile în mişcare nu tind în mod necesar spre repaus • Planetele au sateliţi care orbitează în jurul lor • Planetele şi sateliţii satisfac legile lui Kepler Aceste cunoştinţe disparate Isaac Newton le-a reunit într-o teorie unitară - mecanica newtoniană.

Legea gravitaţiei universale Există o forţă atractivă între două corpuri care au masă numită forţă gravitaţională. Aceasta scade invers proporţional cu pătratul distanţei: cu cât distanţa e mai mare forţa e mai mică. Distanţa se referă la distanţa dintre centrele de masă a celor două corpuri.

Dacă Kepler nu descoperea mişcarea eliptică a planetelor, Newton poate că nu reuşea să deducă legea F=k/(r*r) Într-un câmp central de forţe (unde avem simetrie sferică – grupul SO(3) ) orbita circulară este întotdeauna o soluţie. Datorită simetriei sferice se conservă momentul cinetic L. Consecinţa este că orbita trebuie să se afle într-un singur plan perpendicular pe vectorul L. Datorită simetriei la translaţie se conservă energia Orbita este închisă numai dacă: când forţa centrală este: cu β= p/q raţional

Teorema lui Bertrand (1873): Orbita este închisă şi stabilă la mici perturbaţii numai dacă: Forţa centrală este cea a unui oscilator armonic F(r)=-kr (β=2), gravitaţională sau electrostatică F(r)=-k/(r*r) (β=1) sau o orbită circulară (β=0)

Oscilator armonic bidimensional F(r)=-kr (β=2) – Orbite închise: Figurile Lissajous frecvenţele sunt într-un raport de numere întregi n: m

Forţa gravitaţională sau electrostatică F(r)=-k/(r*r) (β=1) Orbite: cerc (e=0), parabolă (e=1), elipsă (e<1), hiperbolă (e>1)