Probabilitas dan Statistika BAB 6 Distribusi Teoritis Variabel

Probabilitas dan Statistika BAB 6 Distribusi Teoritis Variabel Acak Kontinu

Pokok Bahasan � Distribusi Normal � Luas di Bawah Kurva Normal � Hampiran Normal terhadap Binomial � Distribusi Gamma dan Eksponensial � Distribusi Khi-Kuadrat � Distribusi Weibull

Distribusi Normal Distribusi suatu data dari sebuah sample yang memiliki kurva normal (normal curve) yang berbentuk lonceng. Ditemukan oleh Abraham De. Moivere (1733). Sering disebut distribussi Gauss (Gaussian distribution)

Distribusi Normal Fungsi � Fungsi Penuh peubah acak normal X, dengan rataan (mean) µ dan variansi σ2 adalah � Dengan : 3, 14159… dan e=2, 71828…

Distribusi Normal Kurva Normal

Distribusi Normal Karakteristik kurva normal 1. 2. 3. 4. Kurva berbentuk genta ( = Md= Mo) Kurva berbentuk simetris Kurva mencapai puncak pada saat X= Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri

Distribusi Normal Jenis jenis distribusi normal � Distribusi kurva normal dengan sama dan berbeda

Distribusi Normal Jenis jenis distribusi normal � Distribusi kurva normal dengan berbeda dan sama

Distribusi Normal Jenis jenis distribusi normal � Distribusi dengan dan yang berbeda

Luas Di Bawah Kurva Normal �Luas dibawah kurva normal dengan batas x 1=a dan x 2 = b a b x

Luas Di Bawah Kurva Normal � P(x 1 < X < x 2) = = � Integral di atas tidak dapat diselesaikan secara analitis. Untuk memudahkan perhitungan tersedia tabel normal yang berisikan luas dibawah area kurva normal baku

Standardize the Normal Distribution Standardized Normal Distribution One table!

Obtaining the Probability Standardized Normal Probability Table (Portion). 02. 0478 0. 1 . 0478 Probabilities Shaded area exaggerated

Example P(X 8) Normal Distribution Standardized Normal Distribution . 5000. 1179 Shaded area exaggerated . 3821

Q-function: Tail of Normal Distribution Q(z) = P(Z > z) = 1 – P[Z < z]

Contoh 1 � Diketahui nilai mata kuliah Probabilitas dan Statistika kelas C, berdistribusi normal dengan mean = 55 dan deviasi standar = 15. Tentukan nilai peluang a) 55 ≤ X ≤ 75 b) 60 ≤ X ≤ 80 c) X ≤ 40

Answer a) Atau

b) atau :

c)

Contoh 2 Tinggi badan mahasiswa UGM berdistribusi normal dengan rata-rata 165 cm dan deviasi standar 10 cm. Tentukan berapa problabilitas mahasiswa UGM dengan tinggi lebih dari 180 cm? Answer: P(X>180) Z=X- / 180 -165/10 2, 5 Dengan tabel didapat bahwa peluangnya adalah : 0, 9938 Maka besarnya peluangnya adalah 1 - 0, 9938 = 0, 0062

Contoh 3 Diketahui rata-rata hasil adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian berdistribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ?

answer

Hampiran Normal Terhadap Binomial �Persamaan distribusi binomial b(x; n, p) Review : = simpangan = rataan �Distribusi Normal : = np dan dengan q= (1 -p)

�Hampiran normal paling berguna dalam perhitungan dengan nilai n yang besar �Ex: peluang yang tepat diberikan oleh

�Untuk hampiran normal : x 1= 6, 5 dan x 2 = 9, 5 �Selanjutnya =P(Z<1, 85)-P(Z<0, 26) =0, 9678 – 0, 6026 =0, 3652 �Hasil ini mendekati dengan hasil yang sebenarnya

Soal latihan Peluang seorang mahasiswa sembuh dari hepatitis A adalah 0, 4. Bila ada 100 mahasiswa yang terkena penyakit ini, berapa peluang bahwa kurang dari 30 mhs yang sembuh. 2. Saat UM UGM terdapat 200 soal pilihan ganda dengan 4 pilihan dan hanya 1 pilihan yang benar. Seorang siswa mengerjakan soal tanpa membaca soal sedikitpun, berapa peluang siswa tadi menjawab 25 sampai 30 soal dengan benar untuk 80 dari 200 soal? ? ? 1.

