Problem zme Yntemi Ar Gr Kenan KONUR 1

Problem Çözme Yöntemi Arş. Gör. Kenan KONUR 1 9. 11. 2020

Problem Tanımları Morgan’a (1985: 149) göre problem, temelde bireyin bir hedefe ulaşmasında engelleme ile karşılaştığı bir çatışma durumudur. Bu engelleme, hedefe ulaşmayı güçleştirebilir. Böyle bir durumda problem, engeli aşmanın en iyi yolunu bulmaktır. Ya da engellenme, yaklaşma kaçınma çatışmasında olduğu gibi, hedeflerin çatışması şeklinde ortaya çıkabilir. Bu tür bir durumda ise problem, çatışmayı çözümlemektir. 9. 11. 2020 2

Problem Tanımları Polya’ya (1962: 117) göre ise problem, amaca en makul yoldan ulaşmak için eylemlerin bilinçli olarak araştırılmasıdır. Zihindeki bir durum hemen hiçbir güçlük olmadan, belli hareketlerle ortadan kaldırılabiliyorsa karşımızda bir problem yoktur. Ancak, hangi hareketlerin yapılacağı belli değilse, o zaman çözülmesi gereken bir problemden söz edilebilir. 9. 11. 2020 3

Problem Tanımları John Dewey ise problemi, insan zihnini karıştıran, ona meydan okuyan ve inancı belirsizleştiren her şey olarak tanımlamaktadır. Problem, zihni karıştıran ona meydan okuyan ve inancı belirsizleştiren şeyler olarak algılandığında problemin çözümü, belirsizliklerin ortadan kaldırılması demektir (Baykul ve Aşkar, 1987: 23). 9. 11. 2020 4

Problem Tanımları Yapılan bu tanıma göre, bir durumun problem olması için insan zihnini karıştırması, bu durumun birey ya da öğrenci için yeni karşılaşılmamış olması, bir durum yani daha olması önce hiç gerekmektedir. Problemler genellikle bireysel ve özneldir. Bir kişi için problem olan bir durum başka birey için problem olmayabilir. Çünkü bazı insanların yaşam küfelerinde bu tür problemlerin çözümleri bulunduğu halde, bazı insanların bu tür tecrübeleri olmayabilir. 9. 11. 2020 5

Problem Tanımları Başaran (1993: 369) a göre ise problem, bireyi rahatsız eden ve çözüm bekleyen maddi ve manevi her şeydir. İnsanoğlu doğduğu andan itibaren ölünceye kadar, büyük ve küçük birçok problemle karşıyadır. 9. 11. 2020 6

Problem Tanımları Problemler uzun süreli, kısa süreli, basit veya karmaşık olabilir. Duygusal, ekonomik ve bedensel problemler vardır. Bu farklı problem türleri birbirleri içine büyük ve karmaşık problemler haline dönüşebilirler (Cüceloğlu, 1993: 219). Bazı problemlerin doğru olan tek cevabı vardır. 9. 11. 2020 7

Problem Tanımları Bingham (1958: 12) problemi, bir kimsenin istenilen bir amaca varmak maksadıyla topladığı mevcut güçlerin karşısına dikilen engel olarak tanımlamaktadır. Yani; bir kimse ne zaman belli bir amaç veya çaba harcarken bizzat engellerle karşılaşır ise onun için bir problem var demektir. 9. 11. 2020 8

Problem Tanımları Problemin ne olduğu hususunda çeşitli kaynaklarda değişik kaynaklara rastlanılmaktadır. Altun’ a (2004: 332) göre problemler gerçek hayatla ilgili olabildiği gibi matematikle de ilgili olabilirler. Gerçek hayattan kastedilen matematiğin dışındaki dünyadır. Yeni okul ve üniversitelerin matematikten farklı konu alanları günlük hayat ve çevremizdeki dünya gerçek hayatı oluşturur. 9. 11. 2020 9

Problem Tanımları Bu iki tür problemle şöyle örnek verilebilir: o 10 nesil geriden kaç kişiden gen almaktayım? (Gerçek hayat problemi) o Her çift sayı, iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir mi? (Bir pür matematik problemi) Pür matematik problemleri uygulamalı problemlerin içinden çıkabilir. Ne var ki böyle bir problem oluştuktan sonra artık o bir pür matematik problemidir. 9. 11. 2020 10

Problem Tanımları Yine Altun’ a (2002: 83 84) göre en genel anlamda problem, kişinin bir şeyler yapmak isteyip de ne yapacağını hemen kestiremediği, bilmediği bir durumdur. Problem karşılan kişi için bir güçlüktür. Problem kişinin çözümüne ihtiyaç duyduğu bir durumdur. Kişi problem durumla daha önce karşılaşmamıştır ve çözmek için bir hazırlığı yoktur. 9. 11. 2020 11

Problem Tanımları Bu özelliklerden bir kez karşılaşılıp çözüldükten sonra aynı durumun problem olmadığı çözümün aniden ortaya çıkmadığı, bir çaba gerektirdiği anlaşılmaktadır. “Toplamları 41 eden iki sayının karekökleri toplamı 9 ediyor, bu sayılar kaçtır? ” sorusu lise öğrencisi için bir problemdir ancak ilköğretim öğrencisi için problem değildir. Çünkü bu problemin metninde ilköğretim öğrencisinin anlayamayacağı ifadeler var. 9. 11. 2020 12

Problem Tanımları Yine aynı yaklaşımla “ 15 elmanın 7 sini yedim. Kaç elmam kaldı? ” sorusu birinci sınıf öğrencisi için problemdir, ancak dördüncü sınıf düzeyindeki bir öğrenci için cevap açıktır. Öte yandan öğrencilerden yapılması istenen 25+19=? , 42 x 3=? , 64: 8=? şeklindeki sorular da birer problem değildir. Bunlar birer alıştırmadır ve burada ne yapılacağı bellidir. 9. 11. 2020 13

Problem Tanımları Her gün çıkıp işine aynı yoldan giden bir kimse ilk gün bir problem çözmüştür. Ondan sonraki gidişlerinde bir problem çözüyor olamaz; çünkü ilk günden sonraki gidişlerinde karşılaştığı yeni durumlar yoktur. Ama her gün kullandığı yolu kapalı görüp başka bir yol bularak işine gidebilen kimse bir problem çözmüştür. O halde bir problemin problem olabilmesi için öğrenciye yeni gelen, ilk defa karşılaştığı bir durumun olması gerekir. 9. 11. 2020 14

Problem Tanımları Problemi bu şekilde anladığımıza göre açıktır ki birey için problem olan bir durum başka birey için problem olmayabilir. Çünkü bir durumla bazı bireyler daha önce karşılaşmış oldukları halde bazıları karşılaşmamış olmayabilirler (Baykul, 2002: 40). 9. 11. 2020 15

Problem Tanımları Problem zor ya da sonucu belirsiz bir sorundur. Çözümü bir araştırma ya da tartışma gerektirir. Kişi çözümü bulma konusunda hazırlıksız fakat isteklidir (James W. and R. Speer; Akt: Altun; http: //yayim. meb. gov. tr/yayimlar/147/altun. html) 9. 11. 2020 16

