PROBLEMA CASIO Problema n 4 LA PIRMIDE DE
PROBLEMA CASIO
Problema nº 4: LA PIRÁMIDE DE TOPOLICÁN El famoso arqueólogo Indiana Barrow está estudiando la conocida pirámide de Topolicán, que está construida por distintos prismas de base cuadrada, con la superficie externa recubierta de oro. Indiana ha escrito en su cuaderno de notas los siguientes datos: • La base del monumento es un prisma cuadrangular de 9, 72 m de lado, el prisma situado en lo más alto es otro cuadrangular que tiene 4, 28 m de lado y la altura total del monumento es de 5, 25 m. • Todos los prismas tienen la misma altura y los lados de sus caras cuadradas decrecen regularmente (o lo que es lo mismo, su diferencia entre dos caras consecutivas es constante). Calcula, razonando la respuesta, la superficie de oro que tiene la pirámide de Topolicán. Solución Menú
Solución: Si miramos la pirámide desde los cinco puntos posibles, obtendríamos las siguientes vistas: Mirando desde arriba, veríamos todos los cuadrados dentro del más grande: Enunciado Desde cualquiera de los CUATRO laterales veríamos: Menú
Solución: Dadas estas vistas, se proponen varias soluciones: Solución aritmética Solución geométrica Solución general Enunciado Menú
Solución: Solución Aritmética 1/5 El cálculo del área del cuadrado, es fácil: Por lo tanto, área del cuadrado: 9, 72 m · 9, 72 m = 94, 4784 m 2 9, 72 metros Enunciado Aproximadamente 94, 48 m 2 para la vista desde arriba Menú
Solución: La vista lateral está compuesta de cinco rectángulos, conociendo las siguientes medidas. 4, 28 metros 5, 25 metros 9, 72 metros Enunciado Menú Solución Aritmética 2/5
Solución: Por lo tanto, habrá que «echar números» para calcular el área de cinco rectángulos. Todos medirán 1, 05 m de alto (5, 25 : 5) y del ancho de cada rectángulo, conocemos que están en progresión aritmética. Por lo tanto, lo primero será calcular la razón de dicha progresión: Solución Aritmética 3/5 Calculamos dicha razón: 9, 72 - 4, 28 = 5, 44 / 4 = 1, 36 Con estos cálculos, buscamos el área de los rectángulos… Enunciado Menú
Solución: Solución Aritmética 4/5 Base Altura Área Rectángulo 1 4, 28 m 1, 05 m 4, 494 m 2 Rectángulo 2 5, 64 m 1, 05 m 5, 922 m 2 Rectángulo 3 7 m 1, 05 m 7, 35 m 2 Rectángulo 4 8, 36 m 1, 05 m 8, 778 m 2 Rectángulo 5 9, 72 1, 05 m 10, 206 m 2 Sumando todas las áreas de los rectángulos nos daría 36, 75 m 2 Enunciado Menú
Solución: Área del cuadrado: Otra forma de resolución Solución Aritmética 5/5 Área de UNO de los cuatro laterales: 36, 75 m 2 94, 48 m 2 SUPERFICIE TOTAL 147 + 94, 48 = 241, 48 m 2 Enunciado Resultado final Para los cuatro laterales: 4 · 36, 75 = 147 m 2 Menú
Solución: Solución Geométrica 1/6 El cálculo del área del cuadrado, es fácil: Por lo tanto, área del cuadrado: 9, 72 · 9, 72 = 94, 4784 Aproximadamente 94, 48 m 2 9, 72 metros Enunciado Menú
Solución: En la vista lateral, vemos que a la izquierda de la línea discontinua aparecen cuatro triángulos más oscuros. ¿Los podremos «encajar» en otro sitio? 4, 28 metros 5, 25 metros 9, 72 metros Enunciado Menú Solución Geométrica 2/6
Solución: Los trasladamos a otro sitio. Realizamos en cada uno una simetría respecto un vértice… 4, 28 metros 5, 25 metros 9, 72 metros Enunciado Menú Solución Geométrica 3/6
Solución: Nos encontramos que encajan perfectamente, formando el área de un… 4, 28 metros 5, 25 metros 9, 72 metros Enunciado Menú Solución Geométrica 4/6
Solución: ¡Un Solución Geométrica 5/6 trapecio! 4, 28 metros 5, 25 metros 9, 72 metros Enunciado Menú
Solución: Calculamos el área del trapecio: Otra forma de resolución Solución Geométrica 6/6 4, 28 metros Siendo: BM=Base mayor Bm=Base menor h=Altura 5, 25 m 9, 72 metros Área del cuadrado: Para los cuatro laterales: 4 · 36, 75 = 147 m 2 SUPERFICIE TOTAL 147 + 94, 48 = 241, 48 m 2 94, 48 m 2 Enunciado Resultado final Menú
Solución: ¿Qué pasaría si nuestra pirámide tuviese otro número de «escalones» ? Solución General 1/7 4, 28 metros 5, 25 metros … más escalones… 9, 72 metros Enunciado Menú
Solución: Supongamos que la pirámide tuviese «n» escalones: 4, 28 metros 5, 25 metros … más escalones… 9, 72 metros Enunciado Menú Solución General 2/7
Solución: Solución General 3/7 Vamos ahora con las áreas de los rectángulos: 4, 28 metros 5, 25 metros … más escalones… Está claro que las anchuras de los escalones siguen una progresión aritmética. Por lo tanto, las áreas de dichos escalones (las alturas son siempre fijas) seguirán también una progresión aritmética. 9, 72 metros Enunciado Menú
Solución: Solución General 4/7 Sumamos todos los escalones como progresión aritmética… 4, 28 metros 5, 25 metros … más escalones… 9, 72 metros Enunciado Menú
Solución: Solución General 5/7 Aplicamos la fórmula… 4, 28 metros 5, 25 metros … … 9, 72 metros Enunciado Menú
Solución: Está claro que el área de la pirámide «vista desde arriba» sigue sin cambiar, la única diferencia será que hay más cuadrados, pero el área será la misma: Solución General 6/7 Por lo tanto, área del cuadrado: 9, 72 m · 9, 72 m = 94, 4784 m 2 94, 48 m 2 9, 72 metros Enunciado Menú
Solución: Otra forma de resolución Solución General 7/7 Área del cuadrado: Área de UNO de los cuatro laterales: 36, 75 m 2 94, 48 m 2 Para los cuatro laterales: 4 · 36, 75 = 147 m 2 … … SUPERFICIE TOTAL 147 + 94, 48 = 241, 48 m 2 Enunciado Resultado final Menú
Solución: La superficie de la Pirámide de Topolicán que se encuentra recubierta de oro es de 241, 48 m 2 HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN. . . … pero ¿habrá más formas de calcularla? Enunciado Menú
- Slides: 24