PROBLEM ZME 1 PROBLEM NEDIR Problem deyince akla

PROBLEM ÇÖZME 1

PROBLEM NEDIR? Problem deyince akla, çoğunlukla ilkokul matematik ders kitaplarından elde edilen bir anlayışla, konu sonlarında verilen dört işleme dayalı matematik problemleri gelmektedir. Problem kavramı burada sözü edilenden daha geniş bir anlama sahiptir ve problemin matematikle ilgili olması şart değildir. 2

Etkinlik : Problem kavramı Grup : 2 -3 kişi İşlemler : 1. Aşağıdaki üç sorunun okunması. Bir çiftlikte bulunan 40 inekten birincisi 1 kg, ikincisi 2 kg, . . . , kırkıncısı 40 kg süt vermektedir. İnekleri 5 kardeş arasında öyle paylaştırınız ki, her kardeşe düşen inek ve süt miktarı aynı olsun. %35 indirimle 65 -YTL ye satılan bir malın indirimsiz fiyatı kaç TL dir? 52 sayısının 5 katının 13 eksiği olan sayı kaçtır? 3

2. Yukarıdaki üç sorudan, hangisinin sonucunu merak ediyorsunuz? Bu sorulardan yalnız birine PROBLEM demek zorunda kalırsanız, bu hangi soru olur? Bu etkinlikte yer alan sorulardan birincisi gerçek bir problem, ikincisi bir dört işlem problemi, üçüncüsü ise bir problem değil, bir alıştırmadır. 4

En genel anlamda problem, kişinin bir şeyler yapmak isteyip de ne yapacağını hemen kestiremediği, bilmediği bir durumdur. Problem kavramıyla ilgili çeşitli kaynaklarda verilen değişik tanımlar, problemin 3 temel özelliğini ortaya koymaktadır: Problem, karşılan kişi için bir güçlüktür Problem, kişinin çözümüne ihtiyaç duyduğu bir durumdur Kişi, problem olan durumla daha önce hiç karşılaşmamıştır ve çözmek için bir hazırlığı yoktur 5

PROBLEM ÇÖZME Problem çözme, ne yapılacağının bilinmediği durumlarda yapılması gerekeni bilmektir. Problem çözme sadece bir doğru sonuç bulma olarak algılanmakla birlikte, daha geniş bir zihinsel süreci ve becerileri kapsayan bir eylemdir. Sonuç bulmanın yanı sıra bir yol bulma, güçlükten kurtulmadır. 6

Problem çözme süreci, net olarak tasarlanan fakat hemen ulaşılamayan bir hedefe varmak için kontrollü etkinliklerle araştırma yapmadır. Çağdaş eğitim, kendine güçlüklerin üstesinden gelebilen insanı yetiştirmeyi hedeflemektedir. 7

PROBLEMLERIN SINIFLANDIRILMASI Öğretimindeki farklılıklar esas alınarak problemler iki sınıfa ayrılabilirler: Sıradan problemler ve Sıradışı problemler. 8

SIRADAN (RUTIN) PROBLEMLER Matematik ders kitaplarında yer alan ve dört işlem becerileri ile çözülebilen problemlerdir. “Ali 212 sayfalık bir kitabın 1. gün 30, 2. gün 42 sayfasını okudu. 3. gün kitabın yarısına geldiğine göre, 3. günde kaç sayfa okumuştur? ” problemi sıradan bir problemdir. 9

SIRADIŞI (RUTIN OLMAYAN) PROBLEMLER Çözümleri, işlem becerisinin ötesinde, verileri organize etme, sınıflandırma ve ilişkileri görme gibi becerilere sahip olmayı ve bir takım eylemleri arkaya yapmayı gerektiren problemlerdir. “Bir adam bir oyundan bir tilki, bir ördek ve bir çuval mısır kazanıyor. Bunlarla bir tekne yardımıyla nehri geçmesi gerekiyor. Ancak tekneye kendisi ile birlikte bunlardan yalnız birini alabiliyor. Hiçbir zayiat olmadan bunları karşıya nasıl geçirebilir? ” problemi sıradışı bir problemdir. 10

11

PROBLEM ÇÖZMENIN DOĞASI Sıradan ve sıradışı problemlerin çözümleri konusunda en çok kabul gören süreç George POLYA tarafından verilen 4 aşamalı bir süreçtir. Bu sürecin basamakları şöyledir: 1. problemin anlaşılması 2. çözümle ilgili stratejinin seçilmesi 3. seçilen stratejinin uygulanması 4. çözümün değerlendirilmesi. 12

Etkinlik : Problem çözmenin doğası Grup : 3 -4 kişi İşlemler : 1. Gruptaki öğrencilerin aşağıdaki çözmeleri ve sonuçları bildirmeleri. soruları 102 öğrenci 16 kişilik minibüslerle pikniğe gidecekler. Kaç minibüs gerekir? 102 m kumaştan her biri 16 m eninde perdeler dikilecektir. Kaç perde çıkar? 102 gr ilaç 16 şişeye eşit olarak paylaştırılacaktır. Her bir şişeye kaç gr ilaç düşer?