Bazı Problem Örnekleri Matematik Dünyası Matematiksel Anlatım Çözüm Gerçek Hayat Probleminin Çözümü Gerçek Dünya Her gerçek hayat problemi için bu döngü geçerlidir. 9. 11. 2020 Slayt 174 17

Bazı Problem Örnekleri Bu döngü basit bir problem üzerinde şöyle açıklanabilir. o Gerçekte hayat problemi: Öğrencileri pikniğe götüreceğiz. Nasıl? o Problemin matematiksel anlatımı: Okulumuzun 102 öğrencisi vardır ve 16 kişi taşıyabilecek araçlar kullanılacaktır. Kaç araç gereklidir? o Matematik problemin çözümü: 102: 16= 6, 375 o Gerçek hayat probleminin çözümü: 7 araç gerekir (Altun, 2002: 87). 9. 11. 2020 18

Bazı Problem Örnekleri Matematik ders kitaplarında verilen problemlerin çoğu "matematiksel olarak ifade edilmiş" şekilleriyle verildiklerinden yukarıdaki döngüye tam olarak uymaz. İlk ve son safha ihmal edilir ve çözme süreci "matematik dünya" içindeki safhalarda tamamlanarak hayattan kopuk kalır. Bu durum matematiği anlamsız bir uğraş haline getirir (Altun, 2002: 88). 9. 11. 2020 19

Problemlerin Sınıflandırılması Problemler rutin (sıradan) ve rutin olmayan (sıra dışı) şeklinde sınıflandırılırlar (Altun, 2004: 332). Rutin problemler günlük yaşamda sık karşılan kar zarar, yol zaman hesabı gibi daha çok dört işlem becerilerini gerektiren ve bunların bilinip doğru kullanılması ile çözülen problemlerdir. 9. 11. 2020 20

Problemlerin Sınıflandırılması Bunun yanı sıra “Bir buz dağının görünmeyen kısmı görünen kısmının kaç katıdır? ” veya “Sınıfımızda öğrenci başına ne kadar hava düşer ve bu hava miktarı sağlık koşullarına uygun mudur? ” soruları birer gerçek hayat problemidir ve bizi yakından ilgilendirmektedir. Böyle bir problemin çözümü için sınıfımızın (varsayalım ki dikdörtgen prizma şeklinde) hacmini hesaplamak gerekir ve bu amaçla geliştirilen matematiksel ifade V=axbxc dir. 9. 11. 2020 21

Problemlerin Sınıflandırılması Bu eşitlik elde edildikten sonra prizma şeklindeki bir havuzun aldığı suyun miktarı bir paket şekerin içine kaç tane şekerin sığacağı gibi birçok problemin çözümünde işine yarar. Yani V=axbxc gerçek hayattaki bir çok durumun bir matematik modelidir. Bir taraftan da matematiksel modeli oluşturulmuş bir problemi günlük hayat diliyle kısmen değiştirilerek yeniden ifade etmek suretiyle elde edilen problemler vardır ki bunlara sözel problemler denmektedir. 9. 11. 2020 22

Problemlerin Sınıflandırılması “ 2, 5 m ve 7 m boyutlarındaki bir kamyon kasası kaç metreküp kum alır? ” gibi sözle problemleri oluşturma ve çözme daha çok öğretim amaçlıdır. Bu tür problemler veri toplama ihtiyacını ortadan kaldırmalı ve sınıfta tartışmaya uygunlukları bakımından öğretimde çok kullanılırlar. Dört işlem problemleri diye bilinen problemlerin sözel şekilleridir. 9. 11. 2020 23 rutin

Problemlerin Sınıflandırılması Sıradan Problemler Sıra Dışı Problemler Yaş 5 6 7 8 9 10 11 12 Bu düşünceyle, burada problem çözme öğretimini iki ayrı başlık altında alabiliriz. 9. 11. 2020 24

Rutin (Sıradan) Problemlerin Çözümünün Öğretimi Türkçe literatürde dört işlem problemleri olarak bulunan bu tür problemler genellikle gerçek hayatta sık karşılan olayların sorulaştırılmış şekilleri olarak bilinir. Yabancı literatürde buna en yakın kavram sözel problem (verbal problem, word problem ya da story problem) kavramıdır. Bir sözel problem gerçeğin değiştirilmiş (varsayılmış) bir halini ifade eder. Bu değişiklikten amaç, öğretim sırasında kullanılabilecek bir problem modeli elde etmektir. Bu problemlerin verileri çoğunlukla, toplanmak yerine varsayılmak suretiyle elde edilir. 9. 11. 2020 25

Rutin (Sıradan) Problemlerin Çözümünün Öğretimi “Aralarında 395 km mesafe bulunan iki şehirden birbirlerine karşı hareket eden iki araçtan birincinin hızı 36 km/sa dir. Bu iki araç harekete başladıktan 5 saat sonra karşılaştığına göre diğerinin saatteki hızı kaç km dir? ” bir sözel problemdir. Bu problemdeki mesafe ve hız değerleri keyfi seçilmiş olup, araçların düzenli olarak bu hızı muhafaza ettikleri varsayılmıştır. 9. 11. 2020 26

Rutin (Sıradan) Problemlerin Çözümünün Öğretimi Yollarda bunca kasis, başka araçlar, trafik lambaları, yerleşim birimleri varken bu imkânsızdır. Sözel problemleri konularına göre de hareket, kar zarar, ortak iş görme, alışveriş problemleri gibi adlar verilir (Altun, 2005). 9. 11. 2020 27

İyi Yapılandırılmış ve İyi Yapılandırılmamış Problemler Ayrıca bazı kaynaklara göre Problemler yapı olarak iki kısma ayrılır: a) İyi yapılandırılmış (well structured problem) problemler (Tek çözümlü), b) İyi yapılandırılmamış (ill structured problem) problemler (Çok boyutlu çözümü olan) 9. 11. 2020 28

İyi Yapılandırılmış ve İyi Yapılandırılmamış Problemler a) İyi Yapılandırılmış Problemler: Bu tür problemlerin genellikle tek bir doğru cevabı vardır ve belli stratejiler bu doğru cevabı bulmayı sağlar. Örnek matematik problemleri, fizik ve kimya deneyleri ve bulmacalar (Kalaycı, 2001: 10). 9. 11. 2020 29

İyi Yapılandırılmış ve İyi Yapılandırılmamış Problemler b) İyi Yapılandırılmamış Problemler: Tek bir doğru cevabının olmadığı, günlük yaşamda karşılan problemleri kapsayan problem türüdür. Bu konuda özellikle Kohlberg’in yapmış olduğu çalışmalar dikkat çekmektedir. (Senemoğlu, 2001: 70). Genel olarak iyi yapılandırılmamış problemler, problemin belirlemenin açık tanımının işlemlere bağlı yapılamadığı, olduğu çözümleri ve çözümü değerlendirmek için kriterlerin olduğu durumlar olarak tanımlanmaktadır (Lohman and Finkelstein, 2000: 292). 9. 11. 2020 30