� Penyelesaian : Misal : peubah binomial X menyatakan banyaknya penderita yang sembuh, Karena n = 100 maka µ = np = 100 x 0, 4 = 40 Dan Untuk mendapatkan peluang yang dicari digunakan x= 29, 5 Peluang < 30 pasien yang sembuh dari 100 pasien : P(X<30) ≈ P(Z < ─2. 14) = 0, 0162

Distribusi Gamma � Fungsi gamma didefinisikan sebagai: � Untuk � Jadi � Sifat penting fungsi gamma :

Jika di integralkan per bagian (parsial) dengan Diperoleh Maka Jadi diperoleh

Dengan formula (rumus) berulang diperoleh : : dan seterusnya Jika dengan bilangan n bulat positif, maka

Distribusi Gamma Contoh Gambar

Distribusi Gamma fungsi-fungsi � Perubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter dan , jika fungsi kepadatan probabilitasnya : � Sedangkan fungsi distribusi kumulatif Gamma adalah :

Distribusi Gamma Statistik Deskriptif � Mean (Nilai harapan) � Varians � Kemencengan (skewness) � Keruncingan (kurtosis)

Distribusi Gamma Standar � Ketika β = 1, diperoleh suatu distribusi gamma standar. Maka jika X adalah variabel acak kontinu dari distribusi gamma standar, fungsi kepadatan probabilitasnya adalah : � Sedangkan fungsi distribusi kumulatif gamma standar :

Distribusi Gamma Standar �Untuk sebuah variabel acak kontinu X yang memiliki distribusi gamma dengan parameter α dan β berlaku hubungan :

Distribusi Gamma Contoh Soal �Misal variabel acak kontinu X menyatakan ketahanan suatu bantalan peluru (dalam ribuan jam) yang diberi pembebanan dinamik pada suatu putaran kerja tertentu mengikuti suatu distribusi gamma dengan α = 8 dan β = 15. Berapakah probabilitas sebuah bantalan peluru dapat digunakan selama 60 ribu sampai 120 ribu jam dengan pembebanan dinamik pada putaran kerja tersebut? Sebutkan juga statistik deskriptif distribusi gamma-nya.

Distribusi Gamma Jawaban � � Mean : � Varians : � Kemencengan : � Keruncingan :

Distribusi Eksponensial

�Perubah acak kontinu X terdistribusi eksponensial dengan parameter, , jika fungsi padatnya berbentuk : �Distribusi gamma yang khusus dengan disebut distribusi Eksponensial �Rata-rata dan variansi distribusi eksponensial :

Khi kuadrat � Distribusi ini adalah kasus spesial dari distribusi gamma : � Lalu disubstitusi dengan : � Menjadi :

Khi kuadrat �Parameter V merupakan derajat kebebasan �Rataan distribusi chi kuadrat : �Variansi distribusi chi kuadrat :

Distribusi Weibull � Perubah acak kontinu X terdistribusi Weibull dengan parameter , jika fungsi padatnya berbentuk: � Fungsi distribusi kumulatif Weibull :

Distribusi Weibull Contoh gambar

Distribusi Weibull Mean dan Varians �Rata-rata : �Variansi : � Seperti distribusi gamma dan eksponensial, distribusi weibull juga dipakai pada persoalan keandalan dan pengujian panjang umur misal panjang umur suatu komponen, diukur dari suatu waktu tertentu sampai rusak.

Distribusi Weibull Contoh Soal �Waktu sampai gagal bekerjanya sebuah pelat gesek (dalam jam) pada sebuah kopling dapat dimodelkan dengan baik sebagai sebuah variabel acak Weibull dengan α = 0, 5 dan β = 5000. Hitunglah waktu sampai -gagal rata-rata dari pelat gesek tersebut dan hitunglah probabilitas pelat gesek tersebut akan mampu bekerja sekurang-kurangnya 6000 jam.

Distribusi Weibull Jawaban �Rata-rata waktu sampai-gagal �