PROBABILITA Probabi lit e Ge netica Molti degli

PROBABILITA’ Probabi lità e Ge netica

Molti degli avvenimenti della vita d'ogni giorno dipendono da fattori non prevedibili. Frasi come può darsi che domani piova - è difficile che sia estratto il biglietto della lotteria che ho acquistato ieri - è probabile che di domenica ci sia molta folla al cinema, sono frasi ricorrenti nelle conversazioni di tutti, che esprimono l'incertezza di fronte a fatti su cui possiamo influire solo parzialmente, dipendendo gli stessi in buona parte dal caso.

La maggior parte dei fenomeni, può manifestarsi in vari modi, ma è quasi sempre impossibile stabilire a priori quale di essi si presenterà ciascuna volta. Pensiamo al papà in attesa davanti alla sala parto, prima che l'ecografia permettesse di conoscere in anticipo il sesso del nascituro o allo scommettitore che ascolta alla radio i risultati delle partite. In alcuni casi i vari eventi si presentano tutti con la stessa probabilità, nel senso intuitivo del termine. Pensiamo al lancio di una moneta, in cui non vi sono elementi per dare all'esito "testa" una maggiore o minore probabilità rispetto all'esito "croce". Altre volte, valutati i pro ed i contro, crediamo di poter assegnare a qualcuno di essi un grado di fiducia maggiore, come fa un pescatore prima di decidere dove lanciare la lenza.

Ci sono vari tipi di probabilità Abbiamo detto che un evento è casuale quando non è controllabile o programmabile. Ci sono però diversi tipi di probabilità; aiutiamoci con alcuni esempi: • Probabilità statistica Qual è la probabilità che un lavoratore abbia un infortunio sul lavoro? Difficile rispondere. Certamente dipende dal lavoro che fa. Questo tipo di probabilità, che chiameremo probabilità statistica, si misura sulla base di osservazioni statistiche cioè sulla frequenza con cui si registrano determinati fenomeni • Probabilità soggettiva C’è la finale di Champions League fra Il Real Madrid e il Manchester; chi vincerà la famosa Coppa dei Campioni? Il risultato della partita dipende da numerosissimi fattori: le formazioni delle squadre, la condizione atletica, il modulo di gioco, lo stato del terreno, l’arbitraggio, le espulsioni, i falli da rigore ecc. Anche qui la risposta è difficile. Una previsione del risultato finale dipende più da “percezioni” che da fattori oggettivi. Questa probabilità è di tipo soggettivo, dipende cioè “da come noi consideriamo la forza delle squadre”

• Probabilità matematica (concetto classico di probabilità) Se lancio un dado che probabilità ci sono che esca il numero 6 ? Questo è un evento casuale che non dipende dalla statistica (ogni lancio è diverso dagli altri e non ci sono modi specifici di lanciare per avere il 6) e inoltre non è soggettivo. La probabilità di questo evento si può misurare in modo oggettivo. È la probabilità matematica nel senso classico. • Un evento può essere: • certo se si verifica sempre • impossibile se non si verifica mai • aleatorio se non si è certi che si verifichi

I matematici, dunque, studiando gli avvenimenti il cui verificarsi è legato al caso, hanno creato un ramo della matematica, il calcolo delle probabilità, che, pur non riuscendo a far prevedere con certezza ciò che avverrà, riduce il livello di incertezza portandolo in certi casi a limiti molto bassi Calcolare le probabilità non significa "prevedere il futuro", ma trovare come distribuire un maggiore o minore grado di fiducia tra i vari possibili modi in cui si potrà presentare un certo fenomeno aleatorio. CONCETTO DI PROBABILITÀ v. Un fenomeno casuale, o aleatorio, è un fenomeno osservabile, ma non prevedibile. v La probabilità di un evento aleatorio è il rapporto tra il numero di casi favorevoli ad esso e quello di tutti i casi possibili, purché essi abbiano la stessa probabilità di verificarsi.

Come si può esprimere la probabilità: numero, rapporto, percentuale La probabilità di un evento si può esprimere: a) come frazione, ad esempio 3/4 b) come numero decimale, ad esempio 3/4 = 3 : 4 = 0, 75 c) come percentuale, ad esempio 0, 75 = 75% Nota. Per trasformare un rapporto in una percentuale si divide il numeratore per il denominatore e si moltiplica il risultato per 100.