İyi Yapılandırılmış ve İyi Yapılandırılmamış Problemler İyi yapılandırılmamış problemleri çözerken tek bir bilim dalına bağlı kalınmaz. Kişinin o zamana kadar bilgi edindiği alanlardaki bütün birikimi işin içine girer. Bilgi, sadece gerçekleri bulmak için kullanılmaz aynı zamanda eğitim içeriğini öğrenmek ve diğer özel konulardaki bilgiyi almak ve kullanmak için kullanılır (De Vries and Ton De Jong, 1999: 286). 9. 11. 2020 31

Problem Çözme Yöntemi Problem çözme, bir amaca erişmekte karşılan güçlükleri yenme sürecidir. Bu süreç, şartlara uymak veya engelleri azaltmak yolu ile gerginlikten kurtulmanın ve organizmayı bir iç dengeye kavuşturmanın yollarını arar (Bingham, 1958: 22). 9. 11. 2020 32

Problem Çözme Yöntemi Anderson (1980), öncelikle bilişsel işlemler üzerinde odaklanmış ve problem çözmeyi, bilişsel işlemleri sırasıyla bir hedefe yöneltmek olarak tanımlamıştır. Dewey (1933), D’Zurilla ve Golfried (1971), Urban ve Ford (1971) ise problem çözmeyi bir durumu düzenleme modeli olarak ele almaktadırlar (Heppner ve Krauskoph, 1987). 9. 11. 2020 33

Problem Çözme Yöntemi Heppner (1982) in problem çözme tanımı ise bazı yönlerden bu tanımlardan ayrılmaktadır. Heppner, problem çözmeyi, problemlerle başa çıkma kavramı ile eş anlamlı olarak kullanmaktadır. 9. 11. 2020 34

Problem Çözme Aşamaları Eğitimciler ve matematikçiler uzun yıllardan beri problem çözme sürecini anlamaya çalışmaktadırlar. Bunlardan en tanınmışları John Dewey ve George Polya problem çözmenin aşamalarını belirlemeye çalışmışlardır. John Dewey George Polya (1859 1952) (1887 1985) 9. 11. 2020 35

Problem Çözme Aşamaları Dewey’ e (1991) göre problem çözme aşamaları: o Problemin fark edilmesi o Problemin tanımlanması o Önceki deneyin, bilgi, çözüm ve düşüncelerden yararlanarak denencelerin ve önermelerin kurulması o Denencelerin ve olası çözümlerin sınanması o Sonuçların değerlendirilmesi ve karara varılması (Aksu, 1991: 53). 9. 11. 2020 36

Problem Çözme Aşamaları Polya’ ya (1990) göre problem çözme aşamaları: o Problemin anlaşılması o Çözümle ilgili planın yapılması o Planın uygulanması o Çözümün doğruluğunun kontrol edilmesi (Altun, 1994: 346). 9. 11. 2020 37

Problem Çözme Aşamaları Bugüne kadar problem çözme sürecinde izlenmesi gereken adımların belirlenmesi amacıyla çok sayıdaki çalışma sonucunda ortaya çıkan sıralama şu şekildedir: o Problemin anlaşılması o Problemde verilenler ile istenenler arasındaki matematiksel ilişkilerin kurulması, çözüm için gerekli matematik cümlesinin yazılması o İşlemlerin yapılması o Sonucun doğru olup olmadığının kontrol edilmesi. 9. 11. 2020 38

Problem Çözme Aşamaları 1. Problemi Anlama Problemi anlama ile ilgili kritik davranışlar; o Problemde verilen ve istenenlerin neler olduğunun söylenmesi, yazılması. o Problemin öğrencilerin kendi anlatımlarıyla söylenmesi, yazılması. o Probleme uygun, onu açıklayan bir şekil ya da şemanın çizilmesi. 9. 11. 2020 39

Problem Çözme Aşamaları 2. Problemin Çözümünde Başvurulacak Matematik Cümlesinin Yazılması Problemin anlaşılmasından sonraki adım olan bu basamağın kendisi bir kritik davranıştır. 9. 11. 2020 40

Problem Çözme Aşamaları 3. İşlemlerin Yapılması Bu adımın kritik iki davranışı; o İşlem sonuçlarının tahmin edilmesi o Problemin çözümünde kullanılacak işlemlerin yapılması. 9. 11. 2020 41

Problem Çözme Aşamaları 4. Sonucun Doğruluğunun Kontrol Edilmesi Bu adımdaki kritik davranışlar; o Problemin çözümünde başvurulan işlemlerin sağlamasının yapılması o Sonucun, tahmin edilenle karşılaştırılması (Baykul, Aşkar, 1987: 24 25). 9. 11. 2020 42

Problem Çözme Yönteminin Faydaları o Algılama ve akılda tutma daha uzun süreli olur o Öğrenciler, ilerde yüze gelecekleri problemlere uygulanacak çözüm modellerini kavrarlar o Hem teorik hem de pratik öğrenmeyi sağlar o Öğrencinin sorumluluklarını geliştirir o İlgiyle öğrenme ve motivasyonu sağlar o Öğrenciler, ders kitabının dışındaki kaynak materyallerden de faydalanır 9. 11. 2020 43 ve

Problem Çözme Yönteminin Faydaları o Öğrenciler, sonuçlara ulaşmak için nasıl bağımsız düşünmeleri gerektiğini öğrenirler o Öğrenciler başarısız oldukları durumlarda da öğrenme imkanına sahip olurlar o Öğrenciler birbirlerinin fikirlerinden faydalanırlar o Öğrenciyi planlı çalışmaya alıştırır o Öğrenciye problemlere karşı bilimsel bir yaklaşım kazandırır o Öğrencinin sağlam yargılarda bulunmasını sağlar (Gül, 1989). 9. 11. 2020 44

Problem Çözme Yönteminin Sınırlılıkları o Öğrenciler problemin çözümü için gerekli materyal ve kaynakları kolaylıkla sağlayamayabilirler o Fazla zaman gerektirebilir o “Problem” üzerinde çalışmaktan dolayı öğrenci olumsuz tavır geliştirebilir o Harcanan emeğe, enerji ve zamana değmeyebilir o Öğrenmenin değerlendirilmesi güçtür o Öğretmenin sınıf idaresi konusunda iyi yetişmiş olması gerekir (Küçükahmet, 2001). 9. 11. 2020 45

Problem Çözme Becerilerinin Değerlendirilmesinde Dikkat Edilmesi Gereken Hususlar Problem çözme becerisi değerlendirilemeyeceğinden sadece uzun süre bir derste alabilir. Bunu yapabilmek için öğrencinin bir problemi çözme sırasında problemlere nasıl yaklaştığına odaklanmak gerekmektedir(Karataş ve Güven, 2003). 9. 11. 2020 46

Problem Çözme Becerilerinin Değerlendirilmesinde Dikkat Edilmesi Gereken Hususlar Reys ve diğer (1998) problem çözme becerilerinin değerlendirilmesinde aşağıdaki hususların göz önüne alınması gerektiğini ifade etmiştir; o Problemi dikkatli okuduğunu gösteren bulgu var mı? o Öğrencilerin problemlere yaklaşımlarındaki başlangıç yöntemleri aynı mı? o Bir strateji uyguluyorlar mı? Yoksa öğrendikleri en son yöntemi mi kullanıyorlar? o İlk stratejileri başarısızlık ile sonuçlandığında başka bir yöntem kullanıyorlar mı? o Bir stratejiyi uygulamada ne kadar kararlı ve ısrarlılar? 9. 11. 2020 47

