Probabilits Facult de Sciences Sociales de Strasbourg L
Probabilités Faculté de Sciences Sociales de Strasbourg – L 1 S 2 2016 – 2017 Séance 2
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Previously in « Probabilité » ¡ A B
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Previously in « Probabilité » Règle de l’addition et application ¡Lire l’énoncé ¡Traduire à l’aide du vocabulaire ensembliste ¡Utiliser les propriétés de l’addition
Règle de la multiplication La multiplication des pains ET des poissons de Giovanni Lanfranco, 1620
Règle de la multiplication : L’indépendance avant tout ¡
Règle de la multiplication : L’indépendance avant tout On tire au hasard, dans un jeu de 32 cartes non truqué, une carte, puis sans la remettre, une autre. Soit A: « la première carte tirée est un cœur » B: « la seconde carte tirée est un cœur » Les évènements A et B sont-ils indépendants?
Règle de la multiplication : L’indépendance avant tout ¡
Règle de la multiplication : L’indépendance avant tout ¡
Règle de la multiplication : La dépendance avant tout ¡
Règle de la multiplication : L’indépendance avant tout Revenons à nos moutons ! ¡L’indépendance qualifie deux événements aléatoires n’ayant aucune influence l’un sur l’autre. Nouvel exemple et application : ¡La plaque d’immatriculation des voitures comporte ¡ ¡ ¡ 4 chiffres qui donnent les nombres de 1 à 9999 deux lettres (sauf I et O pour éviter les confusions avec 0 et 1) le code du département. ¡Combien y-a-t-il de possibilités pour un département donné?
Règle de la multiplication : L’indépendance avant tout ¡A: « obtenir un nombre entre 1 et 9999 » ¡A={1; 2; 3; …. ; 9999} ¡card(A)=|A|= 9999 ¡B: « obtenir une lettre entre A et Z sauf O et I» ¡B={A; B ; C; …; Z} (sauf O et I) ¡card(B)=|B|=26 -2=24 ¡C: « obtenir une code département» ¡C={01; 02 ; 03 ; …; 976} ¡card(C)=|C|= 101
Règle de la multiplication : L’indépendance avant tout ¡Ces trois événements A, B et C sont indépendants ¡Le nombre de plaques d’immatriculation pour un département est égal à Ø |A∩B ∩C|= |A|* |B|*|C| Ø |A∩B ∩C|= 9999*24*101 Ø |A∩B ∩C|= 24 237 576 possibilités
Principe multiplicatif ¡
Règle de la multiplication Récapitulatif ¡
Règle de la multiplication Récapitulatif Sur les probabilités de tirages successifs : ¡Avec remise Indépendance ¡Sans remise Dépendance
Sachant que ? Bayes montre toi ! ¡
Les probabilités conditionnelles Application Vous venez de passer un test pour le dépistage d’un cancer. Le médecin vous convoque et vous annonce que le résultat est positif. Ce type de cancer ne touche que 0. 1% de la population. Patient, fébrile - Le test est-il fiable? Médecin. - Si vous avez ce cancer, le test sera positif dans 90% des cas ; alors que si vous ne l’avez pas, il sera négatif dans 97% des cas. ¡Quelle est la probabilité que vous ayez ce cancer ?
Test Malade - M Positif - P 9 300 309 1 9 690 9 691 10 9 990 10 000 Total Fréquence en colonne : Test Malade - M Positif - P 90 % 3% 3% 10 % 97 % 100 % Total Fréquence en ligne : Test Malade - M Positif - P 2, 9 % 97, 1 % 100 % 0, 01 % 99, 99 % 100 % 0, 1 % 99, 9 % 100 % Total
La condition des sentiments ¡Sur les 309 personnes testées positives, 9 sont malades et 300 sont saines (faux positifs). ¡Si vous êtes positif, vous n’avez que 2, 9% (=9/309) de risque d’être malade et 97, 1% (=300/309) de chance d’être un faux positif. ¡Pourquoi ce résultat est-il contre-intuitif?
La confusion des sentiments ? ¡
La confusion des sentiments ? ¡Si vous êtes testé positif et que vous demandez si vous avez ce cancer, vous cherchez la probabilité suivante Ø p. P(M) : « la probabilité d’être malade sachant que le test positif » ¡Si le médecin vous dit que si vous avez ce cancer, le test sera positif dans 90% des cas, vous cherchez cette probabilité Ø p. M(P) : « la probabilité d’être testé positif sachant que l’on est malade »
A retenir Règle de la multiplication ¡
Quand l’arbre est grand, à quelle branche se rattraper ? Le DENOMBREMENT
Démembrons le dénombrement Calcul du nombre de résultats possibles lors d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes : ¡ Arrangement : on tient compte de l’ordre ¡ Combinaison : on ne tient pas compte de l’ordre
Démembrons le dénombrement Ordonné ? Oui Arrangement Non Combinaison
Tout va s’arranger ¡
Tout va s’arranger Ordonné ? Oui Non Arrangement Combinaison Avec remise ? Oui Non
Tout va s’arranger «!» ? ¡
Tout va s’arranger Sans remise ¡
Tout va s’arranger Sans remise ¡On choisit au hasard 2 lettres dans l'ensemble {D, E, F, G}. ¡Si l'expérience aléatoire est réalisée sans répétition ¡ 4 éléments possibles pour le 1 er événement ¡ 3 éléments possibles pour le 2ème événement
Tout va s’arranger Sans remise § L’ordre compte : DE ≠ ED 1 er evt D § 12 résultats possibles § 4 x 3 arrangements possibles E F G 2ème evt Résultats E F G DE DF DG D F G ED EF EG D E G FD FE FG D E F GD GE GF
Tout va s’arranger Sans remise ¡
A retenir ! ¡
A retenir ! ¡Dénombrement Ordonné ? Oui Non Combinaison Arrangement Avec remise ? Oui Non
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