2. Yukarıdaki üç problemin her birinde kullanılan işlem aynı mıdır? 3. Yukarıdaki üç problemin her birinin cevabı aynı mıdır? Aşağıdaki döngü etkinlikteki soruları açıklamaya yardımcı olabilir. 14

Matematik Dünyası Matematiksel anlatım Matematiksel Çözüm Gerçek hayat probleminin çözümü Gerçek Dünya 15

Bu döngü basit bir problem üzerinde şöyle açıklanabilir: Gerçek hayat problemi: Öğrencileri pikniğe götüreceğiz. Nasıl? Matematiksel anlatım : Okulumuzun 102 öğrencisi var ve 16 kişilik minibüsler kiralanacaktır. Kaç araç gerekir? Matematiksel çözüm: 102/16 = 6, 375 Gerçek hayat probleminin çözümü: 7 minibüs gerekir. 16

SONUÇ: Etkinlikte yer alan problemlerin her birinin çözümünde kullanılan işlem aynı, fakat her birinin cevabı farklıdır. 1. cevap 7 minibüs 2. cevap 6 perde 3. cevap 6, 375 gr ilaç 17

PROBLEM ÇÖZME ÖĞRETIMI Bütün problemlerin çözümünde kullanılan belirli bir yol ya da yöntem yoktur. Problem çözmenin kuralları yoktur, ancak sistematiği vardır. Öğretmenin temel görevi, öğrenciye problem çözmeyle ilgili sistematiği kavratmak ve bu sistematiği kullanırken başvurulacak stratejileri, problem çözmeyle ilgili temel becerileri kazandırmaktır. 18

PROBLEM ÇÖZÜMÜNDE KULLANILAN BAŞLICA STRATEJILER 1. sistematik liste yapma 2. tahmin ve kontrol 3. diyagram çizme 4. bağıntı bulma 5. eşitlik yazma 6. benzer problemlerin çözümünden yararlanma 7. geriye doğru çalışma 8. elemine etme 9. tablo yapma 10. muhakeme etme. 19

DÖRT İŞLEM PROBLEMLERININ ÇÖZÜMÜNÜN ÖĞRETIMI Bazı matematik ders kitapları hatalı bir tutumla sadece tek doğru cevabı olan problemlere yer verirler. Kitap hazırlarken veya ders hazırlığı yaparken tek doğru cevabı olan soruların yanı sıra aşağıdaki tür sorulara da yer vermek gerekir: çözümsüz (çözümü olmayan) birden çok çözümü olan eksik ya da fazla bilgi içeren bir formülün uygulanmasını gerektiren 20

sayısal veri içermeyen şekil ya da çizim yapmayı gerektiren gerçek hayatın bir uygulamasını konu edinen veri toplamayı gerektiren değişik zamanlarda çalışmak suretiyle tamamlanabilen tablo ve grafiklerin yorumunu gerektiren problemler. 21

Etkinlik : Problem türleri Grup : 3 -4 kişi İşlemler : Aşağıdaki soruların okunması ve yukarıdaki problem türlerinden hangisine girdiğinin belirlenmesi. 22

Kenarları tamsayı olan ve çevresi 20 cm olan dikdörtgenin kenar ölçülerini bulunuz. 40 katırı her birine tek sayıda katır bağlamak koşuluyla 7 kazığa nasıl bağlarsınız? 1000 -TL bankaya yatırılırsa 6 ayda ne kadar faiz getirir? 4 kişilik bir ailenin ortalama aylık masrafı ne kadardır? 23