Problem Çözme Becerilerinin Değerlendirilmesinde Dikkat Edilmesi Gereken Hususlar o Dikkatsiz hatalar yapıyorlar mı? Yapıyorlarsa ne zaman ve niçin? o Bir problemi çözmede ne kadar istekli davranıyorlar ve uğraşıyorlar? o Probleme ne kadar konsantre oluyorlar? o Ne kadar sıklıkta yardım istiyorlar? o Her bir öğrencinin en çok kullandığı stratejiler nedir? o Görsel materyaller kullanıyorlar mı? Nasıl? o Öğrencilerin davranışları ve yüzündeki ifadeler, ilgilerini ve katılımlarını ortaya koyuyor mu? 9. 11. 2020 48

Değerlendirme Öğrencilerin problem çözme becerilerini değerlendirmek diğer becerileri değerlendirmeye göre oldukça zordur. NCTM'in 1989 yılında yayınladığı standartlar kitabında, problem çözme becerilerinin değerlendirilmesini; "öğrencilerin problem çözmede matematiği kullanma becerisini değerlendirmek, öğrencilerin problemleri matematiksel denklemlere dönüştürmesi, 9. 11. 2020 49

Değerlendirme problemleri çözmede farklı yöntemleri kullanması, problemleri çözmesi, sonuçları doğrulaması, açıklaması ve genellemesi ile olabilir"(p. 209) şeklinde ifade edilmiştir (NCTM, 1989). Yine, NCTM'in 2000 yılındaki raporunda ise eğitimin bütün aşamalarında öğrencilerin problem çözme süreçlerini açıklamalarına olanak sağlayacak yaklaşımların kullanılması gerektiğini belirtilmiştir (NCTM, 2000). 9. 11. 2020 50

İyi Bir Problemin Taşıması Gereken Özellikler Bir problemde bulunması gereken özellikler aşağıdaki gibi toparlanabilir(Wheatley, 1991; Senemoğlu, 1998; Brooks ve Brooks, 1999; Gagnon ve Collay, 2001; Toluk ve Olkun, 2002). Problem; o Öğrenciler için yeni olmalıdır. Çözüm yolu önceden bilinen durumlar, öğrenciler için bir problem olamaz. Dersin örgütlendiği problem, öğrencilerin yeni üretmelerini ve bunları uygularken çözüm de yeni bilgiler kazanmalarını sağlamalıdır. 9. 11. 2020 yolu 51

İyi Bir Problemin Taşıması Gereken Özellikler o Öğrencilerin yaşantılarıyla ilişkili olmalı, öğrenme sürecine katılmaları için öğrencileri güdülemelidir. o Belirli bir amaç içermeli, öğrenciyi çözüm üretmeye yönlendirmelidir. o Öğrencilerin hazırbulunuşluk düzeyine ve ön bilgilerine uygun olmalıdır. Problemler aracılığıyla öğrencilerde oluşturulacak belirsizliğin düzeyine dikkat edilmelidir. Öğrencinin ilgi duymayacağı kadar kolay ya da var olan bilişsel şemalarını kullanarak çözemeyeceği kadar zor olmamalıdır. Öğrencileri öğrenmeye güdüleyebilmek için orta düzeyde bir belirsizlik düzeyine sahip olmalıdır. 9. 11. 2020 52

İyi Bir Problemin Taşıması Gereken Özellikler o Çözülebilir olmalıdır. Öğrencilerin çeşitli yöntemler kullanarak sonuca ulaşabilmelerini sağlamalıdır. o Öğrencilerin denenebilir tahminler yapmalarına ve olası çözüm yolları üretmelerine olanak vermelidir. o Somut araç gereçlerin kullanımına teşvik etmelidir. 9. 11. 2020 53

İyi Bir Problemin Taşıması Gereken Özellikler o Ne istendiğini tam olarak anlatmalıdır. o Öğrencinin üst düzey düşünme becerilerini (eleştirel düşünme, yaratıcı düşünme, problem çözme, karar verme gibi) geliştirecek nitelikte olmalıdır (Akt: Bıyıklı C. Vd. , 2006). 9. 11. 2020 54

Problem Çözme Yönteminin Etkili Kullanımı İçin Rehber İlkeler o Öğrencileri birkaç problemle karşıya bırakın o Problemleri öğrencilerin olgunluk ve beceri düzeylerine uygun biçimde sunun o Problemin önemini öğrencilere gösterin o Problemi tanımlama ve sınırlamada öğrencilere yardım edin 9. 11. 2020 55

Problem Çözme Yönteminin Etkili Kullanımı İçin Rehber İlkeler o Öğrencilerin kullanacağı uygun araç ve gereci sağlayın o Öğrencilere gerektiğinde rehberlik yapın ve onları yönlendirin o Öğrencilerin değerlendirme yapabilmeleri için geliştirmelerine yardım edin (Küçükahmet, 2001). 9. 11. 2020 56 ölçüt

Problem Örnekleri Sıradan ( Rutin ) Problemler Bunlar, Matematik ders kitaplarında yer alan ve dört işlem becerileri ile çözülebilen problemlerdir. Sıradan problemler bir ya da çok işlemli olabilirler. “ Ali 212 sayfalık bir kitabın birinci gün 30, ikinci gün de 42 sayfasını okudu. Üçüncü gün kitabın yarısına geldiğine göre üçüncü günde kaç sayfa okumuştur? ” problemi çok işlemli bir sıradan problemdir. 9. 11. 2020 57

Problem Örnekleri Sıradışı (Rutin Olmayan) Problemler Sıra dışı problemler bir veya birkaç işlemin doğru seçilmesiyle hemen çözülememeleri bakımından sıradan problemlerden farklıdır. Çözümleri işlem becerilerinin ötesinde, verileri organize etme, sınıflandırma, ilişkileri görme gibi becerilere sahip olmayı ve bir takım eylemleri arkaya yapmayı gerektirir (Souviney, 1989 : 66; Altun, 2005). Örneğin; o Bir adam bir oyundan bir kurt, bir kuzu ve bir tutam ot kazanıyor. Bunlarla birlikte bir nehrin bir kıyısından öbür kıyısına geçmek zorunda, ancak birini yanma alabiliyor. Otu geçirirse kurt kuzuyu, kurdu geçirirse kuzu otu yiyebilir. Hiçbir zayiat olmadan bunları karşıya nasıl geçirebilir? probleminde işlem yapmanın hiç gerekmediği açıktır. 9. 11. 2020 58

Problem Örnekleri Bir başka örnek olarak şu problem verilebilir: o Bir ağaç türü ile ilgili belgesel hazırlamak isteyen bir araştırmacı yüksek bir ağacın boyunu ölçmek istiyor. Elinde 1 metrelik bir cetveli varsa bu işi başarabilir mi? Ağacın gölgesinden nasıl yararlanabilir? 9. 11. 2020 59