Bisogna sottolineare che la probabilità è una “quantificazione” delle possibilità che un evento avvenga. La probabilità di un evento A, detta P(A), rappresenta una misura di quanto ci si aspetta che si verifichi l’evento A. Tutti i vari eventi, a meno di trucchi, hanno la stessa probabilità di verificarsi. Indicando con p la probabilità si ha pertanto: • L'uscita di testa nel lancio di una moneta rappresenta uno dei due possibili esiti con p = 1/2, • L'uscita di una certa faccia nel lancio di un dado ha un caso favorevole sui sei possibili e quindi p = 1/6, • L'estrazione dell'asso di picche da un mazzo di carte da poker ha un caso favorevole su 32, con p = 1/32, • L'uscita del rosso alla roulette ha 18 su 37 probabilità di verificarsi, e quindi p = 18/37.

Tiro il dado quali sono le possibilità che esca un numero? EVENTI POSSIBILI

La misura della probabilità di un evento può variare da un minimo di 0 (nessun caso favorevole) come ad esempio l'uscita del 91 al Lotto (0 su 90), fino ad un massimo di 1 (tutti i casi favorevoli), come ad esempio pescare una pesciolino rosso da una vasca che contiene solo pesci rossi (n su n). Diremo, nel primo caso, che l'evento è impossibile e nel secondo caso che l'evento è certo. In tutti gli altri casi, gli eventi, che chiameremo aleatori hanno una probabilità 0 < p < 1, tanto più vicina a zero quanto più è difficile che l'evento accada e tanto più vicina ad 1, quanto più è facile che accada. 0 evento impossibile 1 evento certo

o. Calcola la probabilità che abbiamo di ottenere testa nel lancio di una moneta. • Calcola la probabilità che nella partita Milan. Roma il Milan vinca üUn sacchetto contiene sette confetti di cui tre sono al cioccolato e quatto alle mandorle. Quale probabilità abbiamo di estrarre al primo tentativo, un confetto al cioccolato? Se il confetto estratto è proprio al cioccolato e lo mangiamo, quale probabilità abbiamo di estrarre successivamente ancora un confetto al cioccolato?

Problema Evento possibile Evento favorevole Probabilità

LA COMBINAZIONE DEGLI EVENTI Di due esperimenti aleatori può capitare di dover valutare la probabilità che si verifichino insieme o in alternativa. Eventi compatibili o incompatibili Ø Due eventi si dicono compatibili quando il verificarsi dell'uno non esclude il verificarsi anche dell'altro. Ad esempio l'evento "rosso" è compatibile con l'evento "pari" alla roulette, poiché fra i numeri rossi ce ne sono di pari e di dispari e quindi rosso e pari è un evento possibile.

Ø Sono incompatibili invece gli eventi in cui il verificarsi di uno dei due esclude il verificarsi dell'altro, come ad esempio nel lancio di due dadi considerare l'evento "escono due facce uguali" e l'evento "la somma è dispari". Gli eventi incompatibili non vanno confusi con quelli opposti. In questo caso deve verificarsi necessariamente l'uno o l'altro dei due eventi, mentre per gli eventi incompatibili può darsi che non si verifichi né l'uno né l'altro.

Operazioni con gli Eventi A B Da un mazzo carte da poker cerco la probabilità che esca una carta di fiori o una carta di cuori GLI EVENTI SONO INCOMPATIBILI La probabilità dell’evento unione di due eventi incompatibili è la somma delle probabilità dei singoli eventi.

Siano A e B due eventi distinti, tra di loro incompatibili (il verificarsi dell'uno esclude il verificarsi dell'altro); la probabilità che si verifichi l'evento A oppure l'evento B è data da P(A oppure B) = P(A) + P(B).

v. Ad esempio, prima di lanciare un dado vogliamo calcolare quali siano le probabilità che esca un 4 oppure un 5. I due eventi incompatibili A e B sono "esce 4" ed "esce 5". Si ha P(4)=1/6 e P(5)=1/6; dunque: P(4 oppure 5)=(1/6)+(1/6)=2/6=1/3. v Calcoliamo la probabilità che, lanciando un dado venga un numero pari, cioè la probabilità che esca 2 oppure 4 oppure 6. Sono eventi che non possono capitare insieme: succede o l’uno o l’altro, perché tirando un dado viene fuori una sola faccia. Quando abbiamo a che fare con eventi di questo tipo, e cioè eventi incompatibili, dobbiamo sommare la probabilità dei singoli eventi. Quindi, dato che ogni numero pari ha 1/6 di probabilità ed i numeri pari sono 3, la probabilità che esca un numero pari è 3/6 = 1/2 = 50%.

Operazioni con gli Eventi A B Da un mazzo carte da poker cerco la probabilità che esca un asso o una carta di cuori GLI EVENTI SONO COMPATIBILI

Se i due eventi sono compatibili, la probabilità dell'evento (A or B) è uguale alla somma delle probabilità di A e di B meno la probabilità che si verifichino entrambi. p(A or B) = p(A) + p(B)- p(A et B) (con A, B compatibili) §Un’urna contiene venti palline numerate da 1 a 20. Calcola la probabilità dell’evento C = “La pallina estratta ha un numero multiplo di 2 oppure ha un numero multiplo di 5”. Gli eventi "multiplo di 2" e "multiplo di 5" sono compatibili, infatti 10 e 20 sono multipli sia di 2 sia di 5. p(multiplo di 2) = 10/20 p(multiplo di 5) = 4/20 p(multiplo di 2 e di 5) = 2/20 p(multiplo di 2 e di 5) = 10/20 + 4/20 - 2/20 = 12/20 = 3/5

Eventi dipendenti ed indipendenti. Immaginiamo due eventi: A: "Il primo estratto sulla ruota di Genova è il 65. " B: "A L'Aquila la temperatura notturna è scesa sotto lo zero. " E' del tutto evidente che la temperatura notturna a L'Aquila è assolutamente indipendente dal numero estratto sulla ruota di Genova e viceversa. I due eventi sono quindipendenti fra loro. Non sempre le cose sono così chiare. Sono molti i fenomeni privi di collegamenti logici, che si rivelano connessi in qualche misura. Ne sono esempio molte statistiche mediche mettono in relazione alcuni tipi di alimenti con il rischio d'infarto o il fumo di sigarette con il rischio di tumore ai polmoni. Le compagnie di assicurazione hanno evidentemente stabilito un nesso tra la residenza dell'automobilista e il rischio di provocare incidenti, se hanno fissato premi più costosi per i cittadini di alcune zone rispetto a quelli di altre.

Probabilità composta di eventi indipendenti/dipendenti Due eventi casuali A e B sono indipendenti se la probabilità del verificarsi dell'evento A non dipende dal fatto che l'evento B si sia verificato o no, e viceversa , la probabilità dell’evento (A et B) è uguale al prodotto delle probabilità di A e B: p(A et B) = p(A) · p(B) (con A, B indipendenti) Esempio 1. Abbiamo due mazzi di carte da 40. Estraendo una carta da ciascun mazzo, consideriamo i due eventi indipendenti: E 1 = "La carta estratta dal primo mazzo è un asso" E 2 = "La carta estratta dal secondo mazzo è una carta di fiori" Qual è la probabilità che si verifichino entrambi? p(E 1) = 4/40 p(E 1) = 10/40 p(E 1 et E 2) = 4/40 · 10/40 = 40/400 = 1/10

Un evento casuale A è dipendente da un altro evento B se la probabilità dell'evento A dipende dal fatto che l'evento B si sia verificato o meno. Esempio 1. Abbiamo un mazzo di carte da 40. Estraendo due carte in successione, senza rimettere la prima carta estratta nel mazzo, i due eventi: E 1 = "La prima carta estratta è un asso" E 2 = "La seconda carta estratta è un asso" sono dipendenti. Per la precisione la probabilità di E 2 dipende dal verificarsi o meno di E 1. Infatti: a) la probabilità di E 1 è 4/40 b) la probabilità di E 2, se la prima carta era un asso, è 3/39 c) la probabilità di E 2, se la prima carta non era un asso, è 4/39

Se i due eventi sono dipendenti, cioè il verificarsi dell’uno influisce sulla probabilità dell’altro, si può applicare la stessa regola, purché con p(B) si intenda la probabilità di B nell’ipotesi che A si sia verificato. p(A et B) = p(A) · p(B|A) (con A, B dipendenti) Esempio 1. Un'urna contiene 2 palline bianche e 3 palline rosse. Si estraggono due palline dall'urna in due estrazioni successive senza reintrodurre la prima pallina estratta nell'urna. Calcolare la probabilità che le due palline estratte siano entrambe bianche. La probabilità che la prima pallina sia bianca è 2/5. La probabilità che la seconda pallina sia bianca, a condizione che la prima pallina sia bianca, è 1/4. La probabilità di avere due palline bianche è: p(due bianche) = 2/5 · 1/4 = 2/20 = 1/10

Operazioni con gli Eventi Da un sacchetto di 6 palline; quattro sono bianche e due sono nere. Calcola la probabilità che alla prima estrazione e anche alla seconda esca una pallina bianca. (estrazione con rimessa)

La probabilità di ogni estrazione è: prima estrazione Seconda estrazione con rimessa

Operazioni con gli Eventi Da un sacchetto di 6 palline; quattro sono bianche e due sono nere. Calcola la probabilità che alla prima estrazione e anche alla seconda esca una pallina bianca. (estrazione senza rimessa)

La probabilità di ogni estrazione è: prima estrazione Seconda estrazione senza rimessa

Si lancino contemporaneamente due monete. Qual è la probabilità che esca testa su entrambe? Occorre un grafo ad albero. Troviamo i quattro casi possibili: {TT, TC, CT, CC}. L'evento TT è uno dei quattro, quindi p=1/4. I grafi ad albero sono molto utili nello studio della probabilità. In esso ogni nodo ha lo stesso numero di rami e ciascun ramo ha lo stesso "peso" (inteso in questo caso come probabilità) degli altri.

Ovviamente il calcolo delle probabilità va al di là dei pochi concetti che sono stati illustrati e sarebbe errato pensare che esso riguarda lo studio dei soli giochi.

Applicazione della Probabilità alla Genetica 30

Ogni carattere ereditario è determinato da una coppia di geni trasmessi da ciascun genitore. Nei casi più comuni ciascun gene può presentarsi in due forme diverse che si indicano con una stessa lettera maiuscola e minuscola, ad esempio, A, a. Per esempio prendiamo il carattere”colore degli occhi” e indichiamo con “A” il gene responsabile del colore scuro e con “a” il gene responsabile del colore chiaro. 31

Ciascun genitore trasmette un gene con probabilità 1/2. Essendo frequente il fenomeno per cui il gene recessivo “a” non manifesti il proprio carattere in presenza di “A”, coloro che possiedono i due geni AA e Aa hanno occhi scuri, quelli con la coppia aa hanno occhi chiari. 32

Tabelle Completa le due tabelle e indica i caratteri che possono avere i figli Aa Aa A aa a a A Aa Aa a aa aa Aa a AA A aa a a A 33

Grafo ad albero ½ 1/2 A padre a madre a a a Aa Aa aa aa Il grafo si riferisce al primo esempio della scheda precedente: la trasmissione “colore degli occhi” può essere rappresentata anche così. Gli eventi elementari possibili sono: Aa, aa, la probabilità per ciascun evento elementare di 1/2=1/4 la probabilità 1/2 che un figlio abbia occhi scuri (Aa) la probabilità 1/2 occhi chiari(aa). 34

L’anemia mediterranea è una malattia ereditaria portata da un gene recessivo a, che non si manifesta quando il gene recessivo a è accompagnato dal gene dominante A ( si parla in questo caso di portatore sano). a) Nella popolazione di un paese, costituita da 5. 000 persone, il 4% è ammalato: quante sono le persone ammalate? b) Da due genitori di tipo (A; A), (A; a) può nascere un figlio ammalato? Perché? c) Con quale probabilità può nascere un portatore sano? d) Scrivi le varie combinazioni genetiche derivate da due genitori (A; a), e calcola la probabilità che nasca: I) Un figlio ammalato II) Un figlio portatore sano III) Un figlio sano 35

NASCITA DI DUE FIGLI MASCHI