İlköğretim Matematik Programı, çocukların iyi bir problem çözücü olması için, problem çözerken aşağıdaki adımlara uymasının uygun olacağını ve bu davranışlardaki eksikliklerin giderilmesi gerektiğini belirtmiştir. Bu adımlar, problemde verilen ve istenenleri söyleme ve yazma problemi özet olarak yazma probleme uygun şema ya da şekil çizme problemin çözümünde başvurulacak işlemleri sebepleriyle birlikte sırasıyla söyleme ve yazma 24

işlem sonuçlarını ve problemin sonucunu tahmin edip, söyleme ve yazma işlemleri yapma, sonucu söyleme ve yazma problemin çözümünde yanlış yapılıp yapılmadığı, yapıldıysa yanlışı belirterek söyleme ve yazma problemin çözümünü (varsa) değişik yoldan yaparak sonucu söyleme ve yazma öğrenilen bilgileri kullanabilecek şekilde bir problem söyleme ve yazma. 25

ÖRNEKLER: Dört işlem problemlerinin çözümlerini ilgilendiren temel becerilerle ilgili örnekler verelim. 26

1. VERILENLERI VE İSTENENI YAZMA Bir satıcı, tanesini 20 Kr’dan aldığı 115 yumurtadan 12 tanesini kırdı. Kalanların tanesini 25 Kr’dan sattı. Bu satıştan kar mı, zarar mı etmiştir? Kar ya da zarar ne kadardır? Verilenler Alınan yumurta Alış fiyatı Kırılan yumurta Satış fiyatı İstenen : 115 tane Kar ya da zarar kaç liradır? : 20 Kr : 12 tane : 25 Kr 27

2. PROBLEMI KENDI CÜMLELERIYLE İFADE ETME Tanesi 20 Kr’dan 30 yumurta, tanesi 1 TL’den 6 kalem ve tanesi 50 Kr’dan 4 tane limon aldım. Satıcıya 20 TL verdim. Geriye kaç TL alacağım? Yumurta alımı Kalem alımı Limon alımı Verilen para Para üstü 20 Kr 1 TL 50 Kr 20 TL ? 30 tane 6 tane 4 tane 28

3. PROBLEME UYGUN ŞEMA VE ŞEKIL ÇIZME 2 yumurta ve 2 ekmeğe 1. 20 TL verdim. Bir yumurta 20 Kr olduğuna göre, bir ekmek kaç liradır? 3 misketten birini kaybettik. Geriye kaç misketimiz kaldı? 29

Gizem ’in parası Can ‘ın parasının 3 katı, Onur ‘un parası Gizem ‘in parasının 2 katından 5 lira fazladır. Üçünün toplam parası 85 lira olduğuna göre, her birinin parası kaç liradır? Onur # # # + 5 Gizem # # # Can # 30

4. MATEMATIK CÜMLENIN YAZILMASI Ali‘ nin renkli kalemleri vardı. 5 tane de ben verdim, böylece 11 tane renkli kalemi oldu. Acaba başlangıçta Ali’ nin kaç renkli kalemi vardı? Adımlar Cümle Matematik anlatım I Ali’ nin kalemleri var # II 5 kalem de ben verdim # + 5 III 11 kalemi oldu # + 5 = 11 # = 6 kalem. 31

5. SONUÇLARIN TAHMIN EDILMESI 3 mm kalınlığında bir pencere camının metrekaresi 5 TL’dir. 48 cm x 95 cm boyutlarında bir cam kaç lira tutar? Pencere camı fiyatının en kestirme tahmini, 48’i 50 ve 95’i de 100 almak suretiyle, satın alınan camın yaklaşık 0, 5 metrekare dolayısıyla fiyatının da 2. 50 TL civarında olacağına karar vermektir. 32

6. PROBLEMIN ÇÖZÜMÜNÜN DEĞERLENDIRILMESI Bu safhanın önemli çalışmalarından biri, çözümün analizi ve genellenmesidir. Çözülen problemin benzerlerinin ve veri değişikliği yapılanların nasıl çözüleceği öğrencilerle tartışılmalıdır. 33

Aynı işte Ali 7 gün, Ahmet 4 gün çalışarak birlikte 214. 50 TL kazanmışlar. Her birinin payı kaç liradır? Ali : # # # # Ahmet : # # 214. 50 -YTL 1 günlük iş bedeli = 214. 50 : 11 = 19. 50 -TL Ali’ nin payı = 19. 50 x 7 = 136. 50 -TL Ahmet’ in payı = 19. 50 x 4 = 78 -TL 34

Problemin çözümünün değerlendirilmesi çalışmalarından bir diğeri problem kurma çalışmalarıdır. Problem kurma etkinliklerinin başlıcaları şunlardır: verilen matematik ifadeye uygun problem söyleme: (# + 3) x 4 = 16 ifadesine uygun olarak; Hangi sayının 3 fazlasının 4 katı 16 eder? Probleminin söylenmesi gibi. 35