Problem Örnekleri Sıra dışı problemlerde problemlerin konusu çoğunlukla çevresel bir olaydır veya problemin gerektirdiği düşünme modeli çevresel başka olaylara açıklık getirme de kullanılabilecek türden bir süreçtir. Bundan ötürü bunlara gerçek problem veya gerçek hayat problemi denmektedir. Çocuk bu problemleri kendi somut yaşantısına dayanarak çözebilir ve bunları çözmekle çevredeki olayların bazı matematik kurallara göre davrandığını fark eder (Altun, 2005). Slayt 20 9. 11. 2020 60

Problem Örnekleri Gerçek hayat problemi: Öğrencileri pikniğe götüreceğiz. Nasıl? Problemin matematiksel anlatımı: Sınıfımızın 30 öğrencisi vardır ve 4 kişi taşıyabilecek taksiler kullanılacaktır. Kaç araç gerekir? Matematik problemin çözümü: 30 : 4 = 7, 5 Gerçek hayat probleminin çözümü: 8 taksi gerekir. 9. 11. 2020 61

Problem Örnekleri Etkinlik Problem Kavramı Grup: 2 -3 Kişi Aşağıdaki üç sorunun okunması o Bir çiftlikte bulunan 40 inekten birincisi 1 kg, İkincisi 2 kg, üçüncüsü 3 kg, . . . , kırkıncısı 40 kg süt vermektedir. İnekleri 5 kardeş arasında öyle paylaştırınız ki her kardeşe düşen inek sayısı ve süt miktarı aynı olsun. o %35 indirimle 13, 65 liraya satılan bir malın indirimsiz fiyatı kaç liradır? o 52 sayısının 5 katının 13 eksiği kaç eder? Yukarıdaki üç sorudan, hangisinin sonucunu merak ediyorsunuz? Bunlardan yalnız birine problem demek zorunda kalırsanız bu hangisi olur? 9. 11. 2020 62

Problem Örnekleri Her grubun kararını açıklaması. Bu etkinlikte yer alan sorulardan, birincisi gerçek bir problem; İkincisi, bir dört işlem problemidir. Üçüncüsü ise; bir problem değil, alıştırmadır. Muhtemelen, sınıfça cevabı en çok merak edilen soru ilk sorudur. 9. 11. 2020 63

Problem Örnekleri Etkinlik: Problem Çözmede Safhalar Grup: 3 -4 Kişi o “Süt ve İneklerin Paylaşımı“ problemini göz önüne alarak bu problemin çözümünde yer alan etkinlikleri 3, 4 veya 5 basamağa ayırınız. Her safhada yapılacak olan işleri kısaca yazınız. Kağıdınızı yanınızdaki grupla değiştiriniz ve diğer grubun çalışmasını okuyunuz, buna göre ekleyip çıkaracağınız bir şeyler varsa düzeltiniz. Elde edilen son çalışmalarınızı panoya asınız ve birbirleriyle karşılaş tırarak sınıfça üzerinde fikir birliğine varılmış olan dört maddeli bir “ Problem Çözmenin Safhaları ” metni elde ediniz. 9. 11. 2020 64

Problem Örnekleri Çocuklar bir problemle karşılaştıklarında çoğu kez bu durumda kullanılabilecek bir kural hatırlamaya çalışırlar. Bu iyi bir girişim değildir. Çünkü problem çözmenin kuralları yok, ancak sistematiği vardır. Yani çözüme belirli adımlar atıldığında kesin olarak ulaşılamamaktadır. Öğretmenin temel görevi, öğrenciye problem çözmeyle ilgili sistematiği kavratmak ve bu sistematiği kullanırken başvurulacak stratejileri, problem çözmeyle ilgili temel becerileri kazandırmaktır. 9. 11. 2020 65

Problem Örnekleri Hatırlatma Sıradan ve sıradışı problemlerin çözümleri konusunda en çok kabul gören süreç George Polya ( 1887 1985 ) tarafından verilen dört aşamalı bir süreçtir. Bu sürecin basamakları şöyledir: o o Problemin anlaşılması Çözümle ilgili stratejinin seçilmesi Seçilen stratejinin uygulanması Çözümün tartışılması 9. 11. 2020 66

Problem Örnekleri Problemin Anlaşılması Bu basamakta cevaplanacak iki temel soru vardır. o Veriler nelerdir, koşullar nelerdir? o Bilinmeyen nedir? Eğer öğrenci bu iki soruya tam olarak cevap verebiliyorsa problemi anlamış demektir. 9. 11. 2020 67

Problem Örnekleri Çözümle İlgili Stratejinin Seçilmesi ( Çözüm İçin Plan Yapma ) Bu safha, problemde verilenler ile bilinmeyenler arasındaki ilişkilerin araştırıldığı safhadır. Eğer hemen bir ilişki bulunamıyor ise, benzer problemler ve onların çözümleri göz önüne alınmalıdır. Bu girişimlerin sonunda çözüm için bir plan ortaya çıkar. Bunun için öğrenci kendine şu soruları sormalıdır: o Buna benzer, daha önce başka bir problem çözdüm mü? Orada ne yaptım? o Çözümde işe yarayacak bir bağıntı biliyor muyum? o Bu problemi çözemiyorsam, buna benzer daha basit bir problem ifade edip çözebilir miyim? 9. 11. 2020 68

Problem Örnekleri o Tasarladığım çözümde bütün bilgileri kullanmış oluyor muyum? o Bu problemin cevabını tahmin edebiliyor muyum? Cevap hangi değerler arasında olabilir? o Problemi kısım çözebilir miyim? Her seferinde çözüme ne kadar yaklaşmaktayım? Buradaki soruların problemin anlaşılmasıyla çok yakından ilişkili olduğu açıktır. Çünkü uygun stratejinin seçilmesi anlamaya ve stratejileri tanımaya bağlıdır. Bir problemin çözümünde bazen bir, bazen birkaç strateji birlikte kullanılır. Bazen de aynı problemin çözümüne farklı stratejiler uygun düşebilir. 9. 11. 2020 69

Problem Örnekleri Bu stratejilerin başlıcaları şunlardır: o Sistematik Liste Yapma o Tahmin ve Kontrol o Diyagram Çizme o Bağıntı Bulma ( Veriler Arasında İlişki Arama ) o Açık Önerme Yazma ( Eşitlik veya Eşitsizlik ) o Tahmin Etme o Benzer Problemlerin Çözümünden Faydalanma o Geriye Doğru Çalışma o Tablo Yapma o Muhakeme Etme (Altun, 2005). 9. 11. 2020 70

Problem Örnekleri Araştırmalar, problem çözme stratejileri ile ilgili olarak, şu sonuçları ortaya koymuştur: o Problem çözme stratejileri öğrenilebilmekte ve öğrenciler bu stratejileri kullanabilmektedirler. , o Hiçbir strateji tüm problemlerin çözümü için uygun değildir. Ancak bazı stratejilere diğerlerine göre daha sık başvurulmakta ve bu stratejiler daha çok kullanılmaktadır. Bir problemin çözümünün değişik basamaklarında değişik stratejilere ihtiyaç duyulabilmektedir. o Değişik stratejilerin öğrenilmesi, öğrencilere karşılaşacakları değişik problemler için bir alışkanlık ve yatkınlık sağlamaktadır. 9. 11. 2020 71

