Probabilitas Abdullah Basuki R S Si M T

Probabilitas Abdullah Basuki R. , S. Si, M. T http: //www. abdullahbasuki. wordpress. com abasoke@yahoo. com Informatics Engineering Dept Trunojoyo University Kuliah Statistika Dasar (TKC 116) 1

Terminologi o o o Teori Probabilitas – didasarkan pada konsep dari suatu eksperimen random Random – fenomena/eksperimen dimana keluaran individual tidak pasti tetapi ada distribusi yg regular dari keluaran utk jumlah pengulangan yang banyak Probabilitas – proporsi berapa kali suatu keluaran spesifik akan muncul dlm suatu serie pengulangan yang panjang dari suatu eksperimen Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 2

Apakah Probabiltas? o Frekuensi relatif jangka panjang n n o Jika melempar coin, frekuensi relatif dari “head” tidak menentu utk 2, 5 atau 10 pelemparan Jika pelemparan suatu coin dilakukan bbrp ribu kali, frekuensi relatif tetap stabil Probabilitas matematis adalah idealisasi dari apa yg terjadi thd frekuensi relatif setelah pengulangan sejumlah tak hingga eksperimen random Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 3

Probabilitas dari “Head” o Probabilitas didasarkan pd frekuensi relatif jangka panjang Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 4

Model Probabilitas o o Sample Space - set dari semua keluaran (outcomes) yg mungkin dari eksperimen random (S) Event – suatu keluaran (outcome) atau satu set outcomes dari suatu eksperimen Ukuran Probabilitas adalah suatu bilangan atau fungsi yg memetakan dari events pada sample space ke bilangan real antara 0 dan 1 Probabilitas dari semua outcomes yg mungkin (yaitu sample space) harus sama dg 1 Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 5

Model Probabilitas o Contoh: Pelemparan (toss) suatu dadu o Sample Space: S ={1, 2, 3, 4, 5, 6} o Event: o A = {muncul angka genap}, B = {muncul angka ganjil}, D= {muncul angka 2} Ukuran Probabilitas: P(A) = 0, 5; P(B) = 0, 5; P(D) = 1/6 Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 6

Aturan-Aturan Probabilitas o o Probabilitas dari sembarang event P(A) hrs memenuhi 0 < P(A) < 1 Complement Rule = complement dari sembarang event A adalah event A tdk terjadi P(Ac) = 1 - P(A) Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; mis A = {2, 4}, Ac = {1, 3, 5, 6}; P(A) = 1/3; P(Ac) = 1 -1/3 = 2/3 o Addition Rule = utk dua events A dan B yg terpisah/ disjoint (no common outcomes) P (A or B) = P(A) + P (B) Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; mis A = {2}, B = {1, 3, 5}; P(A or B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/2 = 2/3 Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 7

Aturan-Aturan Probabilitas o Multiplication Rule = dua events A dan B adalah independent, jika diketahui bhw salah satu terjadi/muncul tdk mengubah probabilitas yg lain muncul P (A and B) = P(A)*P(B) Contoh: Lempar sepasang dadu S = {(1, 1), (1, 2), …. (6, 6)} 36 kemungkinan outcomes mis A ={dadu pertama 6} = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} mis B = {dadu kedua 1} = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1)} Maka P(A) = 6/36 = 1/6; P(B) = 6/36 = 1/6 dan P(dadu pertama 6, dadu kedua 1) = P(A and B) = 1/36 = P(A) P(B) menunjukan independence Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 8

Aturan-Aturan Probabilitas o Multiplication Rule Contoh dari kasus Dependent: lempar sepasang dadu S = {(1, 1), (1, 2), …. (6, 6)} 36 kemungkinan outcomes mis A ={dadu pertama 6} = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} mis B = {jumlah dadu pertama & kedua =9} = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)} Maka P(A) = 6/36 = 1/6; P(B) = 4/36 = 1/9 dan P(dadu pertama 6, jumlah = 9) = P(A and B) = 1/36 tdk sama P(A) P(B) = 1/54 menunjukan dependence Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 9

Aturan-Aturan Probabilitas o Contoh: suatu web site memp tiga server A, B, dan C, yg dipilih secara independent dg probabilitas: P(A) = ¼, P(B) = ½, P(C)= ¼. (a) Cari probabilitas A atau B dipilih P(A or B) = ¼ + ½ = 3/4 (b) Cari probabilitas A tdk dipilih P(Ac) = 1 – P(A) = ¾ (c) Cari probabilitas server A dipilih dua kali P(AA) = P(A) = 1/16 (d) Cari probabilitas urutan seleksi server ABCA P(ABCA) = P(A)P(B)P(C)P(A) = (1/4)(1/2)(1/4) = 1/128 Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 10

Conditional Probability o Utk dua event A dan B probabilitas dari event A diberikan bhw event B telah terjadi dinyatakan: P(A|B) dan ditentukan dg P (A|B) = P(A and B)/P(B) Contoh: Lempar satu dadu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. mis A ={2}, B={bil genap} = {2, 4, 6}, P(A|B) = P(A and B)/P(B) = (1/6)/(1/2) = 1/3 Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 11

Bayes Rule o Utk dua event A dan B yg mempartisi sample space, yaitu (A atau B) = S dan event ketiga C ditentukan di atas A dan B Contoh: Lempar sepasang dadu S = {(1, 1) (1, 2), …. (6, 6)} 36 kemungkinan outcomes. Mis A ={jumlah dadu 9 atau lebih besar}, A = {(6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6), (6, 4), (5, 5), (4, 6), (6, 5), (5, 6), (6, 6)} B = Ac = {jumlah dadu 8 atau kurang} = {(1, 1) , (1, 2, ) …. (6, 2), …(2, 6)} --cat P(A) = 10/36 dan P(B) = 26/36 Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 12

Bayes Rule o Mis C event jumlah dari dadu adalah bil genap {2, 4, 6, 8, 10, 12}, P(C|A) =4/10 dan P(C|B) = 14/26 Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 13

Latihan Soal 1. Suatu kantong berisi empat bola putih dan tiga bola hitam sedangkan kantong kedua berisi tiga bola putih dan lima bola hitam. Satu bola diambil dari kantong pertama tanpa melihatnya dan dimasukkan ke kantong kedua, berapakah peluang mengambil sebuah bola hitam dari kantong kedua? 2. Peluang seorang lelaki yg telah kawin menonton suatu film seri di tv adalah 0. 4 dan peluang seorang wanita yg telah kawin menonton film yg sama 0. 5. peluang seorang lelaki menoton film tsb bila istrinya menonton adalah 0. 7. hitunglah a. b. c. Peluang sepasang suami istri menonton film tsb Peluang seorang istri menonton film tsb bila suaminya menonton film Peluang paling sedikit seorang dari sepasang suami istri menonton film tsb Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 14

Random Variables o o Suatu random variable X adalah suatu variable dimana harganya tergantung pd outcome dari suatu eksperimen random didefinisikan pd sample space S Contoh: Mis X, bilangan jumlah dari head pd pelemparan dua coin yg fair. Sample space S dari eksperimen adalah: S ={(t, t), (t, h), (h, t), (h, h)} dimana t menunjukan tail dan h menunjukan head Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 15

Random Variables o Suatu random variable X dikarakteristikan oleh salah satu: n n o probability density function (pdf): f(x) cumulative density function (cdf): Contoh: perhatikan random variable X, yg merupakan jumlah head pd pelemparan dua coin n n f(x) diberikan dg P{X = 0} =. 25; P{X=1} =. 5 ; P{X=2} =. 25 F(x) diberikan dg Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 16

Probability Density Function o o Formula matematis Memperlihatkan semua harga, X, & frekuensi, f(X) n o f(X) adalah probability density function (pdf) Properties n n n Area di bawah kurva = 1 Mean (µ) Standard Deviation ( ) Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 17

Tipe-Tipe Random Variables o Suatu random variable X adalah suatu variable dimana harganya tergantung pd outcome dari suatu eksperimen random didefinisikan pd sample space S n n Jika S adalah terbatas (finite) atau dp dihitung (countable) X adalah suatu discrete random variable (mis. , jumlah head pd pelemparan dua coin) Jika S adalah kontinyu X adalah suatu random variable kontinyu (mis. , waktu antar queries ke suatu server database) Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 18

Tipe-Tipe Random Variables o Jika X discrete random variables maka o Jika X continuous random variables maka Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 19

Discrete Random Variables o Discrete Random Variables yg umum: n o Bernoulli, Geometric, Binomial dan Poisson Bernoulli – memodelkan eksperimen spt toss suatu coin n n X adalah suatu indicator function X = 1 sukses; X = 0 gagal Spt coin toss dg probabilitas p mendpkan head, 1 -p mendpkan tail Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 20

Discrete Random Variables o Geometric – memodelkan jumlah percobaan X sampai sukses pertama pd suatu deretan percobaan Bernoulli trials P{X = x} = f(x) = (1 -p)x-1 p; dimana x = 1, 2, 3, … Mean = 1/p Variance = (1 -p)/p 2 Sbg contoh, memodelkan jumlah tail yg terlihat sblm head pertama pd suatu deretan coin tosses Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 21

Discrete Random Variables o Binomial – memodelkan jumlah sukses X pd n percobaan/trials. Mis p menyatakan probabilitas sukses pd 1 trial, probabilitas dari k sukses diberikan dg Mean = np, Variance = np(1 -p) Tabel pd textbook memp macam-macam harga dari P(X = k) Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 22

Contoh Continuous Random Variable Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 23

Contoh Continuous Random Variable Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 24

Continuous Random Variable o Continuous Random Variables yg umum: n o Exponential, Uniform, Normal Exponential – memodelkan waktu antar kedatangan, lama waktu pelayanan (mis. , waktu dari panggilan telepon), mis X suatu exponential random variable dg mean a. Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 25

Continuous Random Variable o Uniform – memodelkan kasus “equally likely”. Mis. X uniform random variable antara a dan b – yaitu X akan mempunyai harga antara a dan b dengan kemungkinan “equally likely” Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 26

Continuous Random Variable o o Normal – Normal random variable memodelkan fenomena random alamiah utk jumlah yg besar. Mis X suatu normal random variable Standard Normal Z adalah kasus dimana: Mean = 0, Variance = 1. Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 27

Z Scores & Probability o o o Normal Distribution Hubungan langsung antara persentase dan probabilitas Persentase dari kurva normal dp di- rephrased sbg problem probabilitas Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 28

Z Scores & Probability o o o Berapakah probabilitas bhw pekerja pabrik yg dipilih random akan melaksanakan test dibawah 81 seconds atau diatas 75 seconds? Informatics Engineering Dept Trunojoyo University Suatu konsultan menyelidiki waktu diperlukan pekerja pabrik utk assemble suatu part stlh mereka ditraining Konsultan menentukan bhw waktu dlm detik terdistribusi normal dg mean µ = 75 seconds dan standard deviation = 6 seconds. P(X<x) = P(Z <z) dimana z = (x- µ)/ 29

P(75 < X < 81) Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 30

P(75 < X < 81) Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 31

Moments o Ekspektasi E[x] atau mean atau first moment dari suatu random variable X di definisikan dg Moment lebih tinggi didp dg mengganti x dg xn Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 32

Variance, Mode, Quantile o Variance didefiniskan sbg o Mode adalah titik dimana f(x) adalah maximum o o Quantile – quantile dari X ditulis x adalah titik pd X dimana F(x ) = Cat. 0, 5 quantile disebut median dimana 50% harga pd kedua sisi Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 33

Aturan-Aturan untuk Random Variables o Aturan utk Means n n Suatu transformasi linier dari suatu random variable menghasilkan suatu linear scaling dari mean. Yaitu jika X adalah suatu random variable dg mean µX dan a dan b adalah konstanta maka jika Y = a. X + b mean dari Y diberikan oleh µY = aµX + b Mean dari sum dari suatu set dari random variables adalah sum dari individual mean. Yaitu jikaf X dan Y adalah random variables maka µX+Y = µX + µY Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 34

Aturan-Aturan untuk Random Variables o Aturan utk Variances n n Suatu transformasi liniear dari suatu random variable menghasilkan suatu squared scaling dari variance. Yaitu jika X adalah suatu random variable dg variance x 2 dan a dan b adalah konstanta maka jika Y = a. X + b variance dari Y diberikan oleh y 2 = a 2 x 2 Variance dari sum dari suatu set dari independent random variables adalah sum dari individual variances. Yaitu jika X dan Y adalah random variables maka x+y 2 = x 2 + y 2 Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 35

Statistical Inference o o Menggunakan teori probabilitas utk membuat kesimpulan mengenai suatu populasi dari data sampel Tdk dp memperoleh data dari setiap anggota populasi maka menguji suatu sampel random dari populasi dan berdasarkan statistik dari sampel menyimpulkan mengenai parameter dari populasi Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 36

Statistical Inference o Statistical Inference: menggunakan statistik dari suatu sampel random utk menyimpulkan mengenai parameter dari suatu populasi n n o Sbg contoh menguji mean x dari sampel utk menyimpulkan mean dari populasi µ Perlu mengerti bagaimana perubahan statistik dengan tiap sampel Sample Distribution: distribusi probabilitas dari suatu statistik (spt mean, standard deviation) dari semua sampel yg mungkin dari ukuran yg sama dari suatu populasi Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 37

Distribusi Sampel dari Counts dan Proportions o Perhatikan suatu sampel random tetap (fixed) ukuran n dari observasi independen dari suatu populasi. Tiap observasi jatuh kedalam satu dari dua kategori, “sukses” atau “gagal” n n o Probabilitas suatu “sukses” (p) sama utk tiap observasi Probabilitas suatu “gagal” (1 -p) Mis X menyatakan count dari jumlah sukses dalam suatu sampel ukuran n. X memp distribusi Binomial Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 38

Distribusi Sampel dari Counts dan Proportions o o Ingat distribusi Binomial memodelkan jumlah sukses X dlm n percobaan Bernoulli dan memp. Mean = np, Variance = np(1 -p) Dg n bertambah besar distribusi dari X mendekati distribusi Normal dg mean dan variance Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 39

Distribusi Sampel dari Counts dan Proportions o o o Utk estimasi probabilitas atau proportion dari suatu populasi p kita uji sample proportion: dimana X adalah jumlah dari “sukses” dlm suatu sampel ukuran n adalah estimasi unbiased dari population proportion p. Jika ukuran sampel n besar, mendekati suatu distribusi Normal dg Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 40

Sample Distribution of Means o o o Perhatikan suatu sampel random ukuran tetap n dari suatu populasi dg mean µ dan standard deviation . Distribusi dari sample mean x (jika dihasilkan dari repeated random samples) memp. mean = µ dan standard deviation Jika populasi memp. distribusi Normal maka distribusi dari sample mean adalah Normal Dari Central Limit Theorem – distribusi dari suatu sum dari random variables mendekati distribusi Normal jika jumlah terms dlm sum menjadi besar Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 41

Central Limit Theorem Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 42

Central Limit Theorem o Central limit theorem menyatakan bhw dg bertambah besarnya ukuran sampel n, tdk tergantung pd distribusi populasi, distribusi dari sample mean mendekati distribusi Normal utk ukuran sampel yg besar, dg mean = µ dan standard deviation = Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 43

Tipe-Tipe Statistical Inference o o Confidence Intervals: mengestimasi harga suatu parameter populasi dg suatu harga rentang n Berapakah mean IQ dari mahasiswa SIT ITB? n Berapakah proporsi dari switches pd suatu network perlu perbaikan? Hypothesis Testing: menilai bukti yg disediakan data menyetujui suatu claim mengenai populasi n Apakah mean IQ dari mhs SIT ITB sama dg dg IQ populasi secara umum? n Apakah proporsi switches yg memerlukan perbaikan pd jaringan Telkom berbeda dg proporsi pd jaringan Indosat? Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 44

Point Estimation o Menyediakan harga tunggal/single value, mis. , sample mean, sample proportion n o o Berdasarkan observasi dari 1 sample Tdk memberikan informasi mengenai seberapa dekat harga point estimate thd parameter populasi yg tdk diketahui Contoh: Sample mean X = 22. 9 adalah point estimate dari mean populasi yg tdk diketahui µ Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 45

Interval Estimation o Menyediakan nilai interval (a, b) dimana parameter populasi µ diprediksi berada n o Interval berdasarkan observasi dari 1 sampel Memberikan informasi mengenai seberapa dekat dari estimasi ke parameter populasi yg tdk diketahui n n Dp dinyatakan sbg Atau dinyatakan dlm terms probabilitas, (confidence level) Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 46

Level of Confidence o o Nilai adalah probabilitas bhw parameter tidak berada dalam interval (a, b) 100(1 - ) % adalah confidence level dan adalah kemungkinan bhw parameter populasi yg tdk diketahui jatuh dlm interval (a, b) Nilai tipikal adalah =. 1, . 05, . 01 yg memberikan confidence levels masing-masing 90%, 95%, dan 99% Contoh: Mean populasi yg tdk diketahui terletak antara 50 & 70 dg 95% confidence Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 47

Element Kunci dari Interval Estimation Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 48

Confidence Interval Process Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 49

Confidence Interval utk Population Mean o Asumsi n Standard deviation populasi diketahui o o Ukuran sampel n cukup besar shg hasil central limit theorem dp diaplikasikan dan sample mean distribution dp diperkirakan dg distribusi normal. Aturan umum (Rule of thumb) utk ukuran sampel adalah (n ≥ 30) 100(1 - ) % confidence interval pd sample mean diberikan oleh Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 50

Confidence Interval for Population Mean o Catatan n n x adalah sample mean. Z(1 - /2) adalah nilai standard normal value dimana /2 adalah tail ke sebelah kanan dari nilai Z adalah standard deviation populasi n adalah ukuran sampel Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 51

Contoh: Confidence Interval utk Population Mean o o Suatu retailer e-commerce spt Amazon. com, ingin melakukan studi waktu rata-rata (mean time) yg diperlukan utk memproses dan mengapalkan pesanan. Suatu random sample dari waktu utk proses dan mengapalkan 33 pesanan dikumpulkan dinyatakan sbg n dlm jam di bawah. Dari data yg lalu standard deviation dari populasi = 9 {23, 33, 14, 15, 42, 28, 33, 45, 23, 34, 39, 21, 36, 23, 34, 36, 25, 9, 11, 19, 35, 24, 31, 29, 16, 23, 34, 24, 38, 15, 13, 35, 28} Tentukan 90% confidence interval dari rata-rata waktu proses dan pengapalan pesanan. n sample mean x adalah = 26. 9091, ukuran sampel n = 33 pd 90% confidence level Z(1 - /2) = Z. 95 = 1. 645 Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 52

Contoh: Confidence Interval utk Population Mean o o Krnnya confidence interval adalah menghasilkan Cat margin of error kadang-kadang diekspresikan sbg persentase dari estimasi. Utk contoh ecommerce: margin of error % = 100 * (2. 577 / 26. 9091) = 9. 57% Juga confidence interval dp diekspresikan sbg (24. 332, 29. 486) yg dp diinterpretasikan sbg P(24. 332 < µ < 29. 486) =. 9 Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 53

Confidence Intervals o Trade off antara confidence level 100(1 - ) % dan margin of error n o Lebih tinggi confidence lebih tinggi harga Z lebih besar margin of error Contoh proses dan pengiriman pemesanan ecommerce. Suatu 95% confidence interval memp. Z = 1. 96 (dimana 90% memp Z = 1. 645) dan sbg hasil Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 54

Confidence Intervals o o o Margin of error juga tergantung pd ukuran sampel n, lebih besar n makin kecil margin of error Utk confidence interval pd population mean, margin of error berkurang setengahnya utk tiap pertambahan faktor 4 pd ukuran sampel Utk contoh e-commerce jika utk 90% confidence interval ukuran sample adalah 4 kali lebih besar (yaitu 132) dg mean dan standard deviation yg sama interval akan Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 55

Confidence Intervals o o Cat utk margin of error yg diinginkan m kita dp tentukan ukuran sampel yg diperlukan n utk mencapai m. Kita mendpkan Utk contoh e-commerce pd 90% confidence level jika diinginkan margin of error 3%, m. x =. 03 x 26. 9091=. 80727 dan selesaikan utk ukuran sampel n Cat perlu 337 -33= 304 tambahan observasi Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 56

Confidence Interval utk Proportion of population o Dari aproksimasi Normal pd distribusi Binomial kita dapatkan 100(1 - )% confidence interval pd suatu population proportion sbg dimana Z 1 - /2 adalah /2 critical point dari standard distribusi Normal Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 57

Confidence Interval utk Proportion of population o o Contoh: Perhatikan suatu link komunikasi satelit. Spy dp mengestimasi packet error rate pd link kita transmit 5000 packets dan observasi bhw 23 diterima error. Tentukan 90% confidence interval pd packet error probability. Dari, Z. 95 = 1. 645, n = 5000, Krnnya 90% confidence interval utk packet error probability diberikan oleh (. 0030, . 0062) Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 58

Confidence Interval utk Quantile of population o o o Quantile: Harga xq dimana CDF mempunyai harga q disebut q-quantile atau 100 -q-percentile 50 -percentile (atau 0. 5 -quantile) disebut median Posisi dari suatu harga q-quantile value dari suatu sorted order list x 1, x 2, x 3, …, xn adalah * dibulatkan ke integer terdekat Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 59

Confidence Interval utk Quantile of population o 100(1 - )% confidence interval pd suatu harga populasi q-quantile xq adalah dimana Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 60

Confidence Interval utk Quantile of population o o Contoh: 45 titik data (n=45) 6, 6, 7, 8, 8. 5, 9, 11, 13, 15, 24, 29, 30, 32, 34, 37, 39, 41, 42, 43, 46, 47. 5, 49, 50, 52, 54, 55, 59, 62, 63, 66, 68, 71, 83, 84, 88, 93, 97, 103, 108, 111, 116, 134 Cari 90% c. i. pd 0. 5 quantile. Posisi dari 0. 5 quantile = (45 -1)*0. 5 + 1 = 23 x 0. 5 = 47. 5 o Krnnya, 90% c. i. pd x 0. 5 = (41, 59) Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 61

Tugas (kumpulkan minggu depan) 1. Perhatikan N mobile phones dlm suatu cell. Tiap phone mungkin berusaha utk transmit data pd suatu kanal shared time slot. Tiap transmisi terjadi tepat pd satu slot, dan tdk ada pencegahan collision digunakan serta tiap phone akan transmit dlm suatu slot dg probabilitas p, independen thd phone lainnya. a). Berapakah probabilitas suatu time slot kosong, yaitu tdk ada usaha dari sembarang phone? b). Berapakah probabilitas suatu transmisi sukses, yaitu secara tepat satu phone berusaha transmit. c). Berapakah probabilitas collision pd suatu slot, yaitu dua atau lebih phone berusaha transmit pd slot yg sama? Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 62

Tugas (cont. ) 2. Dlm suatu access switched data network, user bisa request suatu koneksi utk di-set up utk suatu transfer data. Jika suatu call-setup request tiba, suatu access network node akan menentukan apakah menerima permintaan atau menolak berdasarkan ketersediaan resources. Jika permintaan ditolak, user akan mengulang usaha sampai 10 kali sblm menyerah. Asumsikan bhw tiap permintaan call -setup memp. probabilitas 0. 02 utk diterima dan usaha permintaan panggilan adalah independent. a). Berapakah probabilitas suatu permintaan panggilan diberikan pd usaha pertama? b). Berapakah probabilitas bhw suatu panggilan pertama diterima adalah usaha yg ke-empat? c). Berapakah probabilitas bhw memerlukan lebih dari lima usaha bagi user utk koneksi? d). Berapakah probabilitas bhw user akhirnya menyerah? e). Berapakah rata-rata jumlah usaha panggilan diperlukan utk koneksi? Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 63

Tugas (cont. ) 3. Perhatikan waktu transaksi pd suatu aplikasi web-based, dari 3000 transaksi terdistribusi normal dg mean 66 sec dan standard deviation 3 sec. jika 80 sampel masing-masing terdiri dari 25 transaksi didapat, a). berapakah mean dan standard deviation yg diharapkan sbg hasil dari mean dari distribusi sampling? b). Dalam berapa banyak sampel kita bisa mengharapkan mean: (i) antara 64. 8 dan 66. 3 sec dan (ii) kurang dari 64. 4 sec? Informatics Engineering Dept Trunojoyo University 64