şemaya uygun problem söyleme: Yukarıdaki şemaya uygun olarak; 3 tabaktan birisi kırıldı, geriye kaç tane sağlam tabak kaldı? probleminin söylenmesi gibi. 36

cevabı zihinde tutarak sayı ilişkilerine dayanan problem söylenmesi: Bir öğrencinin, aklında 7 yi tutarak arkadaşına Hangi sayının 5 katının 3 eksiği 32 eder? problemini söylemesi gibi. 37

7. PROBLEMI TANIMLAMA VE SINIRLAMA ÇALIŞMALARI Problem çözmede problemi kendine sorabilmek çok önemlidir. Problemi sormak onu yarıya çözmek demektir. Bu amaçla ilköğretimde, Bir eşkenar dörtgenin alanını bulmak için nelerin verilmesi yeterlidir? Bir üçgenin çizilmesi için nelerin verilmesi gerekir? Veri fazlası bulunan bir problemde fazla veriler hangileridir? Eksik veriyle sunulan bir problemde daha neyin verilmesi gerekir? türünden çalışmalara yer verilmelidir. 38

SIRADIŞI (RUTIN OLMAYAN) PROBLEMLERIN ÇÖZÜMLERI Sıradışı problemlerin çözümünde kullanılan bazı temel stratejiler ve örnekleri şöyledir: 39

1. SISTEMATIK LISTE YAPMA Üzerinde 1, 5 ve 10 sayıları bulunan bir dart tahtasına arkaya 3 atış yapan bir kimse kaç değişik puan almış olabilir? 40

41

2. TAHMIN VE KONTROL STRATEJISI Bir öğrenci 1 ve 2 puanlık sorulardan oluşan bir sınavda 56 soruya doğru cevap vermiş ve 78 puan almıştır. Bu öğrenci kaç tane 1 puanlık soruya doğru cevap vermiştir? 1 puanlık soru sayısı 2 puanlık soru sayısı Toplam puan 40 35 34 16 21 22 72 82 77 78 42

3. DIYAGRAM ÇIZME 20 kişinin katıldığı bir toplantıda herkes birbiri ile el sıkışıyor. Kaç el sıkışması olur? 43

A B A B C D 44

Kişi sayısı El sıkışma sayısı 1 0 2 1, 1 = 0 + 1 3, 3 = 1 + 2 4 6, 6 = 1 + 2 + 3 . 20 1 + 2 + 3 +. . . + 19 = 190 45

4. BAĞINTI BULMA Birden 150 ye kadar tek sayıların toplamı kaçtır? 1+ 3 = 4 = 22 1+ 3 + 5 = 9 = 32 1+ 3 + 5 + 7 = 16 = 42. . . 1 + 3 + 5 +. . . + 149 = 752 = 5625 46

5. DEĞIŞKEN KULLANMA Bir bisikletli bir yolu 16 km/saat hızla gidiyor ve aynı yolu 20 km/saat hızla dönüyor. Dönüş süresi 4 saat olduğuna göre, bisikletli gidiş için kaç saat harcamıştır? Giderken alınan yol = 16 x T Dönüşte alınan yol = 20 x 4 16 x T = 20 x 4 eşitliğinden, T = 5 saat bulunur. 47

6. GERIYE DOĞRU ÇALIŞMA Hangi sayının 3 katının 19 fazlası 100 eder? 100 – 19 = 81 ve 81 : 3 = 27 bulunur. 48

7. MUHAKEME ETME Bir tepside bulunan hepsi aynı görünümlü olan 9 pingpong topundan 8 inin ağırlıkları aynı birinin ağırlığı diğerlerinden 1 gr daha fazladır. Kütlesi fazla olan topu en az kaç tartıda bulabilirsiniz? 49

Padişah bir gün ülkedeki 10 kuyumcuyu çağırtıp onlara 1 kg lık 10 ar tane altın külçe yaptırmış. Kuyumculardan birisi 1 kg yerine 900 gr lık 10 tane külçe getirmiş. Acaba padişah kuyumcuların getirdiği külçeleri sadece bir kez tartarak hangi kuyumcunun hile yaptığını bulabilir mi? 50

Şeker satıcısına içi görünmeyen üç kutu gelir. Bir kutuda naneli, bir kutuda limonlu ve sonuncu kutuda da naneli ve limonlu şekerler vardır. Kutuların üzerinde NANE, LİMON ve KARIŞIK yazan etiketler vardır. Satıcıya tüm kutuların üzerindeki etiketlerin yanlış olduğu söylenir. Acaba bu durumda satıcı kutuların içinde ne olduğunu bulmak için en az kaç şeker almalıdır?