Problem Örnekleri o Öğrencilerin stratejileri etkili kullanabilmeleri için, onlara strateji tanıtılmadan doğrudan problemle karşılaştırılmalı, alternatif yaklaşımları denemeleri için onlara fırsat verilmelidir. o Problem çözme stratejilerinin kazanılması ve kullanılması, öğrencinin gelişmişlik seviyesiyle ilgilidir. Öğretimde stratejilerin güçlük düzeyleri dikkate alınmalıdır (Reys and Suydam, 1995; Akt: Altun, 2005). 9. 11. 2020 72

Problem Örnekleri Stratejinin Uygulanması ( Planı Uygulama ) Seçilen stratejinin kullanılması ile problem adım çözülmeye çalışılır. Çözülmez ise problemin bir veya ikinci adımına dönülerek bu stratejide ısrar edilir. Yine çözülmez ise strateji değiştirilir. Aritmetik işlemlerin yapılması da bu safhada yer alır. 9. 11. 2020 73

Problem Örnekleri Çözümün Tartışılması Çözümün tartışılması veya değerlendirilmesi çoğu kimse tarafından sadece “sonuçların doğruluğunun kontrolü” olarak anlaşılmaktadır. Oysa bu safha daha geniş bir anlama sahiptir ve problem çözme yeteneğinin geliştirilmesi ile ilgili birçok etkinlik içerir. Bu safhanın temel eylemleri şunlardır : Sonuçların doğruluğunu ve uygunluğunu kontrol et. Problemi varsa başka yollardan çöz. Problemin değişik şekillerini ifade et ve bu durumda çözümün nasıl olacağını düşün. Bu sorular yardımıyla, değerlendirme basamağında sonuçların doğruluğu ve anlamlılığı kontrol edilir. Sonucun anlamlılığı ve uygunluğunun kontrol edilmesi ile ilgili olarak aşağıdaki etkinliği yapınız. o o o 9. 11. 2020 74

Problem Örnekleri Etkinlik Çözümün Tartışılması Grup: 3 4 Kişi İşlemler: Gruptaki öğrencilerin aşağıdaki sorulan çözmeleri ve sonuçları bildirmeleri. o 102 öğrenci kapasitesi 16 kişi olan asansörlerle teras kata çıkacaktır. Asansörün kaç sefer yapması gerekir? o 102 m kumaştan her biri 16 m eninde perdeler dikilecek. Kaç perde çıkar? o 102 gr ilaç 16 şişeye eşit olarak paylaştırılacak. Her bir şişeye kaç gr ilaç düşer? o 102 fidanla, bir cepheden bakınca sıralı 16 fidan görülecek şekilde dikdörtgen şeklinde bir fidanlık kurulacaktır. Bu fidanlığa diğer cepheden bakacak olursak, fidanlar kaç sıra halinde görülür? 9. 11. 2020 75

Problem Örnekleri Bu dört problemin her birinde kullanılan işlem aynı mıdır? Bu dört problemin her birinin cevabı aynı mıdır? Etkinlikte yer alan dört problemin her birinin çözümünde aynı işlem ( 102 : 16 = ? ) kullanılmaktadır. Ancak her birinin cevabı farklıdır. İlk sorunun cevabı 7, İkincinin 6, üçüncüsünün 6, 375’tir. Dördüncü ise çözümsüzdür, çünkü dikdörtgen şeklinde böyle bir fidanlık kurmak imkansızdır. Bu safhada ayrıca problem için önerilen değişik çözüm yolları, problemin değişik şekilleri ifade edilir ve bu durumlarda nasıl çözüleceği tartışılır ( Mason, 1999; Akt: Altun, 2005). 9. 11. 2020 76

Problem Örnekleri Matematik kitaplarında rastlanan problemlerin çözümleri, bu dört basamağın esaslı bir uygulaması değildir. Bunlar daha çok onların uygulanmasında gerekli olan temel becerilerin kazandırılmasıyla ilgilidirler. Çocuklar ilkokul yıllarında bu sıradan problemlerle daha çok meşgul edilmeli, zaman içinde artarak gerçek problemlerle yüze getirilmelidir. Bunu aşağıdaki gibi bir şema ile gösterebiliriz, sıradan ve sıra dışı aralarında kesin bir sınır yoktur. Bazen bir problem her iki gruba uygun düşebilir veya bazı öğrenciler için, sıradan, bazı öğrenciler için sıra dışıdır. 9. 11. 2020 77

Problem Örnekleri Dört İşlem Problemlerinin Çözümlerinin Öğretimi Sözel problemlerin sıradan ve sıra dışı olanı vardır. o “ Tanesi 9 kuruştan 16 yumurta kaç lira tutar? ” sıradan, o “ 16 kişi 2’şer ve 3 ’er olarak 7 masaya oturacak. Kaç masaya 2’şer, kaç masaya 3’er kişi düşer? ” sıra dışı birer sözel problemdir. Şimdi bunların öğretiminin nasıl yapılacağını açıklayalım. 9. 11. 2020 78

Problem Örnekleri Dört işlem problemleri bir çözüm bekleme, öğrenilen bilginin yeniden düzenlenmesi, ne yapılacağına öğrencinin karar vermesi bakımla rından gerçek hayat problemlerine benzerler. Bir çeşit onların minyatürü gibidirler. Dolayısıyla çözümlerinde izlenen yol da hemen aynıdır. 9. 11. 2020 79

Problem Örnekleri Çocuklar ilkokula yeni başladıklarında sıradan problemlerle karşılaşır. Bunların çözümünü öğrenirken problem çözmeyle ilgili tablo kullanma, liste düzenleme, şekil çizme gibi temel becerileri kazanırlar. Bu yönleriyle sıradan problemler problem çözmedeki özel amaçlan gerçekleştirmenin yanı sıra dışı problemleri çözmeyle ilgili temel becerileri kazandırma görevini de üstlenirler. Bu bakımdan bu tür problemlerin seçilmeleri ve çözümünün öğretimi önemlidir. 9. 11. 2020 80

Problem Örnekleri Bazı matematik ders kitapları hatalı bir tutumla sadece tek doğru cevabı olan problemlere yer verirler. İlgili bulundukları konudaki kavram ve bağıntıları pekiştirmeyi amaçlar, konular arasındaki ilişkileri, problemlerin karşılabilen çeşitliliğini ihmal ederler. Açıklama, yorumlama, uygula mayı göz ardı edip sadece işlem becerilerini geliştirmeyi amaçlarlar. Gerçek hayatla pek ilgileri yoktur. 9. 11. 2020 81

Problem Örnekleri Kitap hazırlarken veya ders hazırlıkları yaparken tek doğru cevabı olan soruların yanı sıra aşağıdaki tür sorulara da yer vermek gerekir: o Çözümsüz (çözümü olmayan), o Birden çok çözümü olan, o Eksik ya da fazla bilgi içeren, o Bir formülün uygulanmasını gerektiren, o Sayısal veri içermeyen, o Şekil ya da çizim yapmayı gerektiren, o Gerçek hayatın bir uygulamasını konu edinen, o Veri toplamayı gerektiren, o Değişik zamanlarda çalışmak suretiyle tamamlanabilen, , o Tablo ve grafiklerin yorumunu gerektiren problemler. 9. 11. 2020 82

Problem Örnekleri Etkinlik: Problem Türleri Grup : 3 4 kişi İşlemler : Aşağıdaki problemlerin okunması ve her birinin verilen problem türlerinden hangisine girdiğinin belirlenmesi. o Kenarları tamsayı ile ifade edilen ve çevresi 20 cm olan dikdörtgenin kenar ölçülerini bulunuz. o 40 katırı her birine tek sayıda katır bağlamak koşuluyla 7 kazığa nasıl bağlarsınız? Açıklayınız. o 100 cm uzunluğunda bir çubuk önce 2’ye sonra 4’e katlanır ve kat yerlerinden kesilirse kaç parça meydana gelir? o 100 Lira bankaya yatırılırsa 6 ayda kaç lira faiz getirir? o 4 kişilik bir ailenin ortalama aylık masrafı kaç Liradır? o Daha önce verilen “ kurt, kuzu, ot ” probleminin çözümü nedir? o Ali, Nur, Efe bir iş yerinde sırasıyla 5, 4, 3 gün çalışıyorlar. Her biri günde 3 kahve içiyor. Toplam kahve masrafı 14, 4 L olduğuna göre, Efe’nin payına düşen kaç liradır? 9. 11. 2020 83

Problem Örnekleri Burada yer alan yedi sorudan birincisi çok çözümlü, İkincisi çözümsüz, sonuncusu fazla veri içeren bir sorudur. Diğerleri? 9. 11. 2020 84

Problem Örnekleri Problem çözme öğretiminde özellikle ilk yılları ilgilendirilen önemli bir yaklaşım da Gerçekçi Matematik Eğitimidir. Bu yaklaşıma göre, problem çözme çalışmalarına çocukların okul öncesinden getirdikleri izlenim ve gözlemlerden yararlanarak başlamak, problem çözerken onları formal dile zorlamamak, kendi ürettikleri çözüm yollarını önemsemek gerekir. 9. 11. 2020 85

Problem Örnekleri Örneğin, çocuklar bizim çıkarma işlemi ile çözüleceğini düşündüğümüz bir problemi toplama, bölme gerektiren bir problemi çarpma ile çözebilirler. Bu durum bir örnek üzerinde şöyle açıklanabilir : İkinci sınıf öğrencisi Ekin’in “ 5. adımda bulunan yavru karınca, kendi çabasıyla 14. adıma kadar geldi. Kaç adım atmış oldu? ” sorusuna verdiği cevap aşağıda görülmektedir. 9. 11. 2020 86

Problem Örnekleri Ekin bu soruya 5’ten 14’e kadarki adımları sayarak doğru cevap vermiştir. Bu problemin daha ileri düzeylere uygun bir benzeri şöyle olabilir: o " Benim kitabım 53 sayfadır. 26 sayfasını okudum. Bitirmek için kaç sayfa daha okumalıyım? ” sorusunu çocukların çoğu basamak kavramına dayalı kolonlu çıkarmayı yapmadan problemi çözebilirler. Onlar 26’dan 53’e varmak için toplu saymalara başvururlar. Bu çözümlerini boş sayı doğrusu üzerinde gerçekleştirebilirler. Boş sayı doğrusu üzerine sayılan yerleştirme işini öğrencinin bizzat kendisinin yaptığı bir doğru veya eğridir. 9. 11. 2020 87

Problem Örnekleri Sorunun muhtelif çözümlerden bazıları şöyle olabilir (Streefland, 1990: 2; Akt: Altun, 2005). 9. 11. 2020 88

Problem Örnekleri Dört işlem problemlerinin çözümlerini ilgilendiren temel becerilerin neler olduğunu ve bunların nasıl geliştirileceğini inceleyelim. Problem çözmedeki dört safhanın içinde yer alan temel beceriler şöyle sıralanabilir. Verilenleri ve İsteneni Yazma Verilen ve isteneni yazma, problem metninde verilen ve istenen bilgileri bilgi kaybına yer vermeksizin kısaca yazmaktır. Öğrencilerin bunu yapabilmesi için problemi okuyup anlamaları ve anlatabilmeleri gerekir. Bu amaçla öğretmen önce problemi okumayı öğretmelidir. 9. 11. 2020 89

Problem Örnekleri Bir problemin okunması diğer metinlerin okunmasından farklı bir beceri ister. Problemin okunmasında vurgu ve seçicilik hakim olmalıdır. Bu okuma çocukların verilen ve istenenleri ayırmasında kolaylık sağlar. Problemi okuma öğretildikten sonra problem metnine ilişkin anlatma, soru sorma ve sorulara cevap verme etkinliklerine yer verilmelidir. Öğrencilerin anlamada güçlük çektikleri kavram ve deyimler de bu safhada açıklanmalıdır. 9. 11. 2020 90

Problem Örnekleri Örnek : Bir satıcının, tanesini 6 kuruştan aldığı 115 yumurtadan 12 tanesi kırıldı. Kalanların tanesini 8 kuruştan sattı. Bu satıştan kar mı zarar mı etmiştir? Kar ya da zarar ne kadardır? Verilenler o Alınan yumurta : 115 tane o Yumurta alış fiyatı: 6 kuruş o Kırılan yumurta : 12 tane o Yumurta satış fiyatı: 8 kuruş İstenen o Kar ya da zarar kaç Lira? 9. 11. 2020 91

Problem Örnekleri Ayrıca bazı problemlerde verilen bir koşul sayısal veri gibi iş görür. Bunların da fark edilmesi ve verilenler içinde yapılması gerekir. Örnek: Toplamları 10 eden tek sayı çiftlerinin sayı değerleri toplamı kaçtır? Verilenler o a + b = 10 o a ve b tek sayı İstenen o Uygun sayı çiftlerinin toplamı? 9. 11. 2020 92

Problem Örnekleri Probleme Uygun Şekil ve Şema Çizme Etkinlik: Probleme Uygun Şema Çizme Grup: 2 -3 Kişi İşlemler: o “ Aynı işte, Ali 7, Mehmet 4 gün çalışarak 236 lira kazanmıştır. Her birinin payına kaç lira düşer? ” problemine uygun şema çiziniz. o Çizdiğiniz şemayı ve bu şemanın çözüme katkısını açıklayınız. 9. 11. 2020 93

Problem Örnekleri İlkokulda çocuklara bir problemin şekille nasıl gösterileceği öğretilmelidir. Somut işlemler dönemindeki çocuklar x, y gibi soyut işaretler kullanamazlar. Ancak bilinmeyeni temsil eden şekiller kullanmak onların problemi anlamasını kolaylaştırır. Verilen etkinlik için uygun şemalardan biri, Ali’yi 7, Mehmet’i 4 birimle (|-|) göstermektir. Ali : |-|-|-|-| Mehmet : |-|-| 9. 11. 2020 94

Problem Örnekleri Örnek : İki yumurta ile iki ekmeğe 72 kuruş ödenmiştir. Bir yumurta 11 kuruş olduğuna göre bir ekmek kaç kuruştur? Aşağıdaki şekil satın alınanları temsil ettiği ve göz önünde tuttuğu için anlamayı kolaylaştırır. Probleme uygun şekil çizmeyi öğretmek için yapılacak çalışmalardan birincisi, verilmiş şekillere uygun problem metinleri yazdırma; İkincisi ise, problem metinlerine uygun işlemleri karakterize edecek şekiller çizdirmedir. 9. 11. 2020 95

Problem Örnekleri Yapılacak İşlemlerin Kararlaştırılması ve Matematik Cümlenin Yazılması Bu beceri, problemleri çözerken kullanılır. Geliştirilmesi için problem öğrencilere cümle okunur. Çocuklar dinledikleri cümleler deki ilişkilere göre adım matematik cümleyi yazarlar. Bu çalışmalar soyut işlemler dönemindeki cebirsel eşitlik ya da eşitsizlik yazmanın ilk basamağıdır. Başarılması için problemin anlaşılması, işlem işaretlerinin gerektiği şekilde kullanılması gerekir. 9. 11. 2020 96

Problem Örnekleri Ali ’nin renkli kalemleri vardı; 5 renkli kalemde ben verdim, böylece 11 kalemi oldu. Acaba başlangıçta Ali ’nin kaç kalemi vardı? Adımlar Cümle Matematik anlatım I. Ali’nin kalemleri var. [] II. 5 kalem de ben verdim [] + 5 III. 11 kalemi oldu [] + 5 =11 Böylece son adımda matematik cümle tamamlanmış olur. Daha sonra çözüm için eşitliğin her iki tarafından aynı miktarları ( 5’i) alalım ya da “ 5 hangi sayıyla toplanırsa 11 eder? ” yaklaşımları kullanılabilir. [] = 6 kalem 9. 11. 2020 97

Problem Örnekleri Bu örneğimizdeki Matematik cümle bilinmeyenden başlayarak yazılıyor. Bazı problemlerin matematik diliyle ifadesi bilmenden başlanmasını gerektirir. Örnek : “ Cebimdeki 20 Liranın 3/5’i ile kalem aldım. Kalan para ile tanesi 2 liradan kaç silgi alabilirim? ” bu tür bir problemdir. Adımlar I. III. Cümle Cebimde 20 Lira vardı. 3/5 ‘i ile kalem aldım. Kalanı ile tanesi 2 Liradan silgi 9. 11. 2020 Matematik anlatım 20 20 x 3/5 (20 - 20 x 3/5): 2=? 98

Problem Örnekleri Burada " ? “ yukarıdaki örnekteki [] ile aynı görevi üstlenmiştir. Önce parantez içindeki işlemler yapılacak, daha sonra bölme yapılınca 4 silgi alınabileceği bulunacaktır. İlkokulda Matematik cümlenin yazılması çalışmaları, önce adım başlatılıp geliştirilirse, öğrencilerin bir süre sonra problemin okunma hızı içinde bunu yürütebilecekleri görülür. Ancak her öğrenciden aynı süratin beklenemeyeceği açıktır. 9. 11. 2020 99

Problem Örnekleri Sonuçların Tahmin Edilmesi Problem çözme becerisinin geliştirilebilmesi için üzerinde durulması gereken bir husus da, öğrencilere işlem sonuçlarını nasıl tahmin edeceklerinin öğretilmesidir. Öğrencilere ölçmelerine izin verilmeden bir pencere camının gösterilmesi ve kaç lira tutabileceğini söylemelerinin istenmesi durumunda muhtemelen, “ Eni …. olsa, boyu …. olsa çarpımları yaklaşık …. olur. 15 liradan …. lira tutar? ” şeklinde söyleyerek cevap verirler. Tahminin ne olduğu bu söylem içinde saklıdır. Gerçek değerler küsuratlı olmasına rağmen, önerilen sayıların yuvarlak olduğu görülecektir. 9. 11. 2020 100

Problem Örnekleri Tahmin etme; yuvarlak sayılarla zihinden işlem yaparak cevabın, aşağı yukarı nerede bulunabileceğini kestirmektir. Örneğin, 38 x 83 = ? işleminin sonucunun tahmini, bu sayıları 40 ve 80 almak suretiyle ( 40 x 80 = 3200 ) “ Cevap 3200 civarındadır. ” şeklinde olur. Problemin sonucunun işlem yapmadan tahmin edilmesi de mümkündür. Örnek: Kilogramı 1, 38 lira olan 2 kg çerez ile, kilogramı 2, 45 lira olan 3 kg çerez karıştırılıyor. Karışımın kg ’ı kaç liraya gelir? Bu problemde cevabın 1, 38 lira ile 2, 45 lira arasında çıkacağını söylemek yeterli bir tahmindir. Cevabın 2, 45’e daha yakın bir yerde olacağını düşünmek daha kuvvetli ( daha düzeyli) bir tahmindir. 9. 11. 2020 101

Problem Örnekleri Problemin Çözümünün Tartışılması Çözümün tartışılması safhasının üç temel davranışı vardır. o Çözümün doğruluğunun ve uygunluğunun anlaşılması, o Problemin varsa başka bir yolla çözülmesi, o Bu problemde kazanılan bilgilerin bazı değişkenlerle ve tür problemlerin çözümünde kullanılacağının kararlaştırılması. Yani çözümün genellenmesidir. 9. 11. 2020 102

Problem Örnekleri Örnek: Üçgen ve dörtgenlerden oluşan bir şekil grubunda; 10 şekil, 36 kenar vardır. Şekillerin kaçı üçgen kaçı dörtgendir? ” sorusu için : I. yol : Eğer hepsi üçgen olsaydı; 10 x 3 = 30 kenar olurdu, 36 30 = 6 kenar fazla. Bu 6 kenar şekillerden 6 tanesinin dörtgen olmasıyla mümkündür. O halde 6 dörtgen ve 4 üçgen vardır. II. yol : 5 tanesinin üçgen, 5 tanesinin dörtgen olduğunu varsayalım. Üçgenlerin kenar sayısı : 5 x 3 =15 Dörtgenlerin kenar sayısı : 5 x 4 = 20 Toplam kenar sayısı : 15+20 = 35 kenar 9. 11. 2020 103

Problem Örnekleri Kenar sayısı 36 olduğuna göre dörtgen sayısının artırılması üçgen sayısının azaltılması gerekir. 4 x 3=12 6 x 4=24 Toplam 12 + 24 = 36 O halde 4 üçgen, 6 dörtgen vardır. Bunlar farklı iki çözümdür. Öğrencilerin çözümleri birbirleri ile kıyaslanırken, herhangi birinin çözüm yöntemi için “ daha iyi bir çözüm ” nitelenmesi yapmaktan kaçınılmalıdır. Böyle yapıldığı takdirde bazı öğrencilerin düşünme süreçlerine güvenleri azalır ve kendilerini düşünmekten alıkoyarlar. Daha uzun bile olsa öğrencinin açıklayabildiği yol en iyi yoldur. Bu safhanın en önemli davranışı çözümün analizi ve genellenmesidir. Bu safhada çözülen problemin benzerlerinin ve veri değişikliği ile yapılanlarının nasıl çözüleceği öğrencilerle tartışılmalıdır. 9. 11. 